最新考前三个月高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题8

第37练 二项式定理的两类重点题型——求指定项与求和

[题型分析·高考展望] 二项式定理的应用，是理科高考的考点之一，考查频率较高，一般为选择题或填空题，题目难度不大，为低、中档题.主要考查两类题型，一是求展开式的指定项，二是求各项和或系数和，只要掌握两类题型的常规解法，该部分题目就能会做.

体验高考

1.(20xx·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 答案 C

解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解. (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

232含y2的项为T3＝C2y. 5(x＋x)·

45其中(x2＋x)3中含x5的项为C1x＝C13x·3x. 1所以x5y2的系数为C25C3＝30.故选C.

方法二 利用组合知识求解.

(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的

21系数为C25C3C1＝30.故选C.

2.(20xx·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( ) A.－15x4 B.15x4 C.－20ix4 D.20ix4 答案 A

424解析 由题可知，含x4的项为C26xi＝－15x.选A.

1

x3＋?7的展开式中x5的系数是________(用数字填写答案). 3.(20xx·安徽)?x??答案 35

137－k?1?kk21－4k

x3＋?7的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck解析 ?(x)·＝Cx，令21－4k＝5，得k77·x???x?55

＝4，∴T5＝C47x＝35x.

234.(20xx·上海)在(x－)n的二次项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于

x________.

答案 112

解析 2n＝256，n＝8， 通项

Tk＋1＝Ck8·

x8?k32k

x·(－)k＝Ck8(－2)·x

8?4k3.

取k＝2，

2

常数项为C28(－2)＝112.

高考必会题型

题型一 求展开项

1

例1 (1)(x2＋2－2)3展开式中的常数项为( )

xA.－8 B.－12 C.－20 D.20

2

(2)(20xx·山东)若?ax＋

?

1?5

的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________. x?

答案 (1)C (2)－2

11

解析 (1)二项式(x2＋2－2)3可化为(x－)6，

xx展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck(－1)k·x66·令x的幂指数6－2k＝0，解得k＝3， 故展开式中的常数项为－C36＝－20， 故选C.

25－k

(2)∵Tk＋1＝Ck5(ax)

－2k

.

?1?k＝a5－kCkx10?2k，

5

?x?

55

∴10－k＝5，解得k＝2，∴a3C25＝－80，解得a＝－2. 2点评 应用通项公式要注意四点

(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；

(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置； (3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.

1n变式训练1 (1)(9x－)(n∈N*)的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常

3x数项为( )

A.252 B.－252 C.84 D.－84

1

(2)(1－x)(1＋2x)5展开式中x2的系数为________.

2

答案 (1)C (2)60

n·?n－1?

解析 (1)第3项的二项式系数为C2＝＝36，n＝9， n

2

?k11k9－kk9?2k9－k2x其通项公式为Tk＋1＝(－)kCk(9x)＝(－)9C9x，

393

133

当9－k＝0，k＝6时，为常数项，

21－

常数项为(－)6996C69＝84. 3

(2)因为(1＋2x)展开式的通项公式为

5

kkk

Tk＋1＝C5·2·2x，

14122

所以(1－x)(1＋2x)5展开式中x2的系数为1×C45×2－×C5×2＝60. 22题型二 赋值法求系数之和

例2 (1)对任意的实数x，有(2x－3)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6等于( ) A.－12 B.－6 C.6 D.12

1a2a3a2 013

(2)若(2x－1)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋2＋3＋…＋2 013等于22a12a12a1( ) A.－

1111

B. C.－ D. 2 0132 0134 0264 026

答案 (1)A (2)D

解析 (1)由(2x－3)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，两侧求导，得a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＝12(2x－3)5， 令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6 ＝12(2×1－3)5＝－12，故选A.

(2)因为(2x－1)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，

2 012令x＝0，则a0＝－1，a1＝2C2 012＝2C2 0122 013(－1)2 013；

1a1a2a2 013令x＝，则a0＋＋2＋…＋2 013＝0，

22221a2a3a2 013所以＋2＋3＋…＋2 013 22a12a12a111a2a3a2 013

＝(a1＋2＋3＋…＋2 013) a1222211a2a3a2 013a0＝(a0＋a1＋2＋3＋…＋2 013)－ a12222a1

＝

11112 013

＋2 012＝. 2 012(2×－1)2C2 01322C2 0134 026

点评 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和f?1?＋f?－1?f?1?－f?－1?

为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 22变式训练2 (1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那么(x－A.－15 B.15 C.20 D.－20

(2)若(1－5x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，那么|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值是( ) A.1 B.49 C.59 D.69 答案 (1)D (2)D

2n－1n＋1＋

解析 (1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋2＋…＋2＝2×＝2－2＝126?2n1

2－1

2

n

6k

＝128?2n1＝27?n＝6，又Tk＋1＝Ck(－6(x)

＋

－

1n

)的展开式中的常数项为( ) x

1kk3－k)＝Ck， 6(－1)xx

所以由3－k＝0得k＝3，则常数项为－C36＝－20.

kkkk(2)(1－5x)9展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck9(－5x)＝(－5)C9x，

所以当x的指数为奇数时，其系数为负，

所以在(1－5x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9中令x＝－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝69，故选D.

高考题型精练

1.若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为( ) A.1 B.－1 C.0 D.2 答案 A

解析 令x＝1，得(2＋3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， 又令x＝－1，得(2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4， 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2

＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)(a0＋a2＋a4－a1－a3) ＝(2＋3)4(2－3)4＝14＝1.

2233nn

2.设n∈N*，则5C1n＋5Cn＋5Cn＋…＋5Cn除以7的余数为( )

A.0或5 B.1或3 C.4或6 D.0或2 答案 A

2233nn解析 5C1n＋5Cn＋5Cn＋…＋5Cn 12233nn0＝C0n＋5Cn＋5Cn＋5Cn＋…＋5Cn－Cn

＝(1＋5)n－1

＝(7－1)n－1＝7M＋(－1)n－1，M∈Z， 当n为奇数时，余数为5， 当n为偶数时，余数为0.

3.设k＝?π(sin x－cos x)dx，若(1－kx)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a8等于

?

0

( )

A.－1 B.0 C.1 D.256 答案 B

解析 k＝?π(sin x－cos x)dx＝?πsin xdx－?πcos xdx

???

0

0

0

＝－cos x?－sin x?＝2，

所以(1－kx)8＝(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(1－2)8＝1，

令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝(a0＋a1＋a2＋…＋a8)－a0＝1－1＝0，故选B. 4.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 B

解析 (x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为Cm2m，

m1

∴a＝Cm2m.同理，b＝C2m＋1.

＋

＋1

?

?0

π

??0

π

展开式的二项式系

1

∵13a＝7b，∴13·CmCm2m＝7·2m＋1，

＋

?2m?！?2m＋1?！∴13·＝7·，

m！m！?m＋1?！m！∴m＝6.

35.(y＋x)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象大致为( )

答案 D

332

解析 由题意得，展开式的第三项为T3＝C25(y)(x)＝10xy， 1

所以10xy＝10，所以y＝，且x>0，故选D.

x

6.设a∈Z，且0≤a<13，若512 016＋a能被13整除，则a的值为( ) A.0 B.1 C.11 D.12 答案 D

02 0152 015

解析 512 016＋a＝(52－1)2 016＋a＝C2 016×522 016－C1＋…＋C2 0152 016×522 016×52×(－1)2 016＋C2 016＋a. 2 016×(－1)

因为52能被13整除，

2 016所以只需C2 016＋a能被13整除， 2 016×(－1)

即a＋1能被13整除，因为0≤a<13，所以a＝12.

12

x2＋?6展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间?，2?上恒成立，则实数m的7.设f(x)是?2x???2?取值范围是( )

A.(－∞，5) B.(－∞，5] C.(5，＋∞) D.[5，＋∞) 答案 D

1?k12－3k5353?1?33?解析 由于Tk＋1＝Ckx，故展开式中间的一项为T＝C··x＝x，f(x)≤mx?＋623162????22x3≤mx在?52522?，2上恒成立，即m≥2x，又2x≤5，故实数m的取值范围是m≥5. ?2?

8.(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为________. 答案 －210

2k

解析 (x2－x＋1)10＝[1＋(x2－x)]10的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck对于(x2－x)k通10(x－x)，

项公式为

2k

Tm＋1＝Cmkx

－2m

2k

(－x)m＝(－1)mCmkx

－m

，

令2k－m＝3且m≤k≤10，m∈N，k∈N，

13

得k＝2，m＝1或k＝3，m＝3，(x2－x＋1)10的展开式x3系数为C2(－1)＋C3(－1)310C2·10C3·

＝－210.

11119.已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且n是偶数，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a

234n＋1n＝__________. 答案

1

n＋1

解析 由a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＝(2x－1)n， 在区间[0，1]上，两边取积分可得： 111??＋?a0＋a1x2?＋a2x3?＋…＋anxn1? 2n＋1?03?0?011＋?＝?1(2x－1)dx＝(2x－1)n1?＝，

2?n＋1??0n＋1?

n

0

1

1

1

1

11111

即a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝. 234n＋1n＋1

3233318

10.设an(n＝2，3，4，…)是(3－x)的展开式中x的一次项的系数，则＋＋…＋＝

a2a3a18

n

________. 答案 17 解析 令

n－k

Tk＋1＝Ck(－n3

x)

k

kn－k

＝Ck3n(－1)·x，

k2k

令＝1，得k＝2， 2

∴(3－x)n的展开式中x的一次项的系数为

2n2

an＝C23＝C23n2， n(－1)·n·

－

－

n?n－1?又C2＝， n

2

32333182111则＋＋…＋＝3×(2＋2＋…＋2) a2a3a18C2C3C18222＝9×(＋＋…＋)

2×13×218×1711111＝18×[(1－)＋(－)＋…＋(－)]

22317181

＝18×(1－)＝17.

18

1n311.已知在(x－)的展开式中，第6项为常数项.

32x(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)根据题意，可得(x－1

x＝(－)kCk

2n

n?2k3313

)的展开式的通项为

n

111?3kk3n－k

Tk＋1＝Cn(x)(－x)

2x

，

2

n－2k

又由第6项为常数项，则当k＝5时，＝0，

3n－10即＝0，解可得n＝10.

31

x(2)由(1)可得，Tk＋1＝(－)kCk

21010－2k令＝2，可得k＝2，

3145

所以含x2项的系数为(－)2C2. 10＝241

x(3)由(1)可得，Tk＋1＝(－)kCk

210

10?2k310?2k3，

，

10－2k

若Tk＋1为有理项，则有∈Z，且0≤k≤10，

3分析可得当k＝2，5，8时，则展开式中的有理项分别为1

＋2x?n. 12.已知??2?

(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.

652

解 (1)因为C4n＋Cn＝2Cn，所以n－21n＋98＝0，

10－2k

为整数， 3

4526345－

x，－，x2. 48256

解得n＝7或n＝14.

当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5. 1?4335?所以T4的系数为C3， 722＝??21?34?T5的系数为C4722＝70. ??

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.

1?77?所以T8的系数为C71422＝3 432. ??12

(2)因为C0n＋Cn＋Cn＝79，

所以n＝12或n＝－13(舍去). 设Tk＋1项的系数最大.

11

＋2x?12＝??12(1＋4x)12， 因为??2??2?kkk1k1??C124≥C124，所以?kk所以9.4≤k≤10.4. k＋1k＋1

?C124≥C124，?

－

－

又因为0≤k≤12且k∈N，所以k＝10. 所以展开式中系数最大的项为T11. 1?1210101010

T11＝?C4x＝16 896x. 12

?2?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bda8.html