中考数学专题复习 - 存在性问题

中考数学专题复习——存在性问题

一、二次函数中相似三角形的存在性问题

1.如图，把抛物线y?x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y?(x?h)2?k. 所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h、k的值； （2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形， 求点D的坐标；

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM?x轴，垂足为M，是否存在点P， 使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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二、二次函数中面积的存在性问题

3.如图，抛物线y?ax2?bx?a>0?与双曲线y?

k

相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2）， x

点A在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C． （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，写出点D的坐标； 若不存在，说明理由．

4.如图，抛物线y＝ax＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，

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A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）

（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）

(4)在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大，若有，求出点Q的坐标，若没有，说明理由。

y _ AO _ Dx B C

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三、二次函数中直角三角形的存在性问题

5.如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4， 抛物线y?x2?bx?c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b,c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，

当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

yyB B

CCAA OxOx

D D

四、二次函数中等腰三角形的存在性问题

6.如图，直线y?3x?3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标； 若不存在，请说明理由.

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26题图26题备用图y B A O C x

五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题

7．如图，二次函数y= ?x?ax?b的图像与x轴交于A(?，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；

(2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点

为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。 y C

x B A O

六、二次函数中菱形的存在性问题

8．如图，抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D． 直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F． （1）求m的值及该抛物线对应的解析式；

（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；

（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

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七、二次函数中与圆有关存在性问题

x219.已知：抛物线y与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）(x?x，?0)， ?x??(12m)x?64?m12x2它的对称轴交x轴于点N（x3，0），若A，B两点距离不大于6， （1）求m的取值范围；（2）当AB=5时，求抛物线的解析式；

（3）试判断，是否存在m的值，使过点A和点N能作圆与y轴切于点（0，1），

或过点B和点N能作圆与y轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的m的值，若不存在试说明理由

定值问题：

1.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．

（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？ 如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

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