福州中考数学压轴题专题复习—锐角三角函数的综合

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．

【答案】553

【解析】

【分析】

如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．

【详解】

解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．

∵AM⊥CD，

∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，

∴四边形OQMP是矩形，

∴QM＝OP，

∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，

∴△COD是等边三角形，

∵OP⊥CD，

∠COD＝30°，

∴∠COP＝1

2

∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3

∵∠AOC＝∠QOP＝90°，

∴∠AOQ＝∠COP＝30°，

∴AQ＝1

OA＝5（分米），

2

∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3

∵OB∥CD，

∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米），

在Rt△PKE中，EK＝22

-＝26（分米），

EF FK

∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米），

在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），

在Rt△FJE′中，E′J＝22

63

-（2）＝26，

∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26，

∴B′E′?BE＝4．

故答案为：5＋53，4．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

2．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；

（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）

【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D处成功拦截.

【解析】

【分析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出

AC 即可；

（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．

【详解】

（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ?????∠=-∠-∠=--=.

在Rt ABC 中，sin AC B AB =，所以3sin 3725155AC AB ?=?=?=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.

（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中，4sin 15125

CM AC CAM =?∠=?=，3cos 1595

AM AC CAM =?∠=?=. 在Rt ADM △中，tan MD DAM AM

∠=， 所以tan 7636MD AM ?=?=.

所以222293691724AD AM MD CD MD MC =+=+==-=，.

设缉私艇的速度为v 海里/小时，则有

2491716=，解得617v =. 经检验，617v =是原方程的解. 答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D 处成功拦截.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于切点为G ，连接AG 交CD 于K ．

（1）求证：KE=GE ；

（2）若KG 2=KD?GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．

【解析】

试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出

∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；

（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD?GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；

（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．

试题解析：（1）如图1，连接OG．

∵EG为切线，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°，

又∵OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．

∵KG2=KD?GE，即，

∴，

又∵∠KGE=∠GKE，

∴△GKD∽△EGK，

∴∠E=∠AGD，

又∵∠C=∠AGD，

∴∠E=∠C，

∴AC∥EF；

（3）连接OG，OC，如图3所示，

∵EG为切线，

∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠AKH+∠OAG=90°，

又∵OA=OG，

∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

∵sinE=sin∠ACH=

，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，

∴CK=AC=5t，

∴HK=CK-CH=t．

在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．

设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，

即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．

∵EF为切线，

∴△OGF为直角三角形，

在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，

∴FG=

【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

4．如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60o．

(1)点B的坐标是，∠CAO＝ o，当点Q与点A重合时，点P的坐标

为；

(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

【答案】（1）（6，3）． 30．（3，3）（2）

()

()()()243x 430x 33

31333x x 3x 5232S {23x 1235x 93

543x 9x

+≤≤-+-<≤=-+<≤> 【解析】

解：（1）（6，23）． 30．（3，33）． （2）当0≤x≤3时，

如图1，

OI=x ，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x ；

由题意可知直线l ∥BC ∥OA ，

可得EF PE DC 31==OQ PO DO 333==，∴EF=13（3+x ）， 此时重叠部分是梯形，其面积为：

EFQO 14343S S EF OQ OC 3x x 43233

==+?=+=+梯形（）（） 当3＜x≤5时，如图2，

)HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ 243331333 3x 3=?=-=-??=+---梯形梯形

当5＜x≤9时，如图3，

12S BE OA

OC 312x 2323 =x 1233=+?=--+（）（）。 当x ＞9时，如图4，

111833S OA AH 6=22x x

=?=??． 综上所述，S 与x 的函数关系式为：

))))243x 430x 33

313333x 5S {23x 1235x 93

543x 9+≤≤+<≤=-+<≤>． （1）①由四边形OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B 的坐标： ∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ， ∵A （6，0）、C （0，3∴点B 的坐标为：（6，3

②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数：

∵OC 233tan CAO OA ∠=∴∠CAO=30°． ③由三角函数的性质，即可求得点P 的坐标；如图：当点Q 与点A 重合时，过点P 作PE ⊥OA 于E ，

∵∠PQO=60°，D （0，33），∴PE=33．

∴0PE

AE 3tan 60==．

∴OE=OA ﹣AE=6﹣3=3，∴点P 的坐标为（3，33）．

（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x ＞9时去分析求解即可求得答案．

5．如图1，以点M （－1，0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－x －与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．

（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；

（2）如图2，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP : PH ＝3 : 2，求cos ∠QHC 的值；

（3）如图3，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT

交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN·

MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2

（2）；

（3）a=4

【解析】

【分析】

（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；

（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；

（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，

∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．

【详解】

（1）OE=5，r=2，CH=2

（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，

易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，

；

（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，

与圆交于点G，连接TG，则

，

由于，故，；

而，故

在和中，；

故△AMK∽△NMA

;

即：

故存在常数，始终满足

常数a="4"

解法二：连结BM，证明∽

得

6．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；

（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）

（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．

【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝

43

．理由见解析. 【解析】

【分析】

（1）根据三角形判定方法进行证明即可．

（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．

（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，

∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°，

∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ，

∴∠BAE ＝∠DAG ，

在△ADG 和△ABE 中， ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠??∠=∠??=?

，

∴△ADG ≌△ABE （AAS ）．

（2）解：∠FCN ＝45°，理由如下：

作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：

则∠EHF ＝90°＝∠ABE ，

∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，

∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°，

∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，

EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠??∠=∠??=?

，

∴△EFH ≌△ABE （AAS ），

∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，

∴CH ＝BE ＝FH ，

∵∠FHC ＝90°，

∴∠FCN ＝45°．

（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下：

作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：

由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，

结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，

∴EH ＝AD ＝BC ＝8，

∴CH ＝BE ， ∴EH FH FH AB BE CH =

=； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝8463

FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝

43． 【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．

7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．过点P 作PD ⊥AC 于点D (点P 不与点A ，B 重合)，作∠DPQ ＝60°，边PQ 交射线DC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．

（1）用含t 的代数式表示线段DC 的长：_________________；

（2）当t =__________时，点Q与点C重合时；

（3）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，求出t的值．【答案】（1）；（2）1；（3）t的值为或或.

【解析】

【分析】

（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；

（2）利用AQ=AC，即可得出结论；

（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．

【详解】

（1）∵AP= , AB=4,∠A＝30°

∴AC= , AD=

∴CD=；

（2）AQ=2AD=

当AQ=AC时，Q与C重合

即=

∴t=1；

（3）①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，

∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2.

∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝

②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，

∴∠QMN＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.

在Rt△NMQ中，

∵AN＋NQ＝AQ，∴

③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，

∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°.

∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.

在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t.

∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5，∴t＝.

即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．

8．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．

(1)求AE的长及sin∠BEC的值；

(2)求△CDE的面积．

【答案】（1）2，sin∠BEC=3

5

；（2）

75

4

【解析】

【分析】

（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B，点A坐标，继而可得

∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，

2，

设AE=CE=x，则222-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x 的值即可求得答案；

（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，根据三角形面积公式则可得

S△CDE=S△AED=

2

4

AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，利用勾股定理求

出y，继而可求得答案.【详解】

（1）如图，作CF⊥BE于F点，

由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，

又∵点C是OB中点，

∴OC=BC=6，CF=BF=32，

设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，

在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（92-x）2+（32）2，

解得：x=52，

故可得sin∠BEC=

3

5

CF

CE

，AE=52；

（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，

则S△CDE=S△AED=1

2

AD?EM=

1

2

AD×AEsin∠EAM=

1

2

AD?AE×sin45°=

2

4

AD×AE，

设AD=y，则CD=y，OD=12-y，

在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，

解得：y=15

2

，即AD=

15

2

，

故S△CDE=S△AED=

2

4

AD×AE=

75

4

．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.

9．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．

（1）如图1，将△PDF 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，QF 交AD 于点E ．求证：△DEF 是等腰三角形；

（2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C ，F'B ．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．

①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时，求证：△DP'C ∽△DF'B ．

②如图3，若点P 是CD 的中点，△DF'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan ∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②

12或33 . 【解析】

【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF ，所以△DEF 是等腰三角形；

（2）①由于PF ∥BC ，所以△DPF ∽△DCB ，从而易证△DP′F′∽△DCB ；

②由于△DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．

【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ ，

∵PF ∥BC ，

∴∠DFP=∠ADF ，

∴∠DFQ=∠ADF ，

∴△DEF 是等腰三角形；

（2）①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时，

∵∠P′DF′=∠PDF ，

∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF ﹣∠F′DC ，

∴∠P′DC=∠F′DB ，

由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF ，

∵PF ∥BC ，

∴△DPF ∽△DCB ，

∴△DP′F′∽△DCB ∴''

DC DP DB DF ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；

②当∠F′DB=90°时，如图所示，

∵DF′=DF=12BD ， ∴'12

DF BD =， ∴tan ∠DBF′='12

DF BD =；

当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意；

当∠DF′B=90°时，如图所示，

∵DF′=DF=

12

BD ， ∴∠DBF′=30°， ∴tan ∠DBF′=3.

【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.

10．如图以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点F.

（1）求证：DF ⊥AC ；

（2）若∠ABC=30°，求tan ∠BCO 的值.

【答案】(1)证明见解析; (2) tan∠

【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．

（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．

试题解析：证明:连接OD

∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE

∵O为AB中点, D为BC的中点

∴O D‖AC

∴DE⊥AC

(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD

在Rt△BFO中，∠ABC=30°

∴OF=1

2OB

∵BD=DC, BF=FD，∴

在Rt△OFC中，tan∠

BCO=

1

9

OB

OF

FC

==.

点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识

点，有一定的综合性，根据已知得出OF=1

2

OB，

，

OB是解题关

键．

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