2015中考数学模拟试卷8

2015中考数学模拟试卷8

一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对成题目上. 1．在﹣2，﹣1，0，2这四个数中，最大的数是（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0

D．2

2．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（ ） A．5×1010千克

B．50×109千克

C．5×109千克

D．0.5×1011千克

3．下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）

A． B． C． D．

4．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

5．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ）

A． B． C． D

7．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）

A．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4）

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B．（，3）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4）

8．如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC于点O，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中错误的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填在答题卡对应题中横线上 9．分解因式：xy2﹣9x= ． 10．分式方程

的解是 ．

11．如图，AB∥CD，∠α= ．

12．将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 度．

13．一次函数y=ax+b和一次函数y=bx+a图象正确的是 （ ）

A． B． C． D．

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14．如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，则△ADE的周长为 ．

15． 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 ．（结果保留根号）

16．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是

的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D

的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论： ①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB． 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．

三、解答题：（本大题共8个题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（1）计算：

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（2）化简：

．

18．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，且AF=CE，BH=DG．求证：GF∥HE．

19．我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．

（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；

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（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．

20．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．

（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？

（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？

（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？

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21．小刚参观上海世博会，由于仅有一天的时间，他上午从A﹣中国馆、B﹣日本馆、C﹣美国馆中任意选择一处参观，下午从D﹣韩国馆、E﹣英国馆、F﹣德国馆中任意选择一处参观．

（1）请用画树状图或列表的方法，分析并写出小刚所有可能的参观方式（用字母表示即可）； （2）求小刚上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率．

22．右图中曲线是反比例函数

的图象的一支．

（1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）若一次函数求n的值．

的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，△AOB的面积为2，

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23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF=FD；

（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．

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24．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点O，与x轴相交于点B（﹣4，0），顶点为D，直线y=﹣x与二次函数的图象交于点A（m，8），直线AD交x轴于点E，交y轴于点F． （1）求m的值及二次函数的解析式； （2）求tan∠AEB的值；

（3）点P是射线OA上的动点（点P与点A、O不重合），过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点M，问：是否存在点P，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOF相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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2015中考数学模拟试卷8答案

一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对成题目上. 1．在﹣2，﹣1，0，2这四个数中，最大的数是（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0

D．2

【考点】有理数大小比较．

【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案． 【解答】解：﹣2＜﹣1＜0＜2， 故选：D．

【点评】本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．

2．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（ ） A．5×1010千克

B．50×109千克

C．5×109千克

D．0.5×1011千克

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于500亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．

【解答】解：500亿=50 000 000 000=5×1010．故选：A．

【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 3．下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解；A、正方体的俯视图是正方形，故A正确；

B、圆柱的俯视图是圆，故B错误； C、三棱锥的俯视图是三角形，故C错误； D、圆锥的俯视图是圆，故D错误，故选：A．

【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．

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4．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【专题】常规题型．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．

【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

5．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根 【考点】根的判别式．

【分析】把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况． 【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0， 所以原方程没有实数根．故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 6．关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象． 【专题】数形结合．

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【分析】根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．

【解答】解：当k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过第一、二、三象限，故A、C错误；

当k＜0时，反比例函数经过第二、四象限；一次函数经过第二、三、四象限，故B错误，D正确； 故选：D．

【点评】考查反比例函数和一次函数图象的性质：

（1）反比例函数y=：当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；

（2）一次函数y=kx+b：当k＞0，图象必过第一、三象限，当k＜0，图象必过第二、四象限．当b＞0，图象与y轴交于正半轴，当b=0，图象经过原点，当b＜0，图象与y轴交于负半轴．

7．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）

A．（，3）、（﹣，4） ）、（﹣，4）

B．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，

【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】几何图形问题；压轴题．

【分析】首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案． 【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，

∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE=∠CHO， 在△ACF和△OBE中，

，

∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE=CF=4﹣1=3，

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∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°∴△AOD∽△OBE， ∴

，即

，∴OE=，即点B（，3），

∴AF=OE=，∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）=﹣，∴点C（﹣，4）．故选：B．

【点评】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

8．如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC于点O，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中错误的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】压轴题．

【分析】根据折叠的知识，锐角正切值的定义，全等三角形的判定，面积的计算判断所给选项是否正确即可．

【解答】解：①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误； ②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折叠可知） ∵OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB=90°， 在Rt△AOB和Rt△COB中，

，∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL），则全等三角形共有4对，故②正确；

③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF，

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∴∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误； ④∵OB⊥AC，且AB=CB，∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°， 由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，

又∵∠BFD为三角形ABF的外角，∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，

易得∠BDF=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠BFD=∠BDF，∴BD=BF，故④正确； ⑤连接CF，∵△AOF和△COF等底同高，∴S△AOF=S△COF，

∵∠AEF=∠ACD=45°，∴EF∥CD，∴S△EFD=S△EFC，∴S四边形DFOE=S△COF，∴S四边形DFOE=S△AOF， 故⑤正确；故错误的有2个．故选：B．

【点评】此题考查了由折叠得到的相关问题；注意由对称也可得到一对三角形全等；用到的知识点为：三角形的中线把三角形分成面积相等的2部分；两条平行线间的距离相等．

二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填在答题卡对应题中横线上 9．分解因式：xy2﹣9x= x（y+3）（y﹣3） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：xy2﹣9x=x（y2﹣9）=x（y﹣3）（y+3）． 故答案为：x（y﹣3）（y+3）．

【点评】本题考查对多项式的分解能力，一般先考虑提公因式，再考虑利用公式分解因式，要注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止． 10．分式方程

【考点】解分式方程．

【分析】先确定分式方程的最简公分母为（x+2）（x﹣1），两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解．

【解答】解：去分母，得3（x﹣1）=5（x+2）．整理得2x=﹣13，解方程得x=经检验x=

是原分式方程的解．∴原分式方程的解是x=

．故答案为：

． ．

的解是 ．

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【点评】本题主要考查的是分式方程的解法，解分式方程要注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 11．如图，AB∥CD，∠α= 85° ．

【考点】平行线的性质． 【专题】计算题．

【分析】过点E作AB的平行线EF，则利用平行线的性质，可得出∠α的度数． 【解答】解：过点E作AB的平行线EF，则AB∥CD∥EF，

∴∠ABE+∠FEB=180°，∠FEC=∠ECD=25°，∴∠α=∠FEB+∠FEC=85°．故答案为：85°．

【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行内错角相等、同旁内角互补． 12．将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 144 度． 【考点】圆锥的计算．

【分析】根据圆锥的侧面积公式得出圆锥侧面积，再利用扇形面积求出圆心角的度数． 【解答】解：∵将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平， ∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×6×15=90πcm2，∴扇形面积为90π=解得：n=144，∴侧面展开图的圆心角是144度．故答案为：144．

【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥侧面积是解决问题的关键．

13．一次函数y=ax+b和一次函数y=bx+a图象正确的是 （ ）

，

A． B． C． D．

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【考点】一次函数的图象．

【分析】本题可先确定一次函数y=ax+b的字母系数的正负，再判断函数y=bx+a的字母系数的正负，从而得到答案．

【解答】解；设a＞0，b＜0，则函数y=ax+b的图象是上升的，交y轴的负半轴，函数y=bx+a图象是下降的，与y轴交于正半轴，

设a＜0，b＞0，则函数y=ax+b的图象是下降的，交y轴的正半轴，函数y=bx+a图象是上升的，与y轴交于负半轴，

设a＞0，b＞0，则函数y=ax+b的图象是上升的，交y轴的正半轴，函数y=bx+a图象是上升的，与y轴交于正半轴，

设a＜0，b＜0，则函数y=ax+b的图象是下降的，交y轴的负半轴，函数y=bx+a图象是下降的，与y轴交于负半轴， 故选B．

【点评】本题考查了一次函数的图象，直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 14．如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，则△ADE的周长为 11 ．

【考点】切线长定理．

【分析】根据切线长定理，可将△ADE的周长转化为AB+AC﹣BC的长，由此得解． 【解答】解：如右图；

设DE、BD、BC、CE与⊙I的切点分别为F、G、H、M，由切线长定理知： BH=BG、CH=CM、EM=EF、FD=DG、AM=AG； 则AG+AM=AB+AC﹣BC=11；

所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DG+EM+AE=AG+AM=11．

【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．

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共有12种等可能的情况，恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种，则概率是： =．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

20．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．

（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？

（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？

（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用． 【专题】应用题；压轴题．

【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量．

（2）关系式为：99≤A款汽车总价+B款汽车总价≤105．

（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；多进B款汽车对公司更有利，因为A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，所以要多进B款． 【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：

，

解得：m=9．经检验，m=9是原方程的根且符合题意．答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）设购进A款汽车x辆．则： 99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10． ∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案； （3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：

W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．

当a=0.5时，（2）中所有方案获利相同．此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利． 【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．

21．小刚参观上海世博会，由于仅有一天的时间，他上午从A﹣中国馆、B﹣日本馆、C﹣美国馆中任意选择一处参观，下午从D﹣韩国馆、E﹣英国馆、F﹣德国馆中任意选择一处参观．

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（1）请用画树状图或列表的方法，分析并写出小刚所有可能的参观方式（用字母表示即可）； （2）求小刚上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率． 【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）用树状图即可得到小刚所有可能的参观方式；

（2）看恰好参加中国馆，日本馆，韩国馆的情况占总情况的多少即可． 【解答】解：（1）树状图或列表：

D E F 下午 上午 A B C （A，D） （A，E） （A，F） （B，D） （B，E） （B，F） （C，D） （C，E） （C，F） （2）共有9种情况，上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的情况有2种，所以概率是．

【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．注意本题是不放回实验． 22．右图中曲线是反比例函数

的图象的一支．

（1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）若一次函数求n的值．

的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，△AOB的面积为2，

【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第二、第四象限，所以n+7＜0即可求解；

第22页（共26页）

（2）图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=|k|，可利用△AOB的面积求出n值．

【解答】解：（1）这个反比例函数图象的另一支位于第四象限． 由n+7＜0，解得n＜﹣7，即常数n的取值范围是n＜﹣7； （2）在

中令y=0，得x=2，即OB=2．

过A作x轴的垂线，垂足为C，如图．∵S△AOB=2，即OB?AC=2， ∴×2×AC=2，解得AC=2，即A点的纵坐标为2． 把y=2代入

中，得x=﹣1，即A（﹣1，2）．所以

，解得n=﹣9．

【点评】本题主要考查了反比例函数的性质和反比例函数中k的几何意义．图象上的点与原点所连的

线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．

23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF=FD；

（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．

【考点】切线的性质；角平分线的性质；垂径定理；圆周角定理； 相似三角形的判定与性质． 【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）连接OF，通过切线的性质证OF⊥FH，进而由FH∥BC，得OF⊥BC，即可由垂径定理得到F是弧BC的中点，根据圆周角定理可得∠BAF=∠CAF，由此得证；

（2）求BF=FD，可证两边的对角相等；易知∠DBF=∠DBC+∠FBC，∠BDF=∠BAD+∠ABD；观察上述∠ABD、∠CBD是被角平分线平分∠ABC所得的两个等角，两个式子，而∠CBF和∠DAB所对的是等弧，由此可证得∠DBF=∠BDF，即可得证；

（3）由EF、DE的长可得出DF的长，进而可由（2）的结论得到BF的长；然后证△FBE∽△FAB，根据相似三角形得到的成比例线段，可求出AF的长，即可由AD=AF﹣DF求出AD的长． 【解答】（1）证明：连接OF ∵FH是⊙O的切线∴OF⊥FH ∵FH∥BC，∴OF垂直平分BC∴

，∴∠1=∠2，∴AF平分∠BAC

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（2）证明：由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠1+∠4=∠5+∠3

∵∠1+∠4=∠BDF，∠5+∠3=∠FBD，∴∠BDF=∠FBD，∴BF=FD （3）解：在△BFE和△AFB中

∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠AFB，∴△BFE∽△AFB∴∴

，EF=4，BF=FD=EF+DE=4+3=7，∴

═

，∴BF2=FE?FA

=

∴AD=AF﹣DF=AF﹣（DE+EF）=

【点评】此题主要考查了切线的性质、圆周角定理及相似三角形的判定和性质．

24．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点O，与x轴相交于点B（﹣4，0），顶点为D，直线y=﹣x与二次函数的图象交于点A（m，8），直线AD交x轴于点E，交y轴于点F． （1）求m的值及二次函数的解析式； （2）求tan∠AEB的值；

（3）点P是射线OA上的动点（点P与点A、O不重合），过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点M，问：是否存在点P，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOF相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）先由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点O，得出c=0，则y=ax2+bx．再求出A点坐标，然后将点A、点B的坐标代入y=ax2+bx，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）先利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，求出顶点D的坐标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式，进而求出E点坐标，然后作AG⊥x轴于G，在直角△AGE中利用正切函数的定义即可求出tan∠AEB的值；

（3）设点P的坐标为（x，﹣x），则点M的坐标为（x， x2+x）．分两种情况进行讨论：①当﹣8＜x2）＜0时，如果△APM∽△AOF，显然点M与点D重合，易求点P的坐标为（﹣2，；如果△APM∽△FOA，根据相似三角形对应边的比相等得到

=

，即

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=，解方程即可；②当x＜﹣

8时，由于∠APM=∠FOA=135°，∠MAP＞∠OAF，所以只能△APM∽△FOA，根据相似三角形对应边的比相等列出方程，即可求解．

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点O，∴c=0，∴y=ax2+bx． ∵直线y=﹣x过点A（m，8），∴8=﹣m，m=﹣8，∴A（﹣8，8）． ∵二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象过点A（﹣8，8），B（﹣4，0）， ∴

，解得

，∴二次函数的解析式为y=x2+x；

（2）∵y=x2+x=（x+2）2﹣1，∴顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）． 设直线AD的解析式为y=mx+n， ∵A（﹣8，8），D（﹣2，﹣1）， ∴

，解得

，∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣4，

∴y=0时，﹣ x﹣4=0，解得x=﹣，∴E点坐标为（﹣，0）．

作AG⊥x轴于G，则AG=8，EG=﹣﹣（﹣8）=，∴tan∠AEB===；

（3）设点P的坐标为（x，﹣x），则点M的坐标为（x， x2+x）． 分两种情况讨论： ①当﹣8＜x＜0时，

如果△APM∽△AOF，那么点M与点D重合，此时x=﹣2，则点P的坐标为（﹣2，2）； 如果△APM∽△FOA，那么

=

，即

=

，

整理得x2+24x+128=0，解得x1=﹣16，x2=﹣8，均不合题意舍去； ②当x＜﹣8时，

∵∠APM=∠FOA=135°，∠MAP＞∠OAF，∴只能△APM∽△FOA， ∴

=

，即

=

，

整理得x2+24x+128=0，

解得x1=﹣16，x2=﹣8（不合题意舍去）， ∴点P的坐标为（﹣16，16）；

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综上所述，所求点P的坐标为（﹣2，2）或（﹣16，16）．

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

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综上所述，所求点P的坐标为（﹣2，2）或（﹣16，16）．

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

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