2014高考导数压轴题-导数应用题

导数应用题

1. 某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．

(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；

(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．

40解：(1)设日销售量为，则＝10，∴k＝10 e.则日销售量为，

.∴y＝，其中35≤x≤41. ∴日利润y＝(x－30－t)·

(2)y′＝，令y′＝0得x＝31＋t.

①当2≤t≤4时，33≤31＋t≤35.∴当35≤x≤41时，y′≤0.

5∴当x＝35时，y取最大值，最大值为10(5－t)e.

35<t＋31≤36 ，t＋31]上单调递增，②当4<t≤5时，函数y在[35，在[t＋31,41]上单调递减．

9t∴当x＝t＋31时，y取最大值10e－.

∴当2≤t≤4时，x＝35时，日利润最大值为10(5－t)e5元．

9t当4<t≤5时，x＝31＋t时，日利润最大值为10e－元．

2. 如图，ABCD是正方形空地，正方形的边长为30m，电源在点P处，点P到边AD、AB的距离分别为9m、3m，某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶

MN：NE=16：9，N分别在边AD、广告屏幕MNEF，线段MN必须过点P，满足M、

AB上，设AN x(m)，液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2). （I）求S关于x的函数关系式，并写出该函数的定义域；

（II）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？

解：（I）如图，建立直角坐标系，设M(0,t),

由已知有P(9,3),N(x,0),

3 03 t3x , t 9 x9x 9

3x(10 x 30). x 9又MN过点D时，x最小值为10， AM

9x2

MN AN AM x (x 9)2 9MN:NE 16:9, NE MN162222

9929x2

2 S MNNE MN [x ]. 1616(x 9)2

定义域为[10，30].

918x(x 9)2 9x2(2x 18)9x[(x 9)3 81]] （II）S' [2x 16(x 9)48(x 9)3

令

S' 0,得x=0(舍去

当10 x 9 ,S' 0,S关于x为减函数；

当9 x 30时，S' 0,S关于x为增函数.

当x 9 S取得最小值.

答：当AN长为9 （m）时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小

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