2019年高考数学（苏教理）一轮方法测评练：步骤规范练解三角形

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2019.5

步骤规范练——解三角形

(建议用时：90分钟)

一、填空题

1

sin2 35°－2

1．(20xx·山东师大附中月考)化简cos 10°＝________.

cos 80°1－cos 70°111

sin 35°－2－－

222cos 70°解析 cos 10°＝cos 10°＝1＝－1.

cos 80°·sin 10°

2sin 20°

2

答案 －1

π3

2．(20xx·潮州二模)在△ABC中，A＝3，AB＝2，且△ABC的面积为2，则边AC的长为________．

1133

解析 由题意知S△ABC＝2×AB×AC×sin A＝2×2×AC×2＝2，∴AC＝1. 答案 1

?π?

3．(20xx·成都五校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos?4－α?，则sin 2α等于______．

??π?π??ππ?

解析 ∵α∈?0，2?，∴2α∈(0，π)，4－α∈?－4，4?.

????ππ?π?

－α?，2α＝－α或2α＋－α＝0， 又cos 2α＝cos?4

44??ππ

∴α＝12或α＝－4(舍)． π1

∴sin 2α＝sin 6＝2. 1

答案 2

3

4．(20xx·中山模拟)已知角A为△ABC的内角，且sin 2A＝－4，则sin A－cos A＝________.

3

解析 ∵A为△ABC的内角，且sin 2A＝2sin Acos A＝－4＜0，∴sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0. 7

又(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝4. 7

∴sin A－cos A＝2. 7

答案 2 5．(20xx·临沂一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2 A＋sin2 C－sin2 B＝3sin Asin C，则角B的大小为________．

222

a＋c－b3ac

解析 由正弦定理可得a2＋c2－b2＝3ac，所以cos B＝＝2ac2ac＝

3π

，所以B＝26. π答案 6

?π?1?5π??2?π6．(20xx·南通、无锡调研)已知sin?x＋6?＝4，则sin?6－x?＋sin?3－x?＝________. ???????π?1?5?

x＋π－x????＋ 解析 因为sin＝，所以sin?6?4?6?119?π??π??π?1

sin2?3－x?＝sin?x＋6?＋cos2?x＋6?＝4＋1－16＝16. ??????19答案 16

7．(20xx·安徽卷改编)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________. 5解析 由3sin A＝5sin B，得3a＝5b，∴a＝3b， 7

代入b＋c＝2a中，得c＝3b.由余弦定理， a2＋b2－c212π

得cos C＝2ab＝－2，∴C＝3.

2π

答案 3

53

8．(20xx·东北三校联考)设α，β都是锐角，且cos α＝5，sin(α＋β)＝5，则cos β＝________.

解析 α，β都是锐角， 525当cos α＝5时，sin α＝5. 51

因为cos α＝5＜2，所以α＞60°. 33又sin(α＋β)＝5＜2， 所以α＋β＜60°或α＋β＞120°.

显然α＋β＜60°不可能，所以α＋β为钝角． 34又sin(α＋β)＝5，因此cos(α＋β)＝－5， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

45325－45＋6525＝－5×5＋5×5＝＝25.

2525

答案 25 9．(20xx·新课标全国Ⅰ卷改编)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.

1解析 化简23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝5.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，代入数据，得b＝5. 答案 5

π

10．(20xx·天津卷改编)在△ABC中，∠ABC＝4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝________.

解析 由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA· πBCcos B＝(2)2＋32－2×2×3cos4＝5.

∴AC＝5，由正弦定理

BCAC

＝，得

sin∠BACsin∠ABC

π2

3×sin 43×2

BC·sin∠ABC310

sin∠BAC＝＝＝＝

AC10. 55310

答案 10 π??π?3?π

11．(20xx·浙江五校联盟联考)已知sin?4－x?＝4，且x∈?－2，－4?，则cos 2x

????的值为________．

?π??π?

解析 sin 2x＝cos?2－2x?＝1－2sin2?4－x?

????1?3?2

＝1－2×?4?＝－8，

??

π?π??π?

∵x∈?－2，－4?，∴2x∈?－π，－2?.

????37∴cos 2x＝－1－sin2 2x＝－8. 37

答案 －8 12．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．

解析 由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，可得B＝60°.又在△ABD中，AB＝1，BD＝2，由余弦定理可得AD＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝3. 答案

3

13．(20xx·济宁期末考试)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b2

＝1，c＝3，C＝3π，则S△ABC＝________.

bc1

解析 因为c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得sin B＝sin C，即sin B＝

3

2πsin3

1ππ2ππ1

＝2，即sin B＝2，所以B＝6，所以A＝π－6－3＝6.所以S△ABC＝2bc sin A113＝2×3×2＝4. 3

答案 4 ?π??ππ?14．(20xx·天水模拟)f(x)＝2sin2?4＋x?－3cos 2x－1，x∈?4，2?，则f(x)的最小

????值为________ .

?

解析 f(x)＝2sin?4＋x?－3cos 2x－1

???π?

＝1－cos 2?4＋x?－3cos 2x－1

??

π?ππ?π??

＝－cos?2＋2x?－3cos 2x＝sin 2x－3cos 2x＝2sin?2x－3?，因为≤x≤，42????π?π?ππ2π1??

所以6≤2x－3≤3，所以2≤sin?2x－3?≤1，所以1≤2sin?2x－3?≤2，即

????1≤f(x)≤2，所以f(x)的最小值为1. 答案 1 二、解答题

1

15．(20xx·金华十校模拟)已知函数f(x)＝3sin xcos x＋cos2x－2，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝1. (1)求角B的大小；

(2)若a＝3，b＝1，求c的值． 31

解 (1)因为f(x)＝2sin 2x＋2cos 2x＝ π??

sin?2x＋6?， ??

π??

所以f(B)＝sin?2B＋6?＝1，

??π?π13π?又2B＋6∈?6，6?，

??πππ

所以2B＋6＝2，所以B＝6.

(2)法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得c2－3c＋2＝0，所以c＝1或c＝2. ab

法二 由正弦定理sin A＝sin B，

2?π

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