不定方程和解不定方程应用题经典

1

不定方程

———研究其解法

方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法

根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。

如：方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解？

解：当x = 1时y﹢z = 99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98) (2，97)??(98，1)。 当x = 2时y﹢z = 98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97) (2，96)??(97，1)。 ??

当 x = 98时，y﹢z = 2，这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢??﹢1=

98?99= 4851 2∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法

如：方程式4x﹢7 y =55共有哪些正整数解。 解：

X y 1 2 3 4 5 5 ?? ?? 12 1 51 747 743 739 7 × × × × √ √ ∴ 方程4x﹢7 y =55的正整数解有

x = 5

x = 12

y = 5 y = 1 3、分离系数法

如： 求7x﹢2 y =38的整数解 解： y =

38?7X1=19-3x-x 22 1

2

令 t=

1x 238?7?2t=19-7t

2x=2 t

则 y=

2t＞0

19-7t＞0 （t为整）→ 2

5＞t＞0 7t=2，1

当 t=2时， x=2×2=4 x=4

y=19-7×2=5 y =5

当 t=1时， x=2×1=2 x=2

y=19-7×1=12 y=12

第四十周 不定方程

专题简析：

当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：

x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6

……… y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3

如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

例1．

求3x+4y＝23的自然数解。 先将原方程变形，y＝X Y 1 5 2 × 23－3x

。可列表试验求解： 4

3 × 4 × 5 2 6 × 7 × 所以方程3x+4y＝23的自然数解为 X=1 x=5 Y=5 y=2 练习一

1、 求3x+2y＝25的自然数解。 2、 求4x+5y＝37的自然数解。

3、 求5x－3y＝16的最小自然数解。

2

3

例2

求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2

这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。

5x+7y+3z＝25 ① 3x－y－6z＝2 ②

由①×2+②，得13x+13y＝52

X+y＝4 ③ 把③式变形，得y＝4－x。

因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3. 当x＝1时，y＝3 当x＝2时，y＝2 当x＝3时，y＝1

把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。 x＝2，y＝2时，z也无正整数解。 x＝3时，y＝1时，z＝1. 所以，原方程组的正整数解为 x＝1 y＝1 z＝1 练习2

求下面方程组的自然数解。

1、 4x+3y－2z＝7 2、 7x+9y+11z＝68

3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52 4、 5x+7y+4z＝26

3x－y－6z＝2 例3

一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？ 两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。 设大盒子有x个，小盒子有y个，则 12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9） y＝（99－12y）÷5

经检验，符合条件的解有： x＝2 x＝7 y＝15 y＝3

所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。 练习3.

1、 某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那

么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）

3

4

2、 甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔

共几枝？

3、 小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝

的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？

例题4

买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？

设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得： 4x+3y+2×（30－x－y）＝82

y

x＝10－

2

由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表： 苹果 橘子 梨 9 2 19 8 4 18 7 6 17 6 8 16 5 10 15 4 12 14 3 14 13 2 16 12 1 18 11 练习4

1、 有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有

多少只？

2、 用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。问每种笔

各买几枝？（每种都要买）

3、 晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。

她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？ 例5

某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？ 设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。则 6x+3y+2z＝22 ①

9x+4y+z＝22 ② 由②×2－①，得12x+5y＝22 y ＝

22－12x

x＝1 5

x只能取1。Y＝2，代入①得z＝5，原方程的解为 y＝2

z＝5

所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。

练习5

1、 某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环

各几发？

2、 篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1

元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？

4

5

111

3、 一头猪卖3 个银币，一头山羊卖1 个银币，一头绵羊买 个银币。有人用100个银

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币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头？

答案： 练1

1、 x＝1 x＝3 x＝5 x＝7

y＝11 y＝8 y＝5 y＝2 2、 x＝3 x＝8

y＝11 y＝1 4、 x＝5 y＝3 练2 1、 x＝1

y＝3 z＝3

2、 x＝3 x＝4

y＝4 y＝2 z＝1 z＝2 3、 x＝3

y＝1 z＝1 练3

1、 设需要小船x只，大船y只。则3x+5y＝48，y＝

方程的解是 x＝1 x＝6 x＝11

y＝9 y＝6 y＝3

2、 设买甲级笔x枝，乙级笔y枝，则7x+3y＝60，y＝

60－7x

。x? 3

48－3x

根据题意，x可取1、6、11， 5

不定方程

方程的个数少于未知数的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组）。它的解是不定的。如果没有给定不定方程的某种限制条件，那么它就有无限多个解。本讲中所涉及的不定方程根据题目的要求和实际情况把解局限在一定的范围内，它可能有解，也可能无解，如果有解，也只能是有限个解。但是，限制的条件，有时很隐蔽，需要我们去认真思考。

例1 工程队要铺78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子，问两种管子各用多少根？

5

16

不定方程

例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生。已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班的数学总成绩相同，各班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分，那么甲班的平均成绩比乙班高______分。（1998年奥林初赛试题）

分析与解：设甲班的平均成绩为x分，乙班的平均成绩为y分。依题意列方程：

42x=48y

根据甲、乙两班的平均成绩都是整数，平均成绩都高于80分，且是百分制，可分别取y=84、91、98尝试可得y＝84，x＝96。因此，甲班的平均成绩比乙班高的分数为：96-84＝12（分）

例2一群猴子采摘水蜜桃。猴王不在的时候，一个大猴子一小时可采摘15公斤，一个小猴子一小时可采摘11公斤；猴王在场监督的时候，大猴子

只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共采摘3382公斤水蜜桃，那么在这个猴群中，共有大猴子_______个。（1998年奥林决赛试题）

分析与解：设大猴子有x个，小猴子有y个。依题意列方程：

15x＋11y=445

16

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11y=445-15x

根据大、小猴子的个数均为整数，且是5的倍数，可分别取x＝5、10、15、20、25尝试可得x=15，y＝20。因此，在这个猴群中，共有大猴子15个。

练一练：

和的最小值是。（1991年奥林初赛试题）

【教学内容】

求二元一次方程与多元一次方程组的整数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题。 【典型问题】

1. 甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支。张明用五角钱恰好可以买两种不同的铅笔共多少支？

解答：7x+3y=50，有两组解（x=2,y=12）或（x=5,y=5），所以共10或14支. 2. 将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管（加工损耗忽略不计）。问：剩余部分的管子最少是多少厘米？

解答：36和24的最大公约数是12，374÷12=31?2，所以至少剩下2厘米. 3. 有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同，每个同学部把身上带的全部钱各自买了画片，画片只有两种，3分一张和5分一张，每人都尽量多买5分一张的画片。问他们所买的3分画片的总数是多少张？

解答：8，13，18，23，28，33，38，43，48都是1张3分的；9，14，19，24，29，34，39，44，49都是3张3分的；10，15，20，25，30，35，40，45，50都不

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用3分的；11，16，21，26，31，36，41，46都是2张3分的；12，17，22，27，32，37，42，47都是4张3分的，所以一共是9×1+9×3+0+8×2+8×4=36+48=84张.

4. 小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角。她共用了一元二角二分。那么小萌寄的三种信的总和最少是多少封？

解答：因为最后是122分，个位只能是平信的，所以至少有9封平信（9×8=72分），还差50分，最好是1封航空，2封挂号，所以至少是12封信.

5. 有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克。请你取最少个数的砝码，使它们的总重量为130克。写出你的取法：需要多少个砝码？其中3克、5克和7克的砝码各有几个？

解答：7克的要尽量多，如果18个就是126克，差4克，不行！那17个7克就是119克，差11克，1个5克和2个3克就够了！所以一共是20个. 6. 五种商品的价格如下表，其中的单位是元： 品种 单价

A 2.9 B 4.7 C 7.2 D 10.6 E 14.9

现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式？

解答：29a+47b+72c+106d+149e=600，a+b+c+d+e=10，用第一个等式减去第二个等式的29倍，得到18b+43c+77d+120e=310，找到4组整数解！

7. 有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张，问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元？

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解答：每张纸币的金额除以9的余数都是1，所以60张纸币的金额除以9的余数就是60，即6，但是100元除以9余1，所以不能！

8. 设A和B都是自然数，并且满足A/11+B/3=17/33，那么A+B等于多少？ 解答：显然A=2，B=1，那么A+B=3.

9. 两位数中，能被其各位数字和整除，并且除得的商恰好是4的数有多少个？ 解答：12，24，36，48共4个。（个位必须是十位的2倍！）

10. 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工也有女职工，并且有1/3的职工各带一个孩子参加。男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？

解答：13x+10y+6×1/3（x+y）=216，即15x+12y=216，5x+4y=72，有（x=4,y=13），（x=8,y=8）和（x=12,y=3）三组解，考虑到职工人数应该是3的倍数，所以男职工应该是12人.

11. 哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”。间：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中的一个的个位数字是1。 解答：168=71+97.

12. （1）将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少？ （2）将60分拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？

解答：（1）最大的要尽量大，那就让别的都小，全是2不行，所以是8个2和1个3，这时最大的是31。（2）最大的尽量小，那就很接近平均数6，所以看看7，实际上5个5和5个7就行了，所以最大是7.

13. 某居民要装修房屋，买来长0．7米和0．8米的两种木条各若干根。如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如，0.7＋0.7＝1.4（米），0.7＋0.8＝1.5（米）等等，那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米和3.7米这5长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的？

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解答：3.6=0.7+0.7+0.7+0.7+0.8；3.7=0.7+0.7+0.7+0.8+0.8；3.9=0.7+0.8+0.8+0.8+0.8；3.8=0.7+0.7+0.8+0.8+0.8；只有3.4不行！

14. 有30个2分硬币和8个5分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种？

解答：首先1分和3分不行，然后看100-1=99分和100-3=97分也不行，所以共4种。其他都可以构成，大家不妨自己证明一下！

15. 小明买红、蓝两支笔，共用了17元。两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵。小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完，那么红笔的单价是多少元？

解答：x+y=17，显然x和y不是35的约数，否则是可以将35元恰好用完的。（x=16,y=1），（x=15,y=2），（x=14,y=3），（x=13,y=4），（x=12,y=5），（x=11,y=6），（x=10,y=7），（x=9,y=8）这些解中很快可以将第一，五，七组排除，然后排除第二，三，六，八组，只有第四组是可以的，所以红笔的价钱是13元.

三 不定方程

1 装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8

个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？

2 有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装7个。问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？

3 大客车有39个座位，小客车有30个座位，现有267位乘客，要使每位乘客都有座位且没有空座位。问：需大、小客车各几辆？

4 某商店卖出若干23元和16元一支的钢笔，共收入500元，问：这两种钢笔共卖出多少支？

5 小明花4.5元钱买了0.14元一支的铅笔和0.67元一支的圆珠笔共17支。问：铅笔和圆珠笔各几支？

6 小明把他生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12，然后把两个乘积加起来刚好等于400。你知道小明的生日是几月几日吗？

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13 x-7=10 y-5.

因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2,得到x=4, y=5是上式的一组解,且x每增大10, y就增大13,仍是上式的解.

为使10y-5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).

9. 84.

设小明第一天看了a页,第二天看了b页,则前五天看的页数依次为: a, b, a+b, a+2b, 2a+3b. 上面各个数的和是200,得到 5a+7b=200.

因为5a与200都是5的倍数,所以b是5的倍数.因为b>a,所以上式只有两组解:

b=20, a=12; b=25, a=5.

将这两组解分别代入2a+3b,得到第五天至少看了84页.

10. 15.

以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x组,小猴子y组,则有

15?38?x?11?38?y?3382, 15x?11y?89.

易知其整数解为x=3, y=4,所以有大猴子5×3=15(只).

11. 设公鸡、母鸡、小鸡各买x, y, z只,由题意列方程组:

1?① 5x?3y?z?100? ? 3?② ?x?y?z?100 3×①-②整理得 7x?4y?100.

又4|4 y,4|100,所以4|7 x,又(4,7)=1,所以4| x. 100?4y1002又x???14.

777所以x=4,8或12.

x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.

即可能有三种情况:4只公鸡,18只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.

12. 因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x)度,乙用电(50- y)度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:

26

27

8x+5y=33.

容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.

13. 设哲洙在乙文具店买了x张卡片,花了y?100分.由共花钱数可列方程 500??50?x??y?100?x?30400 整理得 x(y?5)?54

因为x是小于50的54的约数,则x与y的关系如下表:

x y-5 1 54 2 27 3 18 6 9 9 6 18 3 27 2 因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y小于2000÷100=20,即y-5<15,所以x的可能取值是6,9,18,27.

14. 设第一堆有x块石头,第二堆有y块石头,并设z为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意:

?2(x?100)?y?100① ?

② ?x?z?6(y?z)由①得 y?2x?100.

代入②整理得 11x?7z?1800.

1800?7z7(z?1)所以 x?. ?163?1111又x,z自然数,所以11|z+1,

当z=10时, x有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.

十一、不定方程（二）

年级 班 姓名 得分 一、填空题

?☆ 37 △+☆= . ??1.已知△和☆分别表示两个自然数,并且 ,511552.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.

3.某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n棵,且n为质数,则剩下树苗

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20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.

4.不定方程2x?3y?7z?23的自然数解是 .

5.王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .

2576.有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为a,b,c.已知a,b,c

368都小于10,a,b,c依次为 , , .

7.全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的11和全部咖啡(若干碗)的.那么,全家有 口人. 46

18.某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种

313棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.

9.将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.

10.李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.

二、解答题

11.一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?

12.小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?

13.一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原

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29

计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每

人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?

14.采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干,又买单价670元的B种物若干,其中B种个数多于A种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A种物品和B种物品的个数互换,找回的100元和几张10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个,B物几个?

———————————————答 案——————————————————————

1. 5.

依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.

2. 260.

a设箱子里共有n个乒乓球,二级品占.依题意,得

5a n?25%?n?91?n

5整理得 n(15?4a)?20?91 ①

易知 15-4 a>0,所以a?3.

将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).

3. 11.

设共分为x组.由树苗总数可列方程 9x?2?nx?20

(9?n)x?22

因为22=1×22=2×11, n是小于9的质数,对比上式得x=11(组).

?x?2?4. ?y?4?z?1??x?5??y?2?z?1??x?3??y?1?z?2?

显然z只能取1,2,3.

当z=1时,2x?3y?16,其自然数解为x=2, y=4; x=5, y=2. 当z=2时,2x?3y?9,其自然数解为x=3, y=1. 当z=3时,2x?3y?2,显然无自然数解.

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?x?2?所以原方程的自然数解为:?y?4?z?1??x?5??y?2?z?1??x?3??y?1?z?2?

5. 8371692.

设电话号码的前三位为x,后三位y,第四位为a(a≠0).由题意有

?10x?a?y?9063① ?

② ?x?1000a?y?2529①-②,化简得x?726?111a.

当a=1时, x=837, y=692; 当a?2时, y<0,不合题意. 所以电话号码为8371692.

6. 7,3,2.

由题意有3a?2?6b?5?8c?7.解这个不定方程,得a?7,b?3,c?2.

7. 5.

11设全家共喝了x碗牛奶和y碗咖啡,依题意得:x?y?1

46整理得 3x?2y?12.

易得其自然数为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.

8. 3.

设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子由已知 10x?13y?x?y?6?216 3x?y人.这个条件说明3| x+ y. 3即 4x?5y?72 4(x?y)?y?72

由12|4(x+ y),12|72.

72?4x724所以12| y,又y???14.

555所以, y=12, x=3.即有女职工3人.

9. 32,80.

画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为x,y,z,则

30

zyx

31

?4??x?y?z??28 ?

?xyz?12 剥去所有涂色的小块,得到上图.

由上面两上算式可以推算出x?3,y?z?2,仅1面涂色彩正方体有:

(x?y?y?z?x?z)?2?(3?2?2?2?3?2)?2

?16?2?32(块).

原来长方体的体积为

V?(x?2)?(y?2)?(z?2)?5?4?4?80(立方分米).

10. 17.82

设支票上的元数与角、分数分别为x和y,则可列得方程 (100y?x)?350?2(100x?y), 其中x,y为整数且0?x,y<100. 化简方程得 98y?199x?350

由此推知2x

199x?3503x?56 又 y?, ?2x?3?9898 56?3x?56?3?48?56?200 所以 3x?56?98或98?2.

2 所以 x?42或x?46(舍去).

3 故x?42,此时y?32.即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.

11. 设起初有x辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n人,依题意,得 22?x?1?n?(x?1),

22x?123 ?22?x?1x?1 又n, x为整数,所以(x-1)|23,故x-1=1或23,即x=2或x=24.

23 若x=2,则n?22?45与n?32产生矛盾.

2?1 因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x+1=529(名).

所以 n?12. 设苹果、梨子、杏子分别买了x,y,z个,则

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?200x?80y?30z?5000 ?

?x?y?z?40 消去z得 17x?5y?380 ①

380?5y 1710380?5?40380?5y3806 由0

1717171717106 即 10?x?22

1717 又 5|5 y,5|380,(5,17)=1,由①得5| x.所以x=15或x=20. 当x=15时, y=25, z=0,不合题意. 因此x=20, y=8, z=12.

因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.

所以 x?13. 设获一、二、三等奖的人数分别为x,y,z,根据题意有:

?6x?3y?2z?22①

?

② ?9x?4y?z?22 2×②得 18x?8y?22?44 ③ ③-①得 12x?5y?22 ④

解④求得整数解为x=1, y=2.

代入②可求得z=5.

答:获得一等奖的有1人,获得二等奖的有2人,获三等奖的有5人.

14. 设买A种物品a个, B种物品b个,找回100元的m张,10元的n张,则有:

?590a?670b?10000?100m?10n①

?

② ?670a?590b?10000?10m?100n 其中b>a,n<10.

①-②得 8(b?a)?9(n?m) ③ 所以 89(n?m),故8n?m,

由b>a,n<10知 m

由此推知n=9, m=1, b=a+9. 代入①式,解得a=3. B=12. 答:购A物3个,B物12个.

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第六讲 不定方程解应用题

大家已经学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代著名的“鸡兔同笼”问题。

如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。

小学阶段主要是涉及整系数不定方程的整数解，试看一些例子。 例1 有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内。把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙一人。每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23。请问这三张牌的数字是什么？

分析 设三张牌为x、y、z（x＞y＞z）。再设共发牌n轮（每轮发3张）。记作x＋y＋z=S.

n·S=13＋15＋23=51

由于n和S都是整数，51=3×17，只有n=3，S=17。现在转变为不定方程：x＞y＞z且10＞x＞y＞z?1的条件下：

x＋y＋z=17 求整数解。

由于x、y、z均为整数，其最大整数x＞?17?5?，即x?6。X可能值为6、7、8、9。

第一种情况，x=6＞y＞z，而y＋z=17－6=11，而此时y＋z最多为5＋4，所以x≠6。

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132334

第二种情况，x=7＞y＞z，y＋z=17－7=10，只有y=6，z=4。但是丙三次牌数字和为23，而23显然不可能表示为｛7，6，4｝中任意三个（可以重复的，下同）数之和。

所以，第二种情况x=7亦被排除。

第三种情况，x=8＞y＞z，y＋z=17－8=9，(y , z)可能情况有（7，2）；（6，3）；（5，4）。

而13（甲三次牌数字之）不能表示为｛8，7，2｝中任意三个数之和，23不能表示为｛8，6，3｝和｛8，5，4｝中任意三个数之和，故x=8亦被排除。

第四种情况，x=9＞y＞z，y+z=17－9=8，观察知y=5, z=3. （可排除｛9，7，1｝和｛9，6，2｝） 综上所述，三张牌为3、5、9。

例2 采购员用一张1万元支票去购物。购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）。如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反。问购A种物几个，B种物几个？

解：设购A种物x个，购B种物为x+y个，并设第一次购物找回r张100元，s张10元，则

x×590+(x+y)×670+r×100+s×10=10000 (1) (x+y)×590+x×670+s×100+r×10=10000 (2)

这是4个未知数、2个方程的不定方程组。解方程时，方程变形

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的一些法则（方程两边同时乘或除以不为0的数，方程不变；方程两边同时加或减一个数，方程不变）仍适用。先（1）（2）两边约去10，得

59x+67x+67y+10r+s=10000 (3) 59x+59y+67x+10s+r=10000 (4)

由于（3）（4）式的右边都等于10000，因此它们相等，整理后得 8y+9r－9s=0.

再在方程两边同时加上9s－9r，得： 8y=9(s－r) (5)

由于y是大于0的整数，所以s－r也是整数＞0。 因此，8︱9·（s－r），9︱8y。

应有 y=9·k

S－r=8·k （k为大于0的整数）

但是s是10元钱的张数，s?9，r是100元钱的张数，所以，k=1,因此y=9,s－r=8.显然s=9,r=1.

代回（3）式，得到x=3。 所以：x=3,x+y=3+9=12,r=1,s=9.

采购员购A种物3件，B种物12件，找回一张100元，9张10元。

这两个例题已综合地体现了不定方程的“风味”。

例3 现有3米长和5米长钢管各6根，安装31米长的管道，

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问怎样接用最省料？

解：设3米长用x根，5米长用y根，列成不定方程： 3x+5y=31,分两种思路求解。 第一种思路： x?31?5y3 首先y?6,y=6,5,4,3,2,1,0. 变形x?10?5y?13,试y值，使5y-1是3的倍数。 y=5 y=2 x=2 x=7 （但每种管子各有6根） 所以有唯一解：x=2,y=5. 第二种思路：

y?31?3x5 首先x≤10,x=10,9,8,…,1,0. 变形y=6-3x?15 管子各6根，所以x=6,…,0. 只有x=2,

3x?15为整数。 所以有唯一解：x=2,y=5.

答：用3米长的2根，5米长的5根。

用同余的知识解不定方程时，可以表达得简明清楚些。 例4 55人去游园划船，小船每只坐4人，大船每只坐7人，问要租大、小船各多少只？

解：列不定方程，设大船x只，小船y只。

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7x+4y=55 变形，解出y=

55?7x，因此x?7，且 4 55-7x≡0(mod 4)；

因此，7x≡55(mod 4)≡3(mod 4) 但7≡3(mod 4),所以x≡1(mod 4). 因此x=1或x=5.

所以有x=1,y=12以及x=5,y=5两组解。

例5 王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包。油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问他每种各买了多少包？

解：设买油菜籽x包，西红柿种子y包，则萝卜籽（100-x-y）包，列不定方程：3x?4y?100?(x?y)?100，求整数解。两边同乘7，7得21x+28y+100-x-y=700，也即

20x+27y=600 解出x?600?27y 20因此y?22.由于600≡0（mod 20）,所以27y≡0(mod 20)；但（27，20）=1，所以y≡0(mod 20).

因此y=20,x=3,100-x-y=77.

答：购油菜籽3包，西红柿种子20包，萝卜籽77包。 例6 100匹马驮100筐物品，一匹大马驮3筐，一匹中马驮2筐，两匹小马驮1筐。问大、中、小马各多少？

解：设大、中、小马的匹数依次为x、y、z，由题意，列不定方

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程为：

x+y+z=100 3x+2y+=100

由第一个方程得 z=100－x－y，代入第二个方程，并变形，有 x?100?y3，因此y?33。由于5︱100，所以5︱3y。 5z2所以，y=0,5,10,?,50.相应地可以得到x和z。但（3，5）=1，所以5︱y。因此把结果列出：

中马数y：0 5 10 15 20 25 30 大马数x：20 17 14 11 8 5 2 小马数z：80 78 76 74 72 70 68

以上讲了6个例子，解不定方程（组）的一般思路和步骤都体现在其中了。这讲介绍的是最基本的整系数整式不定方程求整数解。总之，它要调用解方程时的常用的方程变形公共原则，又时时巧用未知数是整数这一“约定”。当然还有许多其他技巧，至于其他形式的不定方程，如x2+y2=25；奇质数p，??索。

1x1y2的整数解，留用以后再探p 38

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习 题 六

1，小明问小强：“你养了几只兔和鸡？”小强说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共24条腿，你猜猜我养了几只兔和鸡？”

2，李明带6元钱到花店买花。如果月季花1元钱一盆，茉莉花8角钱一盆，要把6元钱钱好用完，能买月季花和茉莉花各多少盆？

3，甲种铅笔7分钱一支，乙种铅笔3分钱一支，张明用6角钱恰好买两种不同的铅笔共多少支？

4，李大伯下山去小商店买东西。下午1时离开家，先走了一段山路，来到山脚下，又走了一段平路，到了小商店。半小时后，他离开商店沿原路返回家，下午3时半到家。已知平地每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米。请问：李大伯去商店买东西走了多少千米的路？

5，大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人，问大、小汽车各要几辆才能使每个人都上车且每个车上无空座？

例1．不定方程的自然数解。

（1）2x+5y=50 （2）10x+9y=400

50?5y（1）解：x= 。 x=25,y=0 ; x=20,y=2; x=15,y=4; x=10,y=6; x=5,y=8;

2x=0,y=10。

400?10x（2）解：y=。 x=4,y=40 x=13,y=30； x=22,y=20； x=31,y=10；

9x=40,y=0.

例2．用不定方程（组）解应用题。 1. 采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋(盒

子不能打开)，采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？ 解：设买了x大盒，y小盒。

23x+16y=500 解得：x=12,y=14;x+y=26. 答：他一共要买26盒。

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2. 一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，

恰好装完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少？ 解：设大盒x个，小盒y个。

12x+5y=99且x+y>10 解得：x=2,y=15.

答：大盒2个，小盒15个。

3. 新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书，已知老师

和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。问： 搬书的老师，男生，女生各有多少人？ 解：设老师x人，男生y人，女生z人。 x+y+z=14 12x+8y+5z=100 解得：x=3,y=3,z=8

答：搬书的老师3人，男生3人，女生8人。

例3．

1. 在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数。满足

上述条件的所有两位数的和是多少？

1解：设这个两位数是ab。则ab=4（a+b），a=b,解得b=2,a=1; b=4,a=2; b=6,a=3;

2b=8,a=4; 这个两位数分别是12，24，36，48；12+24+36+48=120，它们的和是120 。

答：满足上述条件的所有两位数的和是120。

2. 有些三位数：①它的各位数字不同且没有数字0；②这个数等于所有由它的

各位数字所组成的没有重复数字的两位数的和。那么满足以上条件的所有三位数的和是多少？ 解：设这个三位数为abc（a、b、c各不相同）

则abc?ab?ba?ac?ca?bc?cb

100a+10b+c = 22(a+b+c)

解得a=1,b=3,c=2或a=2,b=6,c=4或a=3,b=9,c=6 和为：132+264+396=792 例4．

1. 小赵买胶卷要付19元，但小赵身上的钱全是两元一张的，商店的钱全是五

元一张的，问小赵怎样付钱，商店如何找钱最方便？ 解：设2元的x张，5元的y张。

19?5y2x-5y=19 ； x=。解得 y=1，x=12；y=3，x=17??，综上所述，小赵应

2该付给12张2元的共24元钱，商店找给小赵5元钱。

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2. 某地水费，不超过10吨时，每吨4.5元，超过10吨时，超出部分按每吨8

元，张家比李家多交水费33元，如果两家的用水量都是整数吨，问张家、李家各交水费多少元？

解：设张家用了x吨，李家用了y吨。

首先进行判断，因为33÷4.5和33÷8均不为整数，所以x>10,y<10 10×4.5+8(x-10)-4.5y=33 解得：x=13,y=8

李家：8×4.5=36元，张家：36+33=69元。

例5：100匹马驮100筐物品，一匹大马驮3筐，一匹中马驮2筐，两匹小马驮1筐。问大、中、小马各多少？

解：设大、中、小马的匹数依次为x、y、z，由题意，列不定方程为： x+y+z=100

z 3x+2y+=100

2由第一个方程得 z=100－x－y，代入第二个方程，并变形，有

100?y3 x?，因此y?33。由于5︱100，所以5︱3y。

5所以，y=0,5,10,?,50.相应地可以得到x和z。但（3，5）=1，所以5︱y。因此把结果列出：

中马数y：0 5 10 15 20 25 30 大马数x：20 17 14 11 8 5 2 小马数z：80 78 76 74 72 70 68

用不定方程解应用题

知识要点

在应用题中出现了两个(甚至更多)未知量，而数量关系却少于未知量的个数，我们列出的就是不定方程。不定方程一般是指未知数的个数通常多于方程个数的方程。这样的方程的解通常不止一个。列方程解应用题时,出现未知数的个数多于所列方程的个数,这样的方程叫做不定方程.不定方程往往有无数解,因而这种方程解得个数由题目中关于未知数的限制条件来决定,因在解题过程中要特别注重对所设未知数的限制条件(有时是隐蔽的)的分析.解不定方程是可以用以下原则来缩小范围。

[原则一]：系数大的开始讨论 [原则二]：奇偶性讨论 [原则三]：倍数原理

[原则四]：尾数原理（运用条件：出现5的倍数）

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例1 求不定方程5x+3y=22的解，这里x,y为自然数。

解析 由5x+3y=22可知x?4，这样可以依次试出方程的解：

17当x=l时，3y=17，y=与y为自然数矛盾。

3当x=2时，3y=l2，y=4。

7当x=3时，3y=7，y=，与y为自然数矛盾。

32当x=4时, 3y=2，y=，与y为自然数矛盾。

3 先确定一个未知数的取值范围，再依次试出这些未知数的值。

练一练1

求不定方程5x+9y=104的整数解。

答案：X=19,Y=1; X=10,Y=6; X=1,Y=11

例2 一个工人将99颗弹子装人两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，这两种盒于各有多少个?

解析 设大盒子有x个，小盒子有y个，x与y为自然数，x+y>10，所以列不定方程如下： 12x+5y=99 5y=99-12x

因为99-12x?0，所以x?8，又99-12x是5的倍数，个位数字只能为0或5，那么12x的个位数字只能为4,x可取2或7。 当x=2时，y=15；

当x=7时，y=3，但7+3=10，不符合题意。 大盒子有2个、小盒子有15个。

本题关键是先列出相应的不定方程，再判断x的范围。

练一练2

装水瓶的盒子有大小两种，打得能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。问需大，

小盒子各多少个？

答案：大盒子3个，小盒子5个。

例3 甲种商品7元一份，乙种商品3元一份，小明用60元恰好买两种商品共多少份?

解析 设小明买甲种商品x份，乙种商品y份，可以列不定方程如下：

7x+3y=60，由于3、60均为3的倍数，且60-7x?0，x?8，又因为7x一定能被3整除， 所以： 当x=3时，y=13，此时3+13=16； 当x=6时，y=6，此时6+6=12。

所以小明用60元买两种商品16份或12份。 本题关键是确定7x的取值范围。

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练一练3

用5米和3米的管道铺设一段42米长的下水道，最少需要管道多少根？

答案：5x+3y=42 解得x=6,y=4

例4 某种考试已举行24次，共出了426道题，每次出的题目有25题、或者16题、或者20题， 那么其中考25题的有多少次。

解析 设考25题、20题依次为x次和y次，可列不定方程如下： (25-16)x+(20-16)y=426-16×24 9x+4y=42

42-9x?0，所以x?4，且4和42均能被2整除，因此只能取0、2、4。

1 当x=0 时，y=10

2当x=2时， y=6

3当x=4时, y=

2可以考25题的共有2次。

判断出x的范围小于或等于4，再确定不能取偶数是求解的关键。

例5 甲一分钟能洗3个盘子或9个碗，乙一分钟能洗2个盘子或7个碗，甲、乙合做，20分钟洗了134个盘子和碗。有几个盘子几个碗?

解析 设甲用a分钟洗盘子，(20-a)分钟洗碗，乙用b分钟洗盘子，(20-b)分钟洗碗。 3a+9(20-a)+2b+7(20-b)=134 6a+5b=186。

由上式知，b为偶数，所以a=l，6，ll或16。当a=1，6，ll时，b>20不合题意。所以a=16，b=18。

共洗了盘子3a+2b=84(个)，洗了碗134-84=50(个)。

本题先用未知数分别表示甲、乙洗盘子和碗的时间，再列不定方程。

例6 某地电费不超过10度时，每度0.45元；超过10度时，每度0．80元，张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，张家与李家各交电费多少元?

解析 设张家用电x度，李家用电y度，则x大于10，y小于10，且x、y均为自然数，根据题意，列方程：

两边同除以5得

y取l，2，??，9，经试验知，只有y=8时，x有整数解x=13。 10×0.45+3×0.8=6.9(元) 8×0.45=3.6(元)

所以张家交电费6.9元，李家交电费3.6元。

例7 将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计)。问剩余部分的铝管至少是多少厘米?

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解析 设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根，则可以看方程36x+24y=374

是否有解。由于36、24均能被4整除，374被4除余2，所以此方程无整数解。 若剩余部分最少是2厘米，则列方程36x+24y=372

即 3x+2Y=31 当 x=1时，y=14。

因此可以截成1根36厘米和14根24厘米两种型号的铝管，此时剩余部分最少为2厘米。

例8 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得了61分。问小鸡至多被套中多少次?

分析 与上题最大的不同是算出结果后，要选择最适合的一个，所以应在所有答案中选取小鸡套中次数最多的那一次。

解 设套中小鸡、小猴、小狗分别为x，y,(10-x-y)次，则根据题意列方程： 9x+5y+2(10-x-y)=61 化简后得： 7x+3y=41。

因为x,y都是整数，所以y越小，x越大。将y=1代入得7x=38无整数解，如果y=2，7x=35，解得 x=5，满足题目要求。

故知至多套中小鸡5次。 【能力训练】 A级

1．求下列方程的自然数解。

（1）3x+4y=23 (2) 16-5A=3B

答案：(1) X=1,Y=5 或X=5,Y=2 (2) A=2, B=2

2．小明要买一枝4角9分钱的卷笔刀,她手上有二分和五分的硬币各10枚,请问她可以怎样付钱? 解析:设小明付了X枚二分和Y枚五分,那么2X+5Y=49,这里X,Y都不大于10的整数.根据方程两边的奇偶性可知Y为奇数,由于X至多为10,所以5Y不小于49-20=29,因而Y至少为6,所以Y只能取7或9,经实验有两组解.X=7,Y=7;X=2,Y=9.超级教程P—141例1.

3．一个商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒装12个,每个小盒装5个,恰好装完.如果弹子数为99,盒子数大于9,问两种盒子各有多少个?

分析与解:设大盒子数有X个,小盒子数有Y个,那么12X+5Y=99.

X<8,Y是奇数,且5Y的个位数字因为5,则12X的个位数字为4, 满足条件的有X=2,Y=15;X=7,Y=3. 超级教程P-142例2

4．一个同学把他生日的月份乘以31,日期乘以12,然后加起来的和为170,你知道他出生于何月何日吗?

解析:设这位同学生于X月Y日,于是31X+12Y=170.X因为偶数,又31X不超过170,所以X只能为2或4;但170不是4的倍数,说明X=2,Y=9. 超级教程P—142例3.

5．一个学生发现自己今年(1991年)的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字和,请问这个学生今年几岁?

分析与解:设他出生于19XY年,那么1991-19XY=1+9+X+Y, 91-(10X+Y)=10+X+Y;

11X+2Y=81.由奇偶性知,X为奇数,11X不大于81,又不小于81-2*9=63,所以6《X《7,X=7,Y=2.这个学生今年的年龄为1+9+7+2=19岁. 超级教程P—143例5. 6．六(1)班举行一次数学测验,采用5级记分制(5分最高,依次类推),男生的平均分为4分,女生的平均分为3.25分,而全班的平均分为3.6分,如果该班的人数多于30人,小于50人.问该班有多少男生和多少女生参加了测验?

分析与解:设有X个男生和Y个女生.那么 4X+3.25=3.6(X+Y)??8X=7Y??X=7/8Y,Y为8的倍数,Y=24,X=21.培优竞赛 P-108例3.

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7．刘宇泉在甲公司打工,几个月后又在乙公司兼职.甲公司每月付给他薪金470元,乙公司每月付给他

薪金350元,年终,刘宇泉从两家公司共获薪金7620元,问他在甲公司打工多少个月?在乙公司兼职多少个月?

分析与解:设在甲公司X个月,在乙公司Y个月,则470X+350Y=7620 ???X=11,Y=7. 培优竞赛P-111

8．参加围棋比赛的七段和九段选手有若干名，他们的段位数字加在一起正好是100段。则七段，九段选手各有多少名？

答案：7X+9Y=100, X=13,Y=1;X=4,Y=8 B级

9. 将426个乒乓球装在三种盒子里，大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装1 6个。现共装了24盒，求用了多少个大盒?

解 设用X个大盒，y个中盒，那么用小盒24-x-y个。列方程为 25x+20y+16(24-x-y)=426。

化简整理，得 9x+4y=42 解得 X=2,Y=6 答: 用了2个大盒。

10．小明用5天时间看完了200页的故事书。已知他第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一、第二两天看的页数之和，第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和，第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和。那么，小明第五天至少看了多少页？ 分析与解：设小明第一天看了A页，第二天看了B页，则前五天看的页数依次为A，B，A+B，A+2B，2A+3B，得到5A+7B=200，解得B=20，A=12；B=25，A=5。得第五天至少看了84页。超级教程P-150题9。

25711．有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为: a,b,c,已知a、b、c都小于10,故得a、b、

368c依次为——、——、——.

分析与解：由题意3a+2=6b+5=8c+7。解这个不定方程得a=7，b=3，c=2超级测试P36题6

1112．全家每人各喝了一满碗咖啡牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的和全部咖啡(若干碗)的.

46那么全家有几口人?

分析与解：设全家共喝了X碗牛奶和Y碗咖啡，得1/4X+1/6Y=1—3X+2Y=12 解得X=2，Y=3，故共喝牛奶和咖啡2+3=5碗，因此有5人。超级教程P-36题7。

113．某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种

310棵树,每个孩子种6棵树,他们共种了216棵树,那么其中女职工有多少人?

分析与解：设有女职工X人，男职工Y人，有孩子X+Y/3人，这个条件说明X+Y是3的倍数，

X?Y10X+13Y+×6=216，即4X+5Y=72，4（X+Y）+Y=72，得Y能被12整除，Y=（72-4X）÷5

3《=72/5=14.8，所以Y=12，X=3。超级教程P-36题8。

※14. 一群猴子采摘水蜜桃。猴王不在的时候，一只大猴子一小时可采摘15公斤，一只小猴子一

11小时可采摘11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的和小猴子的必须停止采摘,去伺候猴王.有一

55天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水蜜桃,那么在这个猴群中,大猴子共有多少只?

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分析与解：以5只大猴子为一组，每一组大猴子共干了4×8+1×6=38小时，这一天可摘15×38千

克，同理小猴子这天摘了11×38千克。设有大猴子X组，有小猴子Y组，可得

15×38×X+15×38×Y=3382。—15X+11Y=89，X=3，Y=4；所以大猴子有3×5=15只。超级教程P—150题10。

基 础 篇

例1．不定方程的自然数解。

（1）2x+5y=12 （2）12x+17y=75

解：x=6,y=0或x=1,y=2 解：x=2,y=3

例2．用不定方程（组）解应用题。 1. 采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋

(盒子不能打开)，采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？ 解：设买了x大盒，y小盒。

23x+16y=500 解得：x=12,y=14;x+y=26. 答：略。

2. 新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书，已知老

师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。问： 搬书的老师，男生，女生各有多少人？ 解：设老师x人，男生y人，女生z人。 x+y+z=14 12x+8y+5z=100 解得：x=3,y=3,z=8 答：略。

3. 一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5

颗，恰好装完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少？ 解：设大盒x个，小盒y个。 12x+5y=99且x+y>10 解得：x=2,y=15. 答：略。

4. 有些三位数：①它的各位数字不同且没有数字0；②这个数等于所有由它

的各位数字所组成的没有重复数字的两位数的和。那么满足以上条件的所有三位数的和是多少？

解：设这个三位数为abc（a、b、c各不相同）

则abc?ab?ba?ac?ca?bc?cb

100a+10b+c = 22(a+b+c)

解得a=1,b=3,c=2或a=2,b=6,c=4或a=3,b=9,c=6

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和为：132+264+396=792

提 高 篇

例3．设有一筐苹果，把它们三等分后还剩1个苹果，取出其中两份，将剩下五

等分后还剩4个苹果，然后再取出其中三份，将剩下的四等分后还剩2个苹果，问这框苹果至少有几个？ 解：设最后剩下（4x+2）个。

则 所有苹果数为：3[5×（4x+2-4）÷2+4-1]+1=30x-5 所以最少 30×1-5=25个。

例4．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2

分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分，小鸡至多被套中多少次？ 解：设套中小鸡x次，小侯y次，小狗z次。 则 x+y+z=10 9x+5y+2z=61 解得：x=5,y=2,z=3

所以小鸡至多被套中5次。

例5．（选讲）某地水费，不超过10度时，每度0.45元，超过10度时，超出部

分按每度0.80元，张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，问张家、李家各交水费多少元？ 解：设张家用了x度，李家用了y度。

因为3.3 ÷0.45和3.3÷0.8均不为整数，所以x>10,y<10 10×0.45+0.8(x-10)-0.45y=3.3 解得：x=13,y=8

李家：8×0.45=3.6元，李家：3.6+3.3=6.9元。 例6．（选讲）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m位男生和11位女生

的捐款总数与乙班的9位男生和n位女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的

捐款数。(其中：m2?22m?121?(m?11)2) 解：设每人的捐款数是x元。 11+m=9+n,所以n=m+2

且 （11+m）x=mn+9m+11n+145

46所以 x?m?11?

m?11因为x是整数,m为正整数，所以m+11=23或46， 所以 x=25或47。

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