必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案

1．直线的倾斜角与斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着

交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为?叫做直线的倾斜角.

倾斜角??[0,180?),??90?斜率不存在. （2）直线的斜率：k?y2?y1(x1?x2),k?tan?．（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2?x12．直线方程的五种形式：

（1）点斜式：y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x?x0． （2）斜截式：y?kx?b (b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式：

y?y1x?x1 (y1?y2，x1?x2). ?y2?y1x2?x1注：① 不能表示与x轴和y轴垂直的直线；

② 方程形式为：(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1)?0时，方程可以表示

任意直线． （4）截距式：

xy??1 （a,b分别为x轴y轴上的截距，且a?0,b?0）． ab注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示

过原点的直线．

（5）一般式：Ax?By?C?0 (其中A、B不同时为0)．

AACx?，即，直线的斜率：k??．

BBB注：（1）已知直线纵截距b，常设其方程为y?kx?b或x?0．

已知直线横截距x0，常设其方程为x?my?x0(直线斜率k存在时，m为k的

倒数)或y?0．

已知直线过点(x0,y0)，常设其方程为y?k(x?x0)?y0或x?x0．

一般式化为斜截式：y??（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．

3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为?1或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为?1或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：

（1）若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2

① l1//l2?k1?k2,b1?b2； ② l1?l2?k1k2??1. （2）若l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0，有

① l1//l2?A1B2?A2B1且A1C2?A2C1．② l1?l2?A1A2?B1B2?0．

5．平面两点距离公式：

PP?(P1(x1,y1)、P2(x2,y2))，12(x1?x2)2?(y1?y2)2．x轴上两点间距离：

AB?xB?xA．

x1?x2?x???02线段P的中点是，则 ． PM(x,y)?1200y?y2?y?10?2?6．点到直线的距离公式：

点P(x0,y0)到直线l：Ax?By?C?0的距离：d?7．两平行直线间的距离：

两条平行直线l1：Ax?By?C1?0，l2：Ax?By?C2?0距离：d?Ax0?By0?CA?B22．

C1?C2A?B22．

8．直线系方程：

（1）平行直线系方程：

① 直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．．

② 与直线l:Ax?By?C?0平行的直线可表示为Ax?By?C1?0．

③ 过点P(x0,y0)与直线l:Ax?By?C?0平行的直线可表示为：

A(x?x0)?B(y?y0)?0．

（2）垂直直线系方程：

① 与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线可表示为Bx?Ay?C1?0．

② 过点P(x0,y0)与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线可表示为：

B(x?x0)?A(y?y0)?0．

（3）定点直线系方程：

k① 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中是待定的系数．

② 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数．

（4）共点直线系方程：经过两直线l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0交

点的直线系方程为A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0 (除

l2)，其中λ是待定的系数．

9．曲线C1:f(x,y)?0与C2:g(x,y)?0的交点坐标?方程组10．圆的方程：

222（1）圆的标准方程：(x?a)?(y?b)?r（r?0）．

?gf((xx,,yy))??00的解．

（2）圆的一般方程：x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)． （3）圆的直径式方程：

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，以线段AB为直径的圆的方程是：

(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0．

注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是(?（2）一般方程的特点：

2① x和y的系数相同且不为零；② 没有xy项； ③ D?E?4F?0

2222222DE1,?)，r?D2?E2?4F． 222（3）二元二次方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的等价条件是： ① A?C?0； ② B?0； ③ D?E?4AF?0．

11．圆的弦长的求法：

（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，

l222则：“半弦长+弦心距=半径”——()2?d2?r2；

2（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

221|yA?yB| 2k（其中|x1?x2|,|y1?y2|的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解）

12．点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种

|AB|?1?k2|xA?xB|?1?①P在在圆外?d?r?(x0?a)2?(y0?b)2?r2． ②P在在圆内?d?r?(x0?a)2?(y0?b)2?r2．

③P在在圆上?d?r?(x0?a)2?(y0?b)2?r2． 【P到圆心距离

d?(a?x0)2?(b?y0)2】

13．直线与圆的位置关系：

直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种(d?Aa?Bb?CA?B22):

圆心到直线距离为d，由直线和圆联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为?．

d?r?相离???0；d?r?相切???0；d?r?相交???0．

14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为O1,O2，半径分别为r1,r2，O1O2?d

d?r1?r2?外离?4条公切线； d?r1?r2?内含?无公切线； d?r1?r2?外切?3条公切线；d?r1?r2?内切?1条公切线；

r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线．

15．圆系方程：x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0) （1）过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程：

2222(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0

?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?c?0是直线AB的方程．

22（2）过直线l：Ax?By?C?0与圆C:x?y?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程：

x2?y2?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0,λ是待定的系数．

2222（3）过圆C1:x?y?D1x?E1y?F1?0与圆C2:x?y?D2x?E2y?F2?0的交

点的圆系方程：x?y?D1x?E1y?F1??(x?y?D2x?E2y?F2)?0,λ是

2222待定的系数．

22特别地，当???1时，x2?y2?D1x?E1y?F1??(x?y?D2x?E2y?F2)?0就

是

即过两圆(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0表示两圆的公共弦所在的直线方程，交点的直线． 16．圆的切线方程：

（1）过圆x2?y2?r2上的点P(x0,y0)的切线方程为:x0x?y0y?r2． （2）过圆(x?a)2?(y?b)2?r2上的点P(x0,y0)的切线方程为:(x?a)(x0?a)?(y?b)(y0?b)?r2 ．

（3）过圆x2?y2?Dx?Ey?F?0上的点P(x0,y0)的切线方程为:

D(x0?x)E(y0?y)??F?0． 22(4) 若P(x0,y0)是圆x2?y2?r2外一点,由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为

x0x?y0y?A,B

则直线AB的方程为xx0?yy0?r2

(5) 若P(x0,y0)是圆(x?a)2?(y?b)2?r2外一点, 由P(x0,y0)向圆引两条切线,

切点分别为A,B则直线AB的方程为(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r2 （6）当点P(x0,y0)在圆外时，可设切方程为y?y0?k(x?x0)，利用圆心到直线距离等于半径，

即d?r，求出k；或利用??0，求出k．若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线x?x0．

17．把两圆x2?y2?D1x?E1y?F1?0与x2?y2?D2x?E2y?F2?0方程相减

即得相交弦所在直线方程:(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0 ． 18．空间两点间的距离公式:

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)

222一、选择题

1．已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A．4x?2y?5 B．4x?2y?5 C．x?2y?5 D．x?2y?5

2．若A(?2,3),B(3,?2),C(,m)三点共线 则m的值为（ ）

1211 Ｂ．? Ｃ．?2 Ｄ．2 22xy3．直线2?2?1在y轴上的截距是（ ）

abＡ．

A．b B．?b C．b D．?b

4．直线kx?y?1?3k，当k变动时，所有直线都通过定点（ ） A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1)

D．(2,1)

225．直线xcos??ysin??a?0与xsin??ycos??b?0的位置关系是（ ） A．平行

B．垂直

C．斜交 D．与a,b,?的值有关

6．两直线3x?y?3?0与6x?my?1?0平行，则它们之间的距离为（ ）

251313 A．4 B． C．1326710 D．207．已知点A(2,3),B(?3,?2)，若直线l过点P(1,1)与线段AB相交，则直线l的

斜率k的取值范围是（ ）

3A．k?

43 B．?k?2

4 C．k?2或k?3 D．k?2 4

二、填空题

1．方程x?y?1所表示的图形的面积为_________。

2．与直线7x?24y?5平行，并且距离等于3的直线方程是____________。

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