电子自旋和自旋波函数

电子自旋和自旋波函数

摘要：运用利力学量算符和波函数的矩阵表示，在Sz表象中讨论了电子自旋算符及其波函数的构造，找出并证明了一些性质。同时对比轨道角动量和自旋角动量就自旋的本质提出新的问题

关键词：自旋；Sz表象；角动量

自旋是量子力学的特有概念，量子力学是随着物理学的发展为了解释微观领域的实验现象，在许多物理学家的共同努力下建立并逐渐完善起来的。其确立促进了实验工作的发展，特别在原子光谱的实验中，先后发现了光谱的精细结构和反常Zeeman效应。如在碱金属钠原子光谱中，起初看到有一条波长为589.3nm的黄线，由于光谱仪的分辨率的提高，后来发现它是两条谱线构成的。它的波长分别喂589.6nm和589.0nm，此即所谓碱金属光谱的双线结构。另外，在弱磁场中，一条光谱线会分裂成偶数条谱线，称为反常Zeeman效应。原有的量子理论已经无法解释这些新的物理现象。

1925年，为了解释，Uhlenbeck和Goudsimt提出了电子具有自旋的假设，稍后由Pauli加以完善。除上述实验现象外，Stern—Gerlach实验也是电子自旋±±的客观存在的重要实验依据，电子具有自旋就像电子具有的质量和电荷一样，电子的自旋也是表征电子固有属性的物理量，自宣德存在，这标志电子又有了一个新的自由度[1]依据实验事实得出：每个电子都具有自旋S，它在任意方向上得投影只能取两个值Sz=±/2[2]

1.1 电子自旋算符和自旋波函数

在量子力学中，微观粒子的力学量用算符表示，由于自旋具有角动量的特征和量纲，运用角动量算符的普遍定义我们通过运用角动量算符的普遍定义A×A=一ihA写出电子自旋角动量算符的定义S×S=ihS其分量式为： [Sx，Sy ]=ihSz：[Sy ，Sz ]=ihSx

[Sz ，Sx ]==ihSy ． (1)

根据角动量空间量子化的性质，设电子自旋量子数为s，则电子的自旋角动量沿空间特定方向的分量个2s+1=2(s=1/2)，因而S2算符的本征值为S2=s（s+1）h 2=3h2/4算符的本征值为Sz=msh（ms=±1/2）(力学量算符的本征值就是实验中的观值)．任

何电子都有相同的自旋角动量，引入无量纲的矢量算符σ（泡利算符）在σz表象中：

?10??01??0?i?σx=?? σy= ?σ= z?? ??0?1??10??i0?泡利算符是用自旋算符S=h/2σ来定义的，显然泡利算符与自旋算符只相差一个常数h/2，它是一个无量纲的算符,在σz表象中，自旋角动量的分量算符的矩阵表示为：

?01??10??0?i?Sx=h/2?? Sy= h/2? S= h/2 z?? (2) ??10??0?1??i0?S z在自身表象中为对角矩阵，对角矩阵元即为其本征值?h/2，Sx ，Sy ，S z的本征值均为?h/2。

10：证明S2x，S2y ，S2z 算符都是常数算符。 因为

?01??01??10?S2x=h/2??×h/2??= h2/4??= h2/4I= h2/4

?10??10??01?I 是单位矩阵，同理可证：Sy2 =S2z= h2/4 从而可以得到 S2= S2x+Sy+Sz=

2

2

32?10?h? 4??01? 同时由对易关系还可以得出 [S2，Sμ]=0（μ=x，y，z）

2： 证明 S2x，S2y ，S2z满足对易关系：

{Sx ,Sy}=0，{Sy ,Sz}=0，{Sz ,Sx}=0

因为

{

Sx ,Sy}= Sx Sy+ Sy Sx

2

=3/4h?=3/4h2

??01??0?i??0?i??01????? +????10???i0??i0??10??io???i0???+??=0 0?i???0?i??

?同理可证：{Sy ,Sz}=0，{Sz ,Sx}=0

1 .2 电子自旋波函数

在Sz表象中，设Sz=h/2得本征函数为Χ1/2（Sz），Sz=-h/2的本征态函数为Χ-1/2（Sz）则电子自旋角动量的一般态可表示为：

Χ=c1Χ1/2（Sz）+c2Χ-1/2（Sz）。[3] （3）

当是，我们得到Χ1/2（Sz）的矩阵表示为

?c Χ1/2（Sz）=?1?c2??x1/2x1/2??1?= ??=?? （4）????x1/2x?1/2??0? 当Χ=时，我们得到Χ-1/2（Sz）的矩阵表示

?cΧ-1/2（Sz）= ?1?c2Χ

??x?1/2x1/2??0?=?=?? （5） ?????x?1/2x?1/2??1?1/2（Sz），Χ-1/2（Sz）组成正交、归一完备系，他们时二分量波函数。以此为基

失的表象就是Sz表象。

现在我们来在Sz表象中秋求解Sx ，Sy的本征值对应的本征函数。为了计算的简洁方便，我们先求解在σz表象中σx，σy的本征值对应的本征函数，而S的与对应的σ各分量的本征函数相同只是相应的本征值相差应的本征函数。 解

h倍便可求出Sx ，Sy的本征值对2?01?在σz表象中，σx = ??.设σx的本征值为λ，本征方程为

?10??01??a??a? ????=λ??

?10??b??b?即，a=λb.所以h

b=λa=λ2b，λ2=1，λ=±1

Sz的归一化本征态为

2 ︱σx=?1=

2?1???，λ=1 ?1?2 ︱σx=?1= 2?1? ??，λ=-1 ??1?同样可以求出σy=±1，对应本征函数：

︱σy=?1=

2222?1? ??， ?i??1??? ??i? ︱σy=?1=Sx ，Sy的为： 本征函数 Χ1/2（Sx）=2222?1?2?1?，Χ（S）= ?? （6） -1/2x??21????1??1?2?1? ??，Χ-1/2（Sy）=?? （7）

2??i??i?Χ1/2（Sy）=（6）（7）两式可写成（3）式的形式： Χ1/2（Sx） =

2222Χ1/2（Sz）+Χ-1/2（Sz） Χ-1/2（Sx）Χ1/2（Sz）-Χ-1/2（Sz） 222222Χ1/2（Sz）+iΧ-1/2（Sz）, 2222Χ1/2（Sz）-iΧ-1/2（Sz）. 22Χ1/2（Sy）=Χ-1/2（Sy）=（2）式中的诸算符矩阵元可以直接算出： （Si）=x?(Si)(Six?Si) (i=x,y,z; αβ=±

1) 2由于S2x，S2y ，S2z和S2相互对易，因而它们有共同的本征函数： Χ1/2（Sz）和Χ-1/2（Sz）。下面给出证明：

1o S2x，S2y ，S2z和S2的本征值都是唯一的（所以又称常数算符）[3]. 2o Sx，，Sy在Χ1/2（Sz）和Χ-1/2（Sz）态的平均值，sx，sy均为0。 3o Sx2，Sy2在Χ1/2（Sz）和Χ-1/2（Sz）态的平均值等于它们的本征值.

h 证明 1SxΧ1/2（Sz）=

2o 2

?01????10??h?01??1??h?01???????=???2?10??0??2?10?h2?1?h2 ??= 4Χ-1/2（Sz）

?0? 同理可证S2y ，S2z和S2的本征值都是唯一的.这种情况是二重简并.

2o Sy 在Χ1/2（Sz）的平均值 ( Sy )1=Χ+1/2（Sy）Χ1/2（Sz） =?1 0?h2?01????10??2?h?1? ==0 1 0??????0??2?0? 同理可证Sx，在Χ1/2（Sz）态的平均值Sx=0 3o Sx2在Χ-1/2（Sz）态的平均值 (s2X?01?)=Χ-1/2（Sz）SxΧ-1/2 = ???10?+

2

?1?h2??=4; ?0?Sx在Χ-1/2（）态的的平均值 (s2X)2=Χ+-1/2

h2?10??0?h2h2（Sz）SxΧ-1/2（Sz）=?1 0???1?=4?0 1?=4. 4?01????2

+

同理可证Sy2在Χ1/2（Sz）和Χ-1/2（Sz）态的平均值等于它们的本征值. 2 电子轨道角动量与自旋角动量性质上的异同 2.1相同点

在量子力学中决定算符本质属性的是它的对易关系,电子轨道角动量和自旋角动量的共性是它们的算符都满足角动量的普遍定义.电子的轨道角动量算符满足: L×L=ihL ;电子自旋角动量算符满足: S×S=ih S.

L2的本征值=l(l+1) h2 (l=0,1,2,…),L在空间任意方向的投影Lz=mlh2 (ml=0,±1, ±

3 h22,…±l,共2l+1个值).S的本征值S=s(s+1) h=(s=1/2) ,S在空间任意方向的

42

2

2

2

2

投影Sz=msh(ms=±1/2,共2s+1个值).因而电子轨道角动量和自旋角动量的大小和方向都是量子化的.

电子轨道角动量和自旋角动量与其相应的磁矩都是共线反向的关系: ?l=2.2 不同点

1o 电子的轨道用坐标（r，?，?）表示，电子的自旋运动用自旋分量Sz表示。 2o 电子轨道角动量算符除了满足角动量的普遍定义外，还可在坐标表象中表示；L=r×p，r=xi+yj+zk，p=ih▽.而电子自旋角动量算符只能用角动量的普遍定义来

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