量子阱能级与波函数的MATLAB实现

量子阱能级与波函数的MATLAB实现

哈尔滨师范大学

毕 业 论 文

题 目 量子阱能级和波函数的MATLAB实现 学 生 王勇

指导教师 孙文军 教授 年 级 2010级

专 业 物理学（通用技术） 系 别 物理系

学 院 物理与电子工程学院

哈尔滨师范大学

2013年5月

量子阱能级与波函数的MATLAB实现

量子阱能级与波函数的MATLAB实现

王勇

摘 要：在量子力学中，通过对求解一维多量子阱束缚态能级满足的超越方程，我们可以求出量子阱的能级表达式。另外，通过薛定谔方程求出对氢原子波函数满足的方程，在MATLAB中通过程序的编辑，可以方便地绘制量子阱能级和波函数的空间分布图，指出MATLAB软件是解决量子力学可视化的有效工具。 关键词：MATLAB；量子阱能级；波函数

量子力学作为物理类学生必修的一门专业课. 一直以来以教师难教、学生难学而著称，量子力学主要研究微观尺度下粒子的行为与相互作用/，例如量子力学中的许多概念如角动量理论，波函数等抽象难懂. 一些量子力学现象如隧道效应、势垒反射等与宏观现实不相符. 同时这些理论和现象无法直接用肉眼观察，使得这些理论和现象更加晦涩难懂. 因此，在量子力学教学中引入多媒体教学.，增加动态直观的演示，是进行教学改革、也是将晦涩难懂的抽象理论化为形象生动的图像理论。而选择一种操作简单、功能强大的多媒体制作软件是进行教育改革的前提，针对量子力学计算复杂、物理量具有矩阵形式等特点. 我们最终选择了具有强大计算能力同时又有极强图像处理能力的数学软件——MATLAB。

一、MATLAB软件介绍

MATLAB是美国MATH WORK公司从1982年开始推出的一套高性能的数值计算和可视化软件， 它集数值分析、矩阵运算和图形显示于一体. 构成了一个方便的、界面友好的用户环境，MATLAB程序设计语言结构完整. 且具有良好的移植性,易学易用.此外. 它还提供了解决各类问题的工具箱，MATLAB已成为应用学科、计算机辅助分析、设计、仿真和教学不可缺少的软件.

MATLAB具有强大的图形绘制能力. 为科学研究提供了极大的方便，MATLAB可以绘制二维、三维乃至四维图形.而且能对图形进行线型、立体、色彩、光线、视角等控制,用户只须指定绘图方式. 并提供充足的绘图数据. 用很少的程序指令就可得到直观、形象的图形结果.借助于MATLAB的数值计算和图形处理技术.我们可以方便地绘制氢原子波函数的空间分布图. 直观感受微观状态下电子行为,加深对理论、概念的理解。

二、一维多量子阱能级和氢原子波函数模型的建立

（一）一维多量子阱能级

由量子理论知，一维多量子阱满足的薛定谔方程为

h2d2

Vn n E n 2

2mdx

量子阱能级与波函数的MATLAB实现

一维多量子阱共有n个常数位势，其高度分别用V1,V2,V3, ,Vn-1,Vn来标志，选

V1和V2阶跃点的坐标为零（x1 0），Vj,Vj 1阶跃点的坐标为xj，第j个位势的宽

度为aj xj xj 1。通常将V1与Vn称之为外区位势，两个外区位势的小者记为Vmax，而Vj称为内区位势，内区位势的最小者为Vj。

设电子处于一维多量子阱中，当电子的能量满足Vmin E Vmax时，可能存在束缚态的解，否则只有非束缚态解.当

Vmin E Vmax时，可以直接写出满足有限性要求的n个区域的波函数

1

x A2,1e ikx （1）

1

2 x A1,2eikx A2.2e ikx （2）

2

2

ikx ikx

x Ae Ae 31.32.3

3

3

（3）

··· ··· ···

n 2 x A1,n 2eik

m 2x

A2,n 2e ikn 2x （4）

A2，n 1e ikn 1x (5)

n 1

x A1,n 1eik

n 1x

ikx x Ae (6) n1,n

n

试中

kj

2mj(E VJ)

(j=1,2,3, ,n) (7)

其中，kj是实数还是虚数应视E与Vj的数值而定，一般情况下将kj作为复数处理。 首先，由波函数在x=xn 1处的连接条件

n 1(xn 1) n(xn 1) （8） 可知 A1,n 1e

ikn 1xn 1

A2,n 1e ikn 1xn 1 A1,neiknxn 1 （9）

(xn 1) n

mn

再利用波函数一阶导数的连接条件 得到

1(xn 1) n

mn 1

（10）

A1，n-1eikn 1xn 1 A2,n 1e ikn 1xn 1

knmn 1

A1,neiknxn 1 （11）

kn 1mn

量子阱能级与波函数的MATLAB实现

为简捷计，令 Bn-1

knmn 1

（12）

kn 1mn

将式（9）加上式（11）与减去式（11）， 分别得到 A1,n 1e

A2,n 1e

ikn 1xn 1

ikn 1xn 1

1

(1 Bn 1)A1,neiknxn 1 （13） 21

(1 Bn 1)A1,neiknxn 1 (14) 2

其次，由波函数在x xn 2处的连接条件

n 2 xn 2 n 1 xn 2 （15） 可知

A1，n 2e

ikn 2xn 2

A2，n 2e ikn 2xn 2 A1,n 1eikn 1xn 2 A2,n 1e ikn 1xn 2

（16） 再利用波函数一阶导数的连接条件

2 xn 2 n

mn 2

得到

1 xn 2 n

mn 1

（17）

A1，n 2eikn 2xn 2 A2,n 2e ikn 2xn 2 Bn 2A1，n 1eikn 1xn 2 A2,n 1e ikn 1xn 2

（18） 将式（16）加上式（18）与减去式（18），分别得到

A1,n 2eikn 2xn 2

1

1 Bn 2 A1,n 1eikn 1xn 2 1 1 Bn 2 A2,n 2e ikn 1xn 222

（19）

A2,n 2e ikn 2xn 2

1

1 Bn 2 A1,n 1eikn 1xn 2 1 1 Bn 2 A2,n 1e ikn 2xn 222

（20） 然后，用类似的方法做下去，可以得到x=xj处的结果，即

A1,je

ikjxj

1

1 Bj A1,j !eikj 1xj 1 1 Bj A2,j 1e ikj 1xj 221

1 Bj A1,j 1eikj 1xj 1 1 Bj A2,j 1e ikj 1xj 22

(21)

A2,je

ikjxj

(22)

量子阱能级与波函数的MATLAB实现

上述两式具有明显的递推形式。当j=2时，由于，x2 a2 x1 a2

ik2a2

A1， 2e

，故

11ik3a2 ik3a2

1 B2 A1， 1 B2 A2， 3e3e22

（23）

A2,2e

ikjx

j

1

1 B2 A1,3eik3a2 1 1 B2 A2,3e ik3a2 22

（24） 若依次将A1,3,A2,3,A1,4,A2,4, ,A1,n 1,A2,n 1代入上述两

式，则A2.2是能量E的函数，当然，它们还与各区的位势大小，宽度及电1,2与A子的有效质量有关，此外，皆与A1，n成正比。

式（24）与式（23）之比为

A2,2A1,2

1-B2 A1,3eika 1 B2 A2,3e ika

1 B2A1,3eika 1 B2A2,3e ika

3232

32

32

ei2k2a2 （25）

最后，再利用在x=0处波函数及其一阶导数连续的条件，容易得到

A2,1 A1,2 A2,2 (26)

k1m2

A2,1 A1,2 A2,2 （27） k2m1

由上述两式可以解出

A1,2

km111(1 12)A2,1 (1-)A2,1 (28)

2k2m12B11km11(1 12)A2,1 (1 )A2,1 (29) 2k2m12B1

1

B1B 1 1 （30）

1B1 11

B1

1

A2,2

上述两式之比为

A2,2A1,2

若取V1＝V3＝V，V2＝０，m1 m2 m3 m，a2 2a，则

k k

2mV E2m（E V） i ia （31）

2mE

k

k2

显然，在上述条件下，一维多量子阱已经简化为高度为Ｖ宽度为２ａ的非对称的方势阱。

量子阱能级与波函数的MATLAB实现

由式可知

e 由于

B1 将上式可以改写为 e

i2ka

i4ka

B1 1 1 B2 B1 11 B2 （32）

kk2kia

;B2 3 （33） k1iak2k

k iak2 a22ka

cos(2ka) isin(2ka) 2 i 222

k iak ak a

进而可知

ka

2E(V-E) 11

n arctan （34） 22 V 2E

利用反三角函数的关系

2arctanx arctan 式（36）可以改写成

2x

（35） 2 1 x

2ma2

2

E

1E （36） n arctan 2 V E

此即有限深非对称方势阱能量本征值满足的超越方程，与上节给出的完全一致。

Matlab仿真图形：

量子阱能级与波函数的MATLAB实现

Matlab程序如下：

syms y x; a=10; m=9.1*10; h=6.6*10; n=2;

ezplot('sqrt(2*9.1*10*100*4*pi*pi/(6.6*10*6.6*10))*sqrt(y)=1/2*2*pi-atan(sqrt(y./(x-y)))') title('sqrt(2*m*a*a*4*π*π/(h*h))*sqrt(E)=1/2*n*π-arctan(sqrt(E/(V-E))'); AXIS([-1 1 0 0.18])

（二）氢原子波函数模型的建立

由量子理论可知，氢原子体系满足薛定谔方程

2 2e222

( r1 r2 ) r1,r2 E1 (r1,r2)

2 12 2r

其中

r1(x1,y1,z1),r2(x2,y2,z2), 1, 2分别为电子与核的坐标和质量。引入相

1r1 2r2

M

对坐标和质心坐标

r x,y,z :r r1 r2R x,y,z :R

M 1 2为总质量，

1 2

为约化质量。 1 2

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利用分离变量法，令 r1,r2 R r，得

22

R R E1 E (R) 2M 2e2 2

r (R) E (r)

r 2

方程（3）是描写质心运动状态的波函数所满足的方程，由此可见，质心按能量为

E1 E 的自由粒子的方式运动。在氢原子问题中，我们感兴趣的是原子的内部状态，

即电子相对于核的运动状态。而方程（4）正是描写电子相对于核运动的波函数所满足的方程。解方程（4）可得，氢原子波函数为

nlm r, , Rnl(r)Ylm( , ),l 0,1,2, ,n 1;m 0, 1, 2, , l

其中

r 2r 2r

Rnl r Nnlexp F n l 1,2l 2, ,

na na na

归一化常数Nnl

l

2r

F( n l 1,2l 2,)为合流超几何函2naan(2l 1)!(n l 1)!

m

2

n 1!

数，球谐函数Ylm , ( 1)

l m!

l m!

2l 1mm

pl(cos )eim ,pl(cos )为勒让德函数. 4

取 100， 200， 211， 320四个氢原子波函数为例，首先利用坐标变换公式

x rsin cos

再计算出过原点的截面上的波函数解析解如 y rsin sin 把球坐标变化为直角坐标系，

z rcos

下：

100 X0Y

1

1

a 2x2 y2

)

a

22

x y

200 X0Y 2a x2 y2)

2a42 a

x2 y2

211 X0Y axexp

2a4za

1

x2 y2

320 x0z a(2z x)exp

3a6

1

7

2

2

量子阱能级与波函数的MATLAB实现

利用MATLAB编程语言，可以很容易地做出以上四个波函数的空间三维分布图

Matlab程序如下： x=linspace(-10,10,100); y=linspace(-10,10,100); a=0.529;

[x,y]=meshgrid(x,y);

Z=(1/sqrt(pi))*a^(-3/2)*exp(-sqrt(x.^2+y.^2)/a); subplot(2,2,1); mesh(x,y,Z)

title('Ψ_{100}[X O Y]=(1/sqrt(π))*a^{-3/2}*exp(-sqrt(x^2+y^2)/a)') x=linspace(-20,20,100); y=linspace(-20,20,100); [x,y]=meshgrid(x,y);

Z=1/(4*sqrt(2*pi*a))*(2*a-sqrt(x.^2+y.^2)).*exp(-sqrt(x.^2+y.^2)/(2*a)); subplot(2,2,2); mesh(x,y,Z)

title('Ψ_{200}[X O Y]=1/(4*sqrt(2*π

*a))*(2*a-sqrt(x^2+y^2))*exp(-sqrt(x^2+y^2)/(2*a))') x=linspace(-20,20,100); y=linspace(-20,20,100); [x,y]=meshgrid(x,y);

Z=(1/(4*sqrt(2*pi)))*a^(-5/2)*x.*exp(-sqrt(x.^2+y.^2)/(2*a)); subplot(2,2,3);

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mesh(x,y,Z)

title('Ψ_{211}[X O Y]=(1/(4*sqrt(2*π)))*a^{-5/2}*x*exp(-sqrt(x^2+y^2)/(2*a))') x=linspace(-20,20,200); z=linspace(-20,20,200); [x,z]=meshgrid(x,z);

Y=(1/(81*sqrt(6*pi)))*a^(-7/2)*(2*z.^2-x.^2).*exp(-sqrt(x.^2+z.^2)/(3*a)); subplot(2,2,4); mesh(x,z,Y)

title('Ψ_{320}[X O Z]=(1/(81*sqrt(6*

π)))*a^{-7/2}*(2*z^2-x^2)*exp(-sqrt(x^2+z^2)/(3*a))')

三、总结

MATLAB数学软件操作简单,功能强大,在量子力学教学中充分利用其数值计算和绘图功能,一方面可以加深对抽象概念的理解，另一方面也能培养学生使用计算机解决复杂物理问题的能力。

参考文献：

[1] 井孝功：量子力学，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009年第2版. [2] 曾谨言：量子力学，北京：科学出版社，2002.322-325.

[3] 何仁斌：MATLAB66工程计算及应用，重庆：重庆大学出版社，，2001.137-146. [4] 赵永芳, 井孝功. 利用透射系数研究周期位的能带结构.大学物理，2000.

QUANTUM WELL ENERGY LEVELS AND WAVE

FUNCTIONS OF MATLAB

WANG Yong

Abstract: In quantum mechanics, By solving the one-dimensional quantum well bound state energy levels to meet the transcendental equation, We can calculate the energy levels of expression of the quantum well, Furthermore, By the Schrodinger equation, to hydrogen atom wave function satisfies equation, hrough the program in MATLAB editor, You can easily draw the quantum well energy levels and wave functions of spatial distribution, Pointed out that quantum mechanics MATLAB software is the solution an effective tool for visualizing. Keyword：MATLAB；Level quantum wells; Wave function

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bc04.html