必修2平面解析几何知识点总结与训练

苏教版必修2

第2章 平面解析几何

1．直线的倾斜角与斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针

方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为?叫做直线的倾斜角. 倾斜角??[0,180?),??90?斜率不存在. （2）直线的斜率：k?y2?y1x2?x1(x1?x2),k?tan?．（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

2．直线方程的五种形式：

（1）点斜式：y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x?x0． （2）斜截式：y?kx?b (b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式：

y?y1y2?y1?x?x1x2?x1 (y1?y2，x1?x2).

注：① 不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

② 方程形式为：(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1)?0时，方程可以表示任意直线．

（4）截距式：

xa?yb?1 （a,b分别为x轴y轴上的截距，且a?0,b?0）．

注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．

（5）一般式：Ax?By?C?0 (其中A、B不同时为0)．

一般式化为斜截式：y??ABx?CBAB，即，直线的斜率：k??．

注：（1）已知直线纵截距b，常设其方程为y?kx?b或x?0．

已知直线横截距x0，常设其方程为x?my?x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y?0． 已知直线过点(x0,y0)，常设其方程为y?k(x?x0)?y0或x?x0．

（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重

合．

3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.

（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为?1或直线过原点．

（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为?1或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：

（1）若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2

① l1//l2?k1?k2,b1?b2； ② l1?l2?k1k2??1. （2）若l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0，有

① l1//l2?A1B2?A2B1且A1C2?A2C1．② l1?l2?A1A2?B1B2?0．

5．平面两点距离公式：

(P1(x1,y1)、P2(x2,y2))，P1P2?(x1?x2)?(y1?y2)．x轴上两点间距离：AB?xB?xA．

22x1?x2?x?0??2线段P1P2的中点是M(x0,y0)，则? ．

y?y2?y?10?2?6．点到直线的距离公式：

点P(x0,y0)到直线l：Ax?By?C?0的距离：d?7．两平行直线间的距离：

Ax0?By0?CA?B22．

两条平行直线l1：Ax?By?C1?0，l2：Ax?By?C2?0距离：d?C1?C2A?B22．

8．直线系方程：

（1）平行直线系方程：

① 直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．．

② 与直线l:Ax?By?C?0平行的直线可表示为Ax?By?C1?0．

③ 过点P(x0,y0)与直线l:Ax?By?C?0平行的直线可表示为：A(x?x0)?B(y?y0)?0． （2）垂直直线系方程：

① 与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线可表示为Bx?Ay?C1?0．

② 过点P(x0,y0)与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线可表示为：B(x?x0)?A(y?y0)?0． （3）定点直线系方程：

① 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中k是待定的系数．

② 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数． （4）共点直线系方程：经过两直线l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0交点的直线系方

程为A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0 (除l2)，其中λ是待定的系数．

9．曲线C1:f(x,y)?0与C2:g(x,y)?0的交点坐标?方程组10．圆的方程：

（1）圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2（r?0）．

（2）圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F?0)． （3）圆的直径式方程：

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，以线段AB为直径的圆的方程是：(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0． 注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是(?（2）一般方程的特点：

① x和y的系数相同且不为零；② 没有xy项； ③ D?E?4F?0 （3）二元二次方程Ax?Bxy?Cy22?f(x,y)?0的解．

g(x,y)?0D2,?E2)，r?122D2?E2?4F．

222?Dx?Ey?F?0表示圆的等价条件是：

22① A?C?0； ② B?0； ③ D?E?4AF?0．

11．圆的弦长的求法：

（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，

则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——()2?d2?r2；

2l（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

|AB|?1?k2|xA?xB|?1?1k2|yA?yB|

（其中|x1?x2|,|y1?y2|的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解） 12．点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种

①P在在圆外?d?r?(x0?a)2?(y0?b)2?r2． ②P在在圆内?d?r?(x0?a)2?(y0?b)2?r2．

③P在在圆上?d?r?(x0?a)2?(y0?b)2?r2． 【P到圆心距离d?13．直线与圆的位置关系：

(a?x0)?(b?y0)】

22222

直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种(d?Aa?Bb?C22):

A?B圆心到直线距离为d，由直线和圆联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为?．

d?r?相离???0；d?r?相切???0；d?r?相交???0．

14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为O1,O2，半径分别为r1,r2，O1O2?d

d?r1?r2?外离?4条公切线； d?r1?r2?内含?无公切线；

d?r1?r2?外切?3条公切线；d?r1?r2?内切?1条公切线；

r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线．

15．圆系方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F?0) （1）过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程：

(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0

?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?c?0是直线AB的方程．（2）过直线l：Ax?By?C?0与圆C:x2?y2?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程：

x?y?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0,λ是待定的系数．

22（3）过圆C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0与圆C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0的交点的圆系方程：

x?y?D1x?E1y?F1??(x?y?D2x?E2y?F2)?0,λ是待定的系数．

2222特别地，当???1时，x?y?D1x?E1y?F1??(x?y?D2x?E2y?F2)?0就是

2222(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．

16．圆的切线方程：

2（1）过圆x2?y2?r2上的点P(x0,y0)的切线方程为:x0x?y0y?r．

（2）过圆(x?a)2?(y?b)2?r2上的点P(x0,y0)的切线方程为:(x?a)(x0?a)?(y?b)(y0?b)?r2 ． （3）过圆x?y?Dx?Ey?F?0上的点P(x0,y0)的切线方程为:

x0x?y0y?D(x0?x)2?E(y0?y)2?F?0．

22222(4) 若P(x0,y0)是圆x?y?r外一点,由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为A,B

2则直线AB的方程为xx0?yy0?r

222(5) 若P(x0,y0)是圆(x?a)?(y?b)?r外一点, 由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为

2A,B则直线AB的方程为(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r

（6）当点P(x0,y0)在圆外时，可设切方程为y?y0?k(x?x0)，利用圆心到直线距离等于半径， 即d?r，求出k；或利用??0，求出k．若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线x?x0．

17．把两圆x?y?D1x?E1y?F1?0与x?y?D2x?E2y?F2?0方程相减

即得相交弦所在直线方程:(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0 ． 18．空间两点间的距离公式:

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?19．对称问题： （1）中心对称：

2222222(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)

① 点关于点对称：点A(x1,y1)关于M(x0,y0)的对称点A(2x0?x1,2y0?y1)．

② 直线关于点对称：

法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程． 法2：求出一个对称点，在利用l1//l2由点斜式得出直线方程．

（2）轴对称：

① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．

kl??1?kAA?·?AA? ⊥l 点A、A? 关于直线l对称?????AA? 中点在l上?AA? 中点坐标满足② 直线关于直线对称：（设a,b关于l对称）

l方程 ．

法1：若a,b相交，求出交点坐标，并在直线a上任取一点，求该点关于直线l的对称点．

若a//l，则b//l，且a,b与l的距离相等．

法2：求出a上两个点A,B关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程．

（3）点(a, b)关于x轴对称：(a,- b)、关于y轴对称：(-a, b)、关于原点对称：(-a,- b)、

点(a, b)关于直线y=x对称：(b, a)、关于y=- x对称：(-b,- a)、

关于y = x +m对称：(b -m、a +m)、关于y=-x+m对称：(-b+m、- a+m) ．

20．若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心G的坐标是???x1?x2?x33y?y2?y3?，1?．

3?21．各种角的范围：

（1）两个向量的夹角 0????180?

（2）直线的倾斜角 0????180? 两条相交直线的夹角 0????90? （3）两条异面线所成的角 0????90? 直线与平面所成的角 0????90?

斜线与平面所成的角 0????90? 二面角 0????180? 一、选择题

1．(文)(2010·山东潍坊)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( ) 7

A．(x－3)2＋?y－?2＝1

?3?B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 3?D.?x－

?2?2＋(y－1)2＝1

x2y2

(理)(2010·厦门三中阶段训练)以双曲线－＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是

63( )

A．x2＋y2－23x＋2＝0 C．x2＋y2＋23x＋2＝0

B．(x－3)2＋y2＝9 D．(x－3)2＋y2＝3

2．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是( )

1

A．2，(4－5)

2C.5，4－5

11

B.(4＋5)，(4－5) 2211

D.(5＋2)，(5－2) 22

3．(文)(2010·延边州质检)已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为( ) A．1 2

C. 5

4

B. 5D．2

(理)(2010·安徽合肥六中)已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为( ) 1A. 3

1B. 51D．－ 5

1C．－

3

4．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示的圆的充要条件是( ) 1

A.

C．m<

4

B．m>1 1

D．m<或m>1

4

5．(2010·北京海淀区)已知动圆C经过点F(0,1)，并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积( ) A．有最大值π C．有最大值4π

B．有最小值π D．有最小值4π

ππ

6．(文)已知a≠b，且a2sinθ＋acosθ－＝0，b2sinθ＋bcosθ－＝0，则连结(a，a2)，(b，b2)两点的直线与单

44位圆的位置关系是( ) A．相交 C．相离

B．相切 D．不能确定

7．(2010·吉林省质检)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( ) A．(－∞，4)

B．(－∞，0) D．(4，＋∞)

C．(－4，＋∞)

x≥0??

9．(文)已知不等式组?y≥0表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内

??x＋2y－4≤0部所覆盖，则圆C的方程为( )

A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋(y－1)2＝8 C．(x－4)2＋(y－1)2＝6 D．(x－2)2＋(y－1)2＝5

10．(文)(2010·烟台诊断)已知圆C的圆心为C(m,0)，m<3，半径为5，圆C与椭圆E：有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点． (1)求圆C的标准方程；

x2y2

＋＝1(a>b>0)a2b2

(2)若点P的坐标为(4,4)，试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由．

11．(文)设O点为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，→→且OP·OQ＝0. (1)求m的值； (2)求直线PQ的方程．

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