线性代数试题答案及评分细则B卷

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试题答案要点及评分细则

课程名称： 线性代数A(32课时) (_B_卷) 专业年级：全院相关年级 填写人： 靳宝霞 2011—— 2012 学年第 一 学期 参 考 答 案 及 得 分 要 点 评分标准（得分） 一、填空题 （每空3分 ）

1?1?2?4?3?1?? 1. 6 2. 2?n 3. ?? 4. 0 5. 35?21???2??21??3?32?1??3?2? 3??1?? 6. 1 7. -3 8. 1 9. 3 10. ??二、计算题（10分） 1111101111011110110010?10100?10?100?a11?a21a12a22ka11?a13?? ?ka12?a23?解：原式=3 2分 =3 6分 =3?(?1)?(?1)?(?1) 8分 =-3 10分 第 1 页（共 页）

参 考 答 案 及 得 分 要 点 评分标准（得分） 三、证明（10分） 证明：因为 A?diag(1,2,3) ，且 |A|?6 ， 11所以 A?1可逆，且A?1?diag(1,,) 4分 23 因为A?1BA?4A?2BA 整理得：(A?1?2E)B?4E 6则：B?4(A?1?2E) ???100???所以， B?4?0?320? ?? ?00?53?? 四、计算（12分） 解: 设??k1?1?k2?2?k3?3 展开可得关于k1,k2,k3为未知量的线性方程组 ??k1?k2?k3?1 ??k1?2k2?k3?0?2k1?k2?4k3?3 ??2k1?3k2?1 不难发现，若方程组有解，则?可由?1,?2,?3线性表示， 且其解就是组合系数。若方程组有唯一解，则表达式唯一；若 方程组有无穷多解，则表达式也有无穷多种形式，若方程组无 解，则?不可由?1,?2,?3线性表示. ?k1???于是解方程组得：?3??2??k?????2??k?2????1? (k为任意常数) ??k3????1????0??所以，?可由?1,?2,?3线性表示，且表示方式有无数多种 ??(?3k?2)?1?(2k?1)?2?k?3 (k为任意常数) 分 8分 10分 1分

4分

10分

12分

参 考 答 案 及 得 分 要 点 评分标准（得分） 四、计算（14分） ?11?0?1 （1） 解： (?1,?2,?3,?4)??2??15? 2分 2??233?1??1?104????1122??1122?1?1?5? ??0?115????01?1?5????0?0012?? ?011?1????0000?? ??1001???010?3??012?? ?0?0000??所以，r(?1,?2,?3,?4)?3 （2）?1,?2,?3为向量组的一个极大无关组 且?3??1?3?2?2?4 六、计算（12分） 解：对方程组的增广矩阵施与初等变换，得 ?11?3?11??11?3?(A,b)???3?1?344????11??0?4671??? ?15?9?80????00000????10?335??244????01?3?7?1???244? ??00000?????于是该方程组的同解方程组为 6分 7分 9分 10分 14分 4分 6分

参 考 答 案 及 得 分 要 点 评分标准（得分）

335?x?x?x???123444 ? 8分 ???x2?32x3?74x4?14??5??4?令 x??1??3?x4?0，得特解为 ????4? ??0????0??其导出组的基础解系为： ??3??3??2?????4????3???7??12?， ?2??4? ??1?????0???0????1??所以该方程组的通解为 x????k1?1?k2?2（k1,k2为任意常数） 七、计算（10分） 解：因为A2?A?E?0 所以，A2?A?E 则A(A?E)?E 所以A可逆，且A?1?A?E 同理，因为A2?A?E?0，则： (2A?E)(12A?314E)?4E 即：(2A?E)(2A?3E)?E 所以2A?E可逆，且(2A?E)?1?2A?3E 10分 12分 14分 1分 3分 5分 7分 8分 10分 a12111231223?0， |?2,?3,?? |?1,?3?,|?434|b2?3 0 6分

11解得：a?2,b?5 10分

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