结构力学中的力矩分配法

结构力学

结构力学STRUCTURE MECHANICS

结构力学

第6章 章

第6章 用渐进法计算超静定梁和刚架6.1 力矩分配法的基本概念 一、力矩分配法中使用的几个名词1、转动刚度(Si j) 转动刚度( 使等截面直杆某杆端旋转单位角度 =1时 使等截面直杆某杆端旋转单位角度 =1时，在该端所需 施加的力矩。 施加的力矩。SAB=4EI/l A EI 1 l B SAB=EI/l A EI 1 l B

S AB =

远端固定SAB=3EI/l A EI 1 l B

4 EI = 4i lSAB=0 A

远端滑动EI 1 l

S AB =

EI =i l

B

S AB

远端铰支

3 EI = = 3i l

S AB = 0

远端自由

固4 铰3 滑1 悬0

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2、传递系数(Cij) 传递系数( 杆件远端弯矩与近端弯矩之比称为传递系数。 杆件远端弯矩与近端弯矩之比称为传递系数。C ij = M ji M ij

4iφA EI A φA 3iφA EI A φA l iφA EI A φA l

2iφA B l 0 B -iφA B

CAB=2i A/ 4i A=1/2 CAB=0/ 3i A=0

CAB=-i A/ i A=-1

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3、分配系数(µij) 分配系数(的转动刚度与汇交于i 杆ij 的转动刚度与汇交于 结点的所有杆件转动刚度之 和的比值。 和的比值。

Sij µ ij = ∑S(i )

(1)杆端力: (1)杆端力: 杆端力3 1 1 2 1 1 5 M 1 4

M 12 M 13 M 14 M 15

= 4 i12 φ1 = S 12 1 = 3 i13 φ1 = S 13 1 = i14 φ1 = S 14 1 = 4 i15 φ1 = S 15 1 (a)

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(2)由结点1的平衡条件: (2)由结点1的平衡条件: 由结点

∑即:

M

1

= 0M12

M M131

M M12 M13 M14 M15 = 0

M14

M = (S 12 + S 13 + S 14 + S 15 ) 1M M = (b) 得: 1 = S 12 + S 13 + S 14 + S 15 ∑ S

M15

(b)入 (3) 代(b)入(a) , 得: M 12 M 13 M 14 M 15 = 4 i12 φ1 = S 12 1 = 3 i13 φ1 = S 13 1 = i14 φ1 = S 14 1 = 4 i15 φ1 = S 15 1 (a)

M 12 M 13 M 14 M 15

=

S 12 M = µ12 M ∑S

S 13 = M = µ13 M ∑S = = S 14 M = µ14 M ∑S S 15 M = µ15 M ∑S

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二、用力矩分配法计算具有一个结点角位移的结构 1、解题思路P1 (a) A MAB MBA B MB P1 (b) A MfAB MfBA B MfBC MfCB P2 C MfBA MfBC MBC MCB P2 C

MB

f f M B = M BA + M BC

M' (c) A MABc MBAµ B MBCfµ MCBc C

M′ = MB

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2、解题步骤(1)在刚结点上加上刚臂(想象),使原结构 在刚结点上加上刚臂(想象),使原结构 ), 成为单跨超静定梁的组合体，计算分配系数。 成为单跨超静定梁的组合体，计算分配系数。 (2)计算各杆的固端弯矩，进而求出结点的不 计算各杆的固端弯矩， 平衡弯矩。 平衡弯矩。 (3)将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后， 将不平衡弯矩(固端弯矩之和)反号后， 按分配系数、传递系数进行分配、传递。 按分配系数、传递系数进行分配、传递。 (4)将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩 将各杆的固端弯矩

、分配弯矩、 相加，即得各杆的最后弯矩。 相加，即得各杆的最后弯矩。

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3、例题:试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。 例题:试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。40kN A 2m 分配系数 固端弯矩 20 2m 4/7 20 11.43 B 4m 3/7 40 8.57 0 0 0 20kN/m C

µBA =

SBA 4i 4 = = SBA + SBC 4i + 3i 7

µ BC

S BC 3i 3 = = = S BA + S BC 4i + 3i 7Pl 40 × 4 = = 20kN m 8 8

分配和传递 5.71 最后弯矩 14.29

f M AB =

31.43 31.43

M

f BA

Pl 40 × 4 = = = 20kN m 8 8

31.43 14.29 A 40 B 40 C

ql 2 f M BC = = 40 kN m, 8 f M CB = 0

M图(kN.m) 图

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3、例题: 试用弯矩分配法计算图示刚架，绘弯矩图。 例题: 试用弯矩分配法计算图示刚架，绘弯矩图。120kN B i=2 Aµ AB =

20kN/m i=1.5 i=2 C D 4mµ AC = µ AB =f BA

S AB S AB S AB

S AB 4×2 = = 0.39 + S AC + S AD 4 × 2 + 4 × 2 + 3 × 1.5 S AC 4×2 = = 0.39 + S AC + S AD 4 × 2 + 4 × 2 + 3 × 1.5 S AD 3 × 1 .5 = = 0.22 + S AC + S AD 4 × 2 + 4 × 2 + 3 × 1.5

2m结 点 杆 端 分配系数 固端弯矩 分配传递 最后弯矩 B

3m

4mA AB 0.39 AC 0.39 0.0 -6.86 -6.86 AD 0.22 -40.0 -3.83 -43.88 0.0 0.0 0.0 -3.43 -3.43 D DA C CA

120 × 2 × 3 2 pab 2 M = 2 = = 86 .4 kn .m l 52 pa 2 b 120 × 2 2 × 3 f M dB = = = 57 .6 kn .m l2 52 ql 2 20 × 4 2 f M AD = = = 40 kn .m 8 8

BA

89.83 144 B

50.74 A

43.88 6.86

40 D

-86.4 -3.43 -89.83

+57.6 -6.86 +50.7

M图(kN.m) 图 3.43 C

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6.2 用力矩分配法计算连续梁和 无结点线位移刚架一、基本概念1、力矩分配法是一种渐近法。 力矩分配法是一种渐近法。 2、每次只放松一个结点。 每次只放松一个结点。 一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。 3、一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。

二、计算步骤1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 计算个杆端的固端弯矩。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。 即得各杆端的最后弯矩。

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三、例题:试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。 例题:试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。300kN A EI=26m 分配系数 固端弯矩 0.0 B点一次分、传 45.0 点一次分、 点一次分 C点一次分、传 点一次分、 点一次分 B点二次分、传 7.9 点二次分、 点二次分 C点二次分、传 点二次分、 点二次分 B

点三次分、传 0.6 点三次分、 点三次分 C点第三次分配 点第三次分配 最后弯矩 53.5 3m

B EI=33m

30kN/m C EI=46m

D

0.4 0.0

0.6 -225.0

0.5

0.5

+225.0 -135.0 +67.5 -78.8 -78.7 +11.8 -5.9 -5.9 +0.9 -0.5 -0.4 +220.0 -220.0 220 135

0.0 0.0 0.0 0.0

+90.0 +135.0 -39.4 +15.8 +23.6 -3.0 +1.2 +1.8 +107.0 -107.0 107 135

0.0

A53.5

BM图(kN.m) 图

C

D

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四、练习题: 试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。 练习题: 试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。80kN

30kN/m B3m 0.6 0.4 +90.0 -250.0 +96.0 +64.0 -23.7 +14.2 +9.5 -1.2 +0.7 +0.5

160kN C3m 0.5 0.5 +112.5 -23.7 -1.2

A i=23m 分配系数 固端弯矩 0.0 B点一次分、传 0.0 点一次分、 点一次分 C点一次分、传 点一次分、 点一次分 B点二次分、传 0.0 点二次分、 点二次分 C点二次分、传 点二次分、 点二次分 B点三次分、传 0.0 点三次分、 点三次分 C点第三次分配 点第三次分配 最后弯矩 0.0

D i=15m

i=110m

+250.0 -187.5 +32.0 -47.3 -47.3 +4.8 -2.4 -2.4 +0.3 -0.2 -0.2 +237.4 -237.4 237.4 375 300

+200.9 -200.9 200.9

+87.6 87.6

A

120

BM图(kn.m) 图

C

D

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例6 4 用力矩分配法计算图9 8(a)所示的刚架，并绘M图。 用力矩分配法计算图 ( )所示的刚架，并绘 图80kN A EI B EI EI C EI EI 30kN/m D

52.04 120 A

91.84 75.92 135 15.92 B B

62.33 26.72 D C C 35.63

6m

E 3m 3m 6m

F 6m

E CB CF CD

7.96

17.76

F

BA BE BC 分配系数 A 固端弯矩 60 60 B 90 16.36 分配、 分配、传递弯矩 7.73 15.45 15.45 15.45 1.40 0.23 最后弯矩 52.04 0.47 75.92 E 0.47 15.92 0.47 91.84 1/3 1/3 1/3

4/11 4/11 3/11 90 32.73 7.73 2.81 0.23 0.09 62.33 0.09 35.63 0.06 26.72 0 2.81 2.11 0 C 32.73 24.55 0

D

7.73 0.23 7.96

F 16.36 1.40 17.76

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6.3 无剪力分配法一、无剪力分配法的应用条件P P P P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2 P/2P/2 F P/2 D P/2 B A GF P/2

E C

D P B 3P/2 A

刚架中除两端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件。

二、无剪力分配法的解题步骤1、固定结点，加附加刚臂以阻止结点的转动，但不阻止线 固定结点，加附加刚臂以阻止结点的转动， 位移，计算各杆分配系数及各杆在荷载作用下的固端弯矩； 位移，计算各杆分配系数及各杆在荷载作用下的固端弯矩； 放松结点，使结点产生角位移和线位移， 2、放松结点，使结点产生角位移和线位移，求各杆的分配 弯矩和传递弯矩。 弯矩和传递弯矩。 将以上两步的杆端弯矩叠加，即得原刚架的杆端弯矩。 3、将以上两步的杆端弯矩叠加，即得原刚架的杆端弯矩。

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三、例题 试用无剪力分配法计算图示刚架,绘M图。40kN C C’ 2i 20kN 20kN 20kN 20kN

20kN

C

i40kN B

i 4mB’ 20kN 20kN 20kN

2i

2iA 8m

2i 4mA’

20kN 4i C i 20kN 20kN 4i B 2i A

DB

E

40kN

B

A

µCD

SCD 12 i = = = 0.923 SCD + SCB 12 i + i

µCB

S CB i = = = 0.077 S CD + S CB 12 i + i

CB

C

CD0.923 0 44.31 0.23 44.54

µ BE =µBC

S BE 12 i = = 0.8 S BE + S BC + S BA 12 i + i + 2 i

44.54 S BC i = = = 0.067 S BE + S BC + S BA 12 i + i + 2 i 44.54

44.54 98.95

BC

0.077 –40 –8.0 3.69 –0.25 0.02 –44.54

D

BA

BE

µ BA =

S BA 2i = = 0.133 S BE + S BC + S BA 12 i + i + 2 i

63.51 35.44 98.95 96.49 96.49 M(kN.m)

1 M CB = M BC = × 20 × 4 = 40 kN m 2 1 M BA = M AB = × 40 × 4 = 80 kN m 2

0.067 0.133 0.8 B –40 0 –80 8.00 96 16 63.51 –3.69 0.49 2.95 0.25 –35.44 –63.51 98.95 –80 –16 –0.49 –96.49

E

A

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6.4 剪力分配法一、柱顶有水平荷载作用的铰结排架P EI1 h1 EI2 h2 EI3 h3EI

侧移刚度(di)及柱顶发生 水平位移 时，各柱顶的剪力：Q1 = 3 EI 1 = d1 h13 3 EI 2 Q2 = = d 2 (1) 3 h2 3 EI 3 Q3 = = d3 3 h3

=1d =3EI/h3

(a) P Q1=d1 Q1=µ1P Q2=d2 (d) Q2=µ2P

3 EI 1 h12

3 EI 2 2 h2

h3 EI 3 h32

(b) Q3=d3 Q3=µ3P

由图( ): 由图(d):

∑X =0:

(c)

d 1 + d 1 + d 1 = P

∴ =代(2)入(1): ) ): 式中µ称 式中 称剪力分配 系数

1 P= d1 + d2 + d 3Q1 =

1 P dj ∑

(2)

Q1h 1

Q2h 2 (e)

Q3h 3

d1 P = µ1 P ∑d j d2 Q2 = P = µ2 P (3) ∑d j d3 Q3 = P = µ3 P ∑d j

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二、横梁刚度无限大时刚架的剪力分配图示刚架，横梁刚度无限大，无结点角位移，只有水平线位移Δ 图示刚架，横梁刚度无限大，无结点角位移，只有水平线位移Δ。 P 侧移刚度(di)及柱顶侧移为Δ时，各柱的剪力：EI1 h1 EI2 h2 EI3 h3 =1

P

(a) )

P Q1 Q2(c)

12 EI 1 = d1 3 h1 d =12EI/h3 12 EI 2 EI Q2 = = d 2 (1) 3 h h2 12 EI 3 Q3 = = d3 3 h3 (b) ) d 1 + d 1 + d 1 = P 由图( ): 由图(c): ∑ X = 0 : Q1 =

Q3

∴ =代(2)入(1): ) ): 式中µ称 式中 称剪力分配系数

1 P= d1 + d2 + d 3

1 P dj ∑

(2)

P

Q1h 1/2

Q2h 2/2

Q3h 3/2

Q1=µ1P

Q2=µ2P

Q3=µ3P

Q1h 1/2(d) )

d1 P = µ1 P ∑d j d2 柱上端无转角， 柱上端无转角，柱中点的弯矩 Q2 = P = µ2 P (3) ∑d j 为零，柱上下端的弯矩等值反向。 为零，柱上下端的弯矩等值反向。 由剪力求得各柱两端弯矩为 d3 Q3 = P = µ3 P M=Qh/2;由结点的平衡，可求出 /2;由结点的平衡， dj ∑ Q1 =

梁端弯矩。 梁端弯矩。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6jd4.html