离散型随机变量的均值与方差（详解教师版）

离散型随机变量的均值与方差

一、考点、热点回顾

【学习目标】

1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；

2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】

要点一、离散型随机变量的期望 1.定义：

一般地，若离散型随机变量?的概率分布为

? P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … 则称E??x1p1?x2p2?…?xnpn?… 为?的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释：

（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量?的概率分布中，令p1?p2?…?pn，则有

p1?p2?…?pn?11，E??(x1?x2?…?xn)?，所以?的数学期望又称为平均数、均值。 nn（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质：

①E(???)?E??E?；

②若??a??b(a、b是常数)，?是随机变量，则?也是随机变量，有E(a??b)?aE??b；

E(a??b)?aE??b的推导过程如下：：

?的分布列为

? ? P x1 x2 … … … xi axi?b Pi … … … ax1?b P1 ax2?b P2 1

于是E??(ax1?b)p1?(ax2?b)p2?…?(axi?b)pi?…

＝a(x1p1?x2p2?…?xipi?…)?b(p1?p2?…?pi?…)＝aE??b ∴E(a??b)?aE??b。

要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念：

已知一组数据x1，x2，…，xn，它们的平均值为x，那么各数据与x的差的平方的平均数

S2?1[(x1?x)2＋(x2?x)2＋…＋(xn?x)2]叫做这组数据的方差。 n2.离散型随机变量的方差：

一般地，若离散型随机变量?的概率分布为

? P x1 p1 x2 p2 … xi pi … … … 则称D?＝(x1?E?)2?p1＋(x2?E?)2?p2＋…＋(xn?E?)2?pi＋…称为随机变量?的方差，式中的E?是随机变量?的期望．

D?的算术平方根D?叫做随机变量?的标准差，记作??．

要点诠释：

⑴随机变量?的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量?的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系：

D??E(?2)?(E?)2

4.方差的性质：

若??a??b(a、b是常数)，?是随机变量，则?也是随机变量，D??D(a??b)?aD?； 要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布：

若离散型随机变量?服从参数为p的二点分布，则

2

2

期望E??p 方差D??p(1?p).

证明：∵P(??0)?q,P(??1)?p,0?p?1,p?q?1 ∴E??0?q?1?p?p

D??(0?p)2?q?(1?p)2?p?p(1?p).

2、二项分布：

若离散型随机变量?服从参数为n,p的二项分布，即?~B(n，P),则 期望E??nP 方差D??np(1-p) 期望公式证明：

kkkkn?k∵P(??k)?Cnp(1?p)n?k?Cnpq，

00n11n?122n?2kkn?knn0∴E??0?Cnpq?1?Cnpq?2?Cnpq?...?k?Cnpq?...?n?Cnpq，

又∵kCn?k?kn!n?(n?1)!k?1??nCn?1，

k!(n?k)!(k?1)![(n?1)?(k?1)]!00n?111n?2k?1k?1(n?1)?(k?1)n?1n?10∴E??np(Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cnqq) ?1pq?1p?1p?1pq?np(p?q)n?1?np．

3、几何分布：

独立重复试验中，若事件A在每一次试验中发生的概率都为p，事件A第一次发生时所做的试验次数?是随机变量，且P(??k)?(1?p)k?1p，k?0,1,2,3,?,n,?，称离散型随机变量?服从几何分布，记作：?~P(??k)?g(k，P)。

若离散型随机变量?服从几何分布，且?~P(??k)?g(k，P)，则 期望E??1. p1-p p2方差D?? 3

要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。 4、超几何分布：

若离散型随机变量?服从参数为N,M,n的超几何分布，则 期望E(?)?nM N要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用 1、求离散型随机变量?的期望、方差、标准差的基本步骤： ①理解?的意义，写出?可能取的全部值； ②求?取各个值的概率，写出分布列；

? P

x1 p1 x2 p2 … xi pi … … … ③根据分布列，由期望、方差的定义求出E?、D?、??：

E??x1p1?x2p2???xnpn??

D???x1?E??p1??x2?E??p2????xn?E??pn??

222???D?. 注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可． 2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用

① 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

② 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。

③对于两个随机变量?1和?2，当需要了解他们的平均水平时，可比较E?1和E?2的大小。 ④E?1和E?2相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较D?1和D?2，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关．

二、典型例题

4

类型一、离散型随机变量的期望

例1． 已知随机变量X的分布列为： X P －2 －1 0 1 m 2 1 41 31 51 20 试求：（1）E（X）；（2）若y=2X－3，求E（Y）．

【思路点拨】 分布列中含有字母m，应先根据分布列的性质，求出m的值，再利用均值的定义求解；对于（2），可直接套用公式，也可以先写出Y的分布列，再求E（Y）．

【解析】

（1）由随机变量分布列的性质，得

11111???m??1，m?， 4352061111117??。 ∴E(X)?(?2)??(?1)??0??1??2?43362030（2）解法一：由公式E（aX+b）=aE（X）+b，得

62?17?E(Y)?E(2X?3)?2E(X)?3?2?????3??．

15?30? 解法二：由于Y=2X－3，所以y的分布如下： X P －7 －5 －3 －1 1 1111 43561111162??。 ∴E(Y)?(?7)??(?5)??(?3)??(?1)??1?435620151 20【总结升华】 求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，对于aX+b型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以求出aX+b的分布列，再用定义求解． 举一反三：

【变式1】已知某射手射击所得环数?的分布列如下：

4 5 6 7 8 9 10 0000000P .02 .04 .06 .09 .28 .29 .22 求E?.

【答案】

E??4?P(??4)?5?P(??5)?6?P(??6)?7?P(??7)?8?P(??8)?9?P(??9)?10?P(??10) ?4?0.02?5?0.04?6?0.06?7?0.09?8?0.28?9?0.29?10?0.22 ?8.32。

【变式2】已知随机变量ξ的分布列为

ξ

－2 －1 0 1 2 3 5

P 1 12m n 1 121 61 12其中m，n∈[0,1)，且E(ξ)＝

1，则m，n的值分别为________． 6【答案】

11， 347， 12由p1＋p2＋…＋p6＝1，得m＋n＝由E(ξ)＝

111，得－m＝， 626∴m＝

11，n＝. 34ξ P 0 0.4 2 0.3 4 0.3 【变式3】随机变量ξ的分布列为：

则E(5ξ＋4)等于( )

A．13 B．11 C．2.2 【答案】A 由已知得

E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13.

【变式4】设离散型随机变量?的可能取值为1，2，3，4，且P(??k)?ak?b（k?1,2,3,4），

D．2.3

E??3，则a?b? ；

【答案】0.1；

由分布列的概率和为1，有(a?b)?(2a?b)?(3a?b)?(4a?b)?1， 又E??3，即1?(a?b)?2?(2a?b)?3?(3a?b)?4?(4a?b)?3， 解得a?0.1，b?0，故a?b?0.1。

例2. 袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用?表示得分数。 求：①?的概率分布列；②?的数学期望。

【思路点拨】本题求?取各个值的概率，其类型显然是古典概型。

6

【解析】①依题意?的取值为0、1、2、3、4

2C41?=0时，取得2黑球，∴P(??0)?2?，

C9611C4?C31?=1时，取得1黑球1白球， ∴P(??1)?， ?23C911C32C2?C411?=2时，取2白球或1红球1黑球，∴P(??2)?2?， ?2C9C93611C3?C21?=3时，取1白球1红球，∴P(??3)?， ?26C92C21?=4时，取2红球，∴P(??4)?2?，

C936∴?分布列为

? p 0 1 2 3 4 1111 633611111114?3??4??. ②期望E??0??1??2?63366369举一反三：

1 61 36 【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表． 【变式1】 随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 【答案】抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为 ξ P 所以

1 2 3 4 5 6 1 61 61 61 61 61 61111111E??1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．

6666666抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值． 【变式2】甲、乙、丙、丁独立地破译一个密码，其中甲的成功率是 （1）若破译密码成功的人数为X，求X的概率分布；

（2）求破译密码成功人数的数学期望． 【答案】

（1）破译密码成功的人数X的可能取值为0，1，2，3，4．

11，乙、丙、丁的成功率都是． 23 7

1?2?8P(X?0)?????，

2?3?541?2?12011?2?P(X?1)?????C3??????， 2?3?3?3?2541?1?211811?2?P(X?2)??C3?????C32??????， 23?3??3?32541?1?2?1?17P(X?3)??C32?????????，

2?3?3?3?2541?1?1P(X?4)?????，

2?3?54 则X的概率分布表为 X P 0 1 2 3 4 323223231871 545454820187181?1??2??3??4???1.5， （2）由（1）知E(X)?0?545454545454即破译密码成功的人数的数学期望为1.5．

【变式3】交5元钱，可以参加一次抽奖，已知一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和．求抽奖者获利的数学期望．

【答案】 抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其中ξ取每一个值时所代表的随机事件的概率是容易获得的，本题的目标是求参加抽奖的人获利?的数学期望，由ξ与?的关系为?=ξ－5，利用公式

E（?）=E（ξ）－5可获解答．

设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下： ξ=2（抽到2个1元），ξ=6（抽到1个1元，1个5元），ξ=10（抽到2个5元）．

112C8C216C8228C21所以，由题意得P(??2)?2?，P(??6)?，， ?P(??10)??22C1045C1045C10458 5420 542816118?6??10??． 4545455 又设?为抽奖者获利的可能值，则?=ξ－5，所以抽奖者获利的期望为

187(?)?5??5???1. E(?)?E?． 45512 例3． 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，

23∴E(?)?2?记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，

（1）求X的概率分布；

（2）求X和Y的数学期望．

8

【思路点拨】 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．

?1?1【解析】（1）P(X?0)?C???，

?2?803331?1?， P(X?1)?C3???28???1?3P(X?2)?C???，

?2?8233313?1?。 P(X?3)?C3???28?? 所以X的概率分布如下表： X P 0 1 2 3 33 81331（2）由（1）知E(X)?0??1??2??3??1.5，

8888或由题意X?B?3,?，Y?B?3,∴E(X)?3?1 83 81 8?1??2???2??。 3?12?1.5，E(Y)?3??2。 23【总结升华】 在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值． 举一反三：

【变式1】 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品

数的期望。

【答案】设抽出次品数为?，因为被抽商品数量相当大，抽20件商品可以看作20次独立重复试验，

所以?~B(20,1%),

所以E??np?20?1%?0.2

【变式2】

一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。

【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是?,?， 则?~ B（20,0.9）,?~B(20,0.25),

9

?E??20?0.9?18,E??20?0.25?5 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5?和5? 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

E(5?)?5E(?)?5?18?90,E(5?)?5E(?)?5?5?25 类型二、离散型随机变量的方差

例4．已知离散型随机变量?1的概率分布为

?1 P 1 2 3 4 5 6 7 1 71 71 71 71 71 71 7离散型随机变量?2的概率分布为

?2 P 3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3 1 71 71 71 71 71 71 7求这两个随机变量期望、均方差与标准差 【解析】E?1?1?111?2??????7??4； 777111D?1?(1?4)2??(2?4)2??????(7?4)2??4；??1?D?1?2 777111E?2?3.7??3.8??????4.3??4；

777D?2=0.04, ??2?D?2?0.2.

【总结升华】本题中的?1和?2都以相等的概率取各个不同的值，但?1的取值较为分散，?2的取值较为集中．E?1?E?2?4，D?1?4，D?2?0.04，方差比较清楚地指出了?2比?1取值更集中．??1＝2，??2=

0. 2，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差 举一反三：

【变式1】已知随机变量ξ的分布列如下表：

ξ P －1 0 1 1 21 31 6 （1）求E（ξ），D（ξ），η； （2）设η=2ξ+3，求E（η），D（η）．

10

【答案】（1）E(?)?x1p1?x2p2?x3p3?(?1)?1111?0??1???； 236355，??D(?)?。 93D(?)?[x1?E(?)]2?p1?[x2?E(?)]2?p2?[x3?E(?)]2?p3?（2）E(?)?2E(?)?3?720，D(?)?4D(?)?。 391 2 … … n 【变式2】 设随机变量X的概率分布为

X P 1 n1 n1 n 求D(X）。 【答案】 本题考查方差的求法．可由分布列先求出X的期望E（X），再利用方差的定义求之．也可直接利用公式D（X）=E（X2）－[E（X）]2来解．

解法一：

1111E(X)?1??2????n??(1?2???n)?

nnnnn(n?1)1n?1???，

2n2n?1?1n?1?1?n?1?1??∴D(X)??1???2?????n???????

2?n?2?n2?n??1?2(n?1)2?n2?122??(1?2???n)?(n?1)?(1?2???n)?n?。 n?4?12?n?1。 21112222又E(X)?1??2????n?

nnn1(n?1)(2n?1)?(12?22??n2)?， n6解法二：由解法一可求得E(X)?222(n?1)(2n?1)(n?1)2n2?1??∴D(X)?E(X)?[E(X)]?。

641222例5.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品数的期

望与方差。

【思路点拨】由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响非常小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的，可以看作20次独立重复试验．利用二项分布的公式解答。

【解析】设抽出次品数为?，因为被抽商品数量相当大，抽20件商品可以看作20次独立重复试验，

所以?~B(20,1%),

11

所以E??np?20?1%?0.2

D??np(1?p)?20?1%?(1?1%)?0.198

【总结升华】

1. 解答本题的关键是理解清楚：抽20件商品可以看作20次独立重复试验，即?~B(20,1%)，从而可用公式：E??np，D??np(1?p)直接进行计算；

2.以下抽查问题可以看作独立重复试验：

（1）涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题；

（2）如果抽样采用有放回地从小数量产品中抽取产品，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件；但从小数量产品中任意抽取产品（即无放回地抽取）每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的，不能看作独立重复试验。 举一反三：

【变式】若某批产品共100件，其中有20件二等品，从中有放回地抽取3件，求取出二等品的件数的期望、方差。

【答案】由题知一次取出二等品的概率为0.2，有放回地抽取3件，可以看作3次独立重复试验，

即取出二等品的件数?~B(3,0.2)， 所以E??np?3?0.2?0.6，

D??np(1?p)?3?0.2?(1?0.2)?0.48.

【高清课堂：离散型随机变量的均值与方差 408737 例题1】

【变式2】有10件产品,其中3件是次品.从中任取2件,若抽到的次品数为X,求X的分布列,期望和方差. 【答案】

类型四、离散型随机变量的期望和方差的应用

例6． 甲、乙两种水稻在相同条件下各种植100亩，收获的情况如下： 甲：

12

亩产量 亩数 乙： 亩产量 亩数 300 20 310 30 320 25 320 20 330 40 330 40 340 15 340 10 试评价哪种水稻的质量较好．

【思路点拨】 本题是期望与方差的综合应用问题．要比较甲、乙两种水稻的质量，需求出其平均亩产量并对其稳定情况进行比较．题中只给出了亩产量与亩数关系，所以应先列出甲、乙两种水稻的亩产量的概率分布，再求其期望与方差．

【解析】 设甲、乙两种水稻的亩产量分别为X和Y．

201251?，P(X?320)??， 10051004402153P(X?330)??，P(X?340)??。

100510020303201?，P(Y?320)??， 且P(Y?310)?100101005402101P(Y?330)??，P(Y?340)??。

1005100101123?323， ∴E(X)?300??320??330??340?545203121E(Y)?310??320??330??340??323，

105510则P(X?300)?即E（X）=E（Y），这表明两种水稻的平均亩产量相同，进一步求各自的方差，得

1123D(X)?(310?323)2??(320?323)2??(330?323)2??(340?323)2??171，

545203121D(Y)?(310?323)2??(320?323)2??(330?323)2??(340?323)2??101。

105510 即V（X）＞V（Y），这说明乙种水稻的产量较为稳定，因此乙种水稻质量较好．

【总结升华】 期望（均值）仅体现了随机变量取值的平均水平．但如果两个随机变量的均值相等，还需比较其方差，方差大说明随机变量的取值较分散（波动大），方差小说明取值较集中、稳定．

当我们希望实际的平均水平比较理想时，则先求它们的均值，但不要误认为均值相等时，它们都一样好，这时，还应看它们相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定（即比较方差的大小），相对稳定者就更好．如果我们希望比较稳定时，这时应先考虑方差，再考虑均值是否接近即可． 举一反三：

【变式1】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为

甲保护区： X1 P 乙保护区： X2 P 0 0.1 1 0.5 2 0.4 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2 试评定这两个保护区的管理水平． 【答案】甲保护区的违规次数X1的数学期望和方差分别为：

13

E（X1）=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3； D（X1）=(0－1.3)2×0.3+(1－1.3)2×0.3+(2－1.3)2×0.2+(3－1.3)2×0.2=1.21． 乙保护区的违规次数置的数学期望和方差分别为： E（X2）=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3； D（X2）=(0－1.3)2×0.1+(1－1.3)2×0.5+(2－1.3)2×0.4=0.41．

因为E（X1）=E（X2），D（X1）＞D（X2），所以两个保护区内每季度平均发生的违规事件次数是相同的，但乙保护区内发生的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区内发生的违规事件次数相对分散，波动较大．

【变式2】 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3800元：

方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 试比较哪一种方案好．

【答案】 要比较哪一种方案好，只要把三种方案的损失的数学期望求出，哪一个小，哪一个方案就好．

用X1、X2、X3分别表示三种方案的损失．

采用方案1：无论有无洪水，都损失3800元，即X=3800． 采用方案2：遇到大洪水时，损失2000+60000=62000（元）；没有大洪水时，损失2000元，即

0,?6200有大洪水 X2??．

2000无大洪水,??60000,有大洪水? 同样，采用方案3：有X3??10000,有小洪水．

?0,无洪水? 于是，E（X1）=3800， E（X2）=62000×P (X2=62000)+2000×P (X2=2000)=62000×0.01+2000×(1－0.01)=2600， E（X3）=60000×P (X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P (X3=0)=60000×0.01+10000×0.25=3100．

采用方案2的平均损失最小，所以方案2好． 【高清课堂：离散型随机变量的均值与方差 408737 例题4】

【变式3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1至4件 顾客数（人） 结算时间（分钟/人） 5至8件 30 1.5 9至12件 25 2 13至16件 17件及以上 10 3 x 1 y 2.5 14

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.

（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；[&%中国教育出~版网*#]

（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）

【解析】（1）由已知,得25?y?10?55,x?y?35,所以x?15,y?20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得

153303?,p(X?1.5?)?p,X(?1002010010201101)?p,X(?3?)? . p(X?2.5?100510010 p(X?1)?2512?)?,

1004X的分布为

X P X的数学期望为

1 1.5 2 2.5 3 3311 2010451 10? E(X)?1331?1.?5??2?201041?2.5??513?. 1.910（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i?1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则

P(A)?P(X1X?P(1X?且12X?1.5?)P1X(?且1.25X. ?1?且2?1)由于顾客的结算相互独立，且X1,X2的分布列都与X的分布列相同，所以 P(A)?P(X?(P2X?1)?P(?P2(X?1?1)1X?1) ?1)1.?5)P(?1X ?1.?5P)X(21)3333339??????. 202020101020809. 80故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为

三、课堂练习

15

一、选择题

1．设随机变量X的分布列如下表所示且E(X)＝1.6，则a－b＝( ) X P 0 0.1 1 a 2 b 3 0.1 A.0.2 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4 2．已知ξ的分布列为

ξ P 0 p1 q 其中P∈(0，1)，则（ ）

（A） Eξ=p，Dξ=pq （B） Eξ=p，Dξ=p2

（C） Eξ=q，Dξ=q2 （D） Eξ=l一p，Dξ=p－p2 3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝

1，k＝1、2、3，则D(3X＋5)＝( ) 3A．6 B．9 C．3 D．4

4．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获得( )

A．36元 C．38元

B．37元 D．39元

5．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于( )

A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804

6．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考查，X、Y的分布列分别为

X P Y P 据此判断( ) A．甲比乙质量好 C．甲与乙质量相同

B．乙比甲质量好 D．无法判定

0 0.7 0 0.5 1 0.1 1 0.3 2 0.1 2 0.2 3 0.1 3 0 7．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为( ) A．100 B．200 C．300 D．400

8．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：

16

环数 频数 甲的成绩 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数 乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数 丙的成绩 7 4 8 6 9 6 10 4

s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）． A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s2＞s3＞s1 二、填空题

9．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，若Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机________的质量较好．

10．随机变量ξ的分布列如下：

ξ P －1 a 0 b 1 c 其中a，b，c成等差数列．若E(?)?1，则D（ξ）的值是________． 311．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理，根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的概率分布：

X P 200 0.20 300 0.35 400 0.30 500 0.15 若进这种鲜花500束，则期望利润是________元．

12．某射手有5发子弹，射击一次，命中率是0.9，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽为止，设损耗子弹数为X，则E（X）=________，D(X)=________．（精确到0.01） 三、解答题

13. 已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出

后不放回，直到取出2个正品为止设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ 14．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出后不再放回，若以X和V分别表示取出次品和正品的个数． （1）求X的概率分布、期望值及方差； （2）求Y的概率分布、期望值及方差．

15．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样品：检查它们的抗拉强度指数如下：

ξ P η P 110 0.1 100 0.1 120 0.2 115 0.2 125 0.4 125 0.4 130 0.1 130 0.1 135 0.2 145 0.2 其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙

17

两厂材料哪一种稳定性较好．

【答案与解析】 1.【答案】 C

【解析】 由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，① 又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6， 得a＋2b＝1.3，②

由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2，故应选C. 2. 【答案】D

【解析】ξ～B（l，q），p+q=1． 3. 【答案】 A

【解析】 E(X)＝(1＋2＋3)×＝2，

D(X)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×＝23， ∴D(3X＋5)＝9D(X)＝6. 4. 【答案】B

【解析】由题意知每生产一件产品，平均预期可获利0.6×50＋0.3×30＋0.1×(－20)＝37(元)． 5. 【答案】C

【解析】根据二项分布的方差公式：Dξ＝10×0.02×0.98＝0.196. 6. 【答案】A

【解析】EX＝0.7×0＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6， EY＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7，

因为EX

【解析】 本题以实际问题为背景，考查的事件的均值问题．

记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B. 8．【答案】B

【解析】 设甲、乙、丙射中的环数依次为X1、X2、X3。依题意对甲有：

X1 P 7 8 9 10 13131 41 41 41 41E(X1)??(7?8?9?10)?8.5，

415525D(X1)??[(7?8.5)2?(8?8.5)2?(9?8.5)2?(10?8.5)2]?，s1?； ?44420

18

对乙有：

X2 P 7 8 9 10 31 5103113E(X2)?7??8??9??10??8.5，

1055101 53 10D(X2)?(7?8.5)2?3113929?(8?8.5)2??(9?8.5)2??(10?8.5)2??，s2?；同1055102020理可得s3?9. 【答案】乙

21。故s2＞s1＞s3。 20【解析】Eξ1＝Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样．Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定．∴乙机质量好． 10．【答案】

5 921，b?。

33 【解析】 依随机变量的分布列知a+b+c=1， 依a，b，c成等差数列知2b=a+c，则a?c?11，则?a?c?。 33111解得a?，b?，c?。

632又E(?)?1?1?1?1?1?15?故D(?)???1?????0?????1????。

3?6?3?3?3?29?11．【答案】706

【解析】 节日期间鲜花预售量为

E（X）=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=40+105+120+75=340， 则期望的利润Y=5X+1.6(500―X)―500×2.5=3.4X―450， ∴E（Y）=3.4 E（X）―450=3.4×340―450=706。 故期望利润为706元。 12．【答案】1.11 0.12

【解析】随机变量X服从超几何分布，根据公式：期望EX?13. 【解析】

每次取1件产品，∴至少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时，ξ=4，所以ξ可以取2，3，4 2221-p1.方差DX?2可求。

pp 19

P（ξ=2）=8728×=； 10945P（ξ=3）=

8×2×7+2×8×7=14；P（ξ=4281411098109845）=1－45－45=15 ∴ξ的分布列如下： ξ 2 3 4 P 2814145 45 15 Eξ=2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）+4×P（ξ=4）=229 14．【解析】（1）X的可能取值为0，1，2。

若X=0，表示没有取出次品，其概率为P(X?0)?C032C106C3?， 12111221同理，有P(X?1)?C2C109C2C101C3?，P(X?2)?3?。 1222C1222∴X的概率分布为

X 0 1 2 P 69111 22 22 ∴E(X)?0?611?1?922?2?1122?2， VD((X)????0?1?22???611????1?1?22???922????2?1?212???22?322?988?988?1544。 （2）Y的可能取值为1，2，3，显然X+Y=3。

P(Y?1)?P(X?2)?122，P(Y?2)?P(X?1)?922， P(Y?3)?P(X?0)?611。

∴Y的概率分布为

Y 1 2 3 P 19622 22 11 ∴E(Y)?E(3?X)?3?E(X)?3?152?2。

∵Y=－X+3，∴V(Y)?(?1)2V(X)?1544。

15．【解析】

E（ξ）=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125， E（η）=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125，

20

D（ξ）=0.1×(110－125)2+0.2×(120－125)2+0.4×(125－125)2+0.1×(130－125)2+0.2－(135－125)2=50，

D（η）=0.1×(100－125)2+0.2×(115－125)2+0.4×(125－125)2+0.1×(130－125)2+0.2×(145－125)2=165，

由于E（ξ）=E（η），而D（ξ）＜D（η）， 故甲厂的材料稳定性较好。

四、课后练习

一、选择题

1．下面说法中正确的是( )

A．离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平 C．离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平 D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 2．已知ξ的分布列为

ξ P －1 0.5 0.30 0.21 则Dξ等于（ ）

（A）0.7 （B）0.61 （C）－0.3 （D）0 3．随机变量ξ的分布列为

ξ P ，则E(5ξ＋4)等于( ) A．13 C．2.2

B．11 D．2.3 0 0.4 2 0.3 4 0.3 4．随机变量ξ服从二项分布B（100，0.2），那么D（4ξ+3）的值为（ ）． A．64 B．256 C．259 D．320

5．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（ ）． A．150.2克 B．149.8克 C．149.4克 D．147.8克

6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，

21

2，设ξ为途中遇到红灯的次数，则随机变量的方差为（ ）． 5618618 A． B． C． D．

51252525并且概率都是

7．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是

ξ P A.706元 C．754元

200 0.20 300 0.35 400 0.30 500 0.15 B．690元 D．720元

8．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考查，X、Y的分布列分别为

X P

Y P 据此判断( ) A．甲比乙质量好 C．甲与乙质量相同 二、填空题

9.已知随机变量?服从二项分布即?~B(6,)，则E?? ；D??

10．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，若Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机________的质量较好．

11．某射手有5发子弹，射击一次，命中率是0.9，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽为止，设损耗子弹数为X，则E（X）=________，D（X）=________．（精确到0.01）

12．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元． 三、解答题

13．一袋中装有6只球，编号为1，2，3，4，5，6，在袋中同时取3只，求三只球中的最大号码ξ的数学期望．

14．某批产品的合格率为98％，检验员从中有放回地随机抽取100件进行检验． （1）抽出的100件产品中平均有多少件正品？ （2）求抽出的100件产品中正品件数的方差和标准差． 15．设甲、乙两射手各打了10发子弹，每发子弹击中环数如下： 甲：10，6，7，10，8，9，9，10，5，10．

22

0 0.7 0 0.5 1 0.1 1 0.3 2 0.1 2 0.2 3 0.1 3 0 B．乙比甲质量好 D．无法判定

13

乙：8，7，9，10，9，8，7，9，8，9．

试问哪一名射手的射击技术较好？

【答案与解析】

1.【答案】 C

【解析】 离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映ξ取值的平均水平，它的方差反映ξ的取值的离散程度．故答案选C. 2. 【答案】 B

【解析】直接用定义或性质计算． 3. 【答案】A 【解析】由已知得

E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8，

∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13. 答案：A 4．【答案】B

【解析】D(?)?100?0.2?(1?0.2)?16，D(4??3)?16D(?)?256。 5．【答案】B 【解析】 期望为

1?(150?152?153?148?148?146?151?150?152?147)?149.8。 106．【答案】B 【解析】 ??B?3,7. 【答案】A

【解析】节日期间预售的量：

??23182?D(?)?3???，∴。 ?55255?Eξ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，

则期望的利润：

η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， ∴Eη＝3.4Eξ－450＝3.4×340－450＝706. ∴期望利润为706元． 8. 【答案】A

【解析】EX＝0.7×0＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，

EY＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7，

因为EX

4 3 23

【解析】E??np?2，D??np(1?p)?10. 【答案】乙

4。 3【解析】Eξ1＝Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样．Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定．∴乙机质量好． 11．【答案】1.11 0.12

【解析】随机变量X服从超几何分布，根据公式：期望EX?1-p1.方差DX?2可求。

pp12. 【答案】【解析】设要求投保人交x元，公司的收益额ξ作为随机变量，则P(ξ＝x)＝1－p，

P(ξ＝x－a)＝p，

∴Eξ＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap. ∴x－ap＝0.1a， ∴x＝(0.1＋p)·a. 答案：(0.1＋p)·a

Ck2?1 13. 解：ξ的取值为3，4，5，6，P(ξ=k)=2，k=3，4，5，6．

Ck 因此，ξ的分布列为

ξ 3 4 5 6 3610 202020 1361021 Eξ=3×＋4×＋5×+6×==5.25．

202020204P 14．解：（1）设抽得的正品件数为X，由于是有放回地随机抽样，故变量X服从二项分布，即X～B（100，0.98），

∴E（X）=100×0.98=98，即平均有98件正品。 （2）V（X）=100×0.98×(1－0.98)=1.96，

1 20V(X)?1.96?1.4。

15．解：E(?甲)?1(10?6?7?10?8?9?9?10?5?10)?8.4， 10E(?乙)?1(8?7?9?10?9?8?7?9?8?9)?8.4， 10 V(?甲)?4?(10?8.4)2?2?(9?8.4)2?(8?8.4)2?(7?8.4)2?(6?8.4)2?(5?8.4)2?30.4，

V(?乙)?(10?8.4)2?4?(9?8.4)2?3?(8?8.4)2?2?(7?8.4)2?8.4，

∴E(?甲)?E(?乙)，V(?甲)?V(?乙)。

这说明甲的子弹着点比乙的分散，即甲的技术没有乙稳定，因此乙的射击技术比甲好

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