微积分的思想和方法

微积分的思想和方法

（部分讲义）

黄 荣 第四讲

第四章 定积分与不定积分

[教学目标]

1、了解定积分产生的历史、实际背景，理解定积分的概念，掌握定积分的性质；

2、理解原函数与不定积分的概念； 3、掌握不定积分性质与其本积分公式； 4、掌握定积分的牛顿一莱布尼兹公式； 5、了解定积分在实际问题中的应用； 6、了解简单微分方程的概念。 [重点难点]

定积分、不定积分的概念、牛顿一莱布尼兹公式。 [学习建议]

1、学习定积分概念时，应充分注意体现微积分的基本思想。 2、学员学习不定积分时，要注意加强练习，尽量做到掌握不定积分的计算方法。

3、牛顿一莱布尼兹公式，建立了微分和积分之间的联系，学员应适当练习，切实掌握。

4、为了掌握计算技能，学员必须做适当的练习。 [课时分配]

面授8课时，自学16 课时。 [面授辅导] 1、不定积分 1.1.1原函数

▲如果函数f(x)与f(x)定义在同一区间(a，b)，并且处处都有：F1(x)=f(x) 或df(x)=f(x)dx

则称f(x)是f(x)的一个原函数。 下列是一些简单函数的原函数： 出数 cosx sinx ex en

ex xn+1 原函数 sinx -cosx

1.1不定积分定义

▲设函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a，b) 内。苦F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+c也是f(x)的原函数，c为常数。 例1：求2x的原函数F(x)，且使F(2)=7。 解： ∵ x2=2x

∴x2是2x的一个原函数。 2x的全体原函数为 F(x)=x2+c (c为常数) F(2)=22+c=7 c=3

∴F(x)=x2+3为所求。

例2：求sinx的原函数F(x)，且使F(0)=4。 解：由于

(-cosx)=sinx

因此-cosx就是 sinx的一个原函数。 sinx的全体原函数记为 F(x)=-cosx+c 依题意有：F(o)=-cosD+c=4 c=5 所求F(x)=-cosx+5

例3：求f(x)=x3-3x2+2x+7的原函数。 解：f(x)的一个原函数为 x4-x3+x2+7x 则f(x)的全部原函数为

F(x)= x4-x3+x2+7x+c (c为常数) 1.1.2不定积分定义

函数F(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为 (x) dx。

其中 称为积分号，x称的积分变量，(x) 称为被积函数。 虽然 (x)dx=F(x)+c

(c为任意常数，称为积分常数)

注意：“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算。

例1 已知自由落体的运动速度v?gt，求自由落体的路程公式。

解 设自由落体的路程公式为s?f?t?。由导数的力学意义可知，速度

v?f'(t)?gt'。联想到

?12??gt??gt?2?'，并且常数的导数为0，所以

?12??gt?C??gt?2?。于是路程公式为

又因当t?0时s?0??0，代入上式，可得C?0，故所求的路程公式为

s?f?t??12gt2

s?f?t??12gt?C2 （C为任意常数）

该物理问题是已知速度求路程。抽象为数学问题，就是已知导数求原来的函数，这是求导数的逆运算。数学中的逆运算我们已经碰到过不少，比如相对于加法的减法，相对于乘法的除法，相对于乘方的开方等。这里需要解决两个问题：一是逆运算是否存在？二是如果逆运算存在的话，结论有几个？现在就来围绕这两个问题解决求导数（或微分）的逆运算问题。 首先我们要知道什么是原函数。

根据导数公式或微分公式，我们很容易得出一些简单函数的原函数。如

函数 原函数 cosx sinx

sinx ?cosx ex ex

1xn?1n x n?1

从这些例子不难看出，sinx是cosx的原函数，(sinx?C)也是cosx的原函数，这里C是任意常数。于是产生这样一个问题：同一个函数究

竟有多少原函数？

定理 设函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a,b)内。若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)?C也是f(x)的原函数，这里C是任意常数；而且F(x)?C包含了f(x)的全部原函数。 证明 因为

(F(x)?C)'?F'(x)?f(x) 所以F(x)?C是f(x)的原函数。

下面证明F(x)?C包含了f(x)的一切原函数。而这只需证明，f(x)的任一原函数G(x) 必然有F(x)?C的形式。 证明 根据假设

G'(x)?f(x)，F'(x)?f(x)， 从而

G'(x)?F'(x)?f(x)?f(x)?0， 由中值定理推理2得 G(x)?F(x)?C， 故

G(x)?F(x)?C 。

例1 求2x的原函数F(x)，且使F(2)?7。

d2x?2x解 我们知道dx，因此x2就是2x的一个原函数，2x的全体原函

数记为F(x)=x2+C。根据题意，我们求常数C。 所以

F(2)?22?C?7，C=3

F(x)=x2+3

例2 求sinx的原函数F(x)，且使F(0)?4。 解 求解的思路同例1

d(?cosx)?sinxdx一样。我们知道，因此?cosx就

sinx的全体原函数记为F(x)=?cosx+C。是sinx的一个原函数，根据题意，

我们求常数C。

所以

F(x)=?cosx+5 例3 求f(x)?x解 f(x)?x33F(0)??cos0?C??1?C?4，C=5

?3x2?2x?7的原函数

?3x2?2x?7的一个原函数为

F0(x)?14x?x3?x2?7x4

则f(x)的全部原函数为F(x)?F0(x)?C（C为常数）。

不定积分定义

定义 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为 ?f(x)dx，

其中?称为积分号，x称为积分变量，f(x)称为被积函数。 由定理可知，如果知道了f(x)的一个原函数F(x)，则 ?f(x)dx?F(x)?C， 其中C是一个任意常数，称为积分常数。

关于不定积分运算和微分运算

从不定积分的概念可知，“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算：

??f(x)dx?'?f(x)或d?f(x)dx?f(x)dx； 反过来，

?F'(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C。

这就是说，若先积分后微分，则两者的作用互相抵消；若先微分后积分，则抵消后差一常数。 例4 求?解 ?2xdx

2xdx是指求2x的一切原函数，所以

?2xdx=x不定积分的几何意义

2?C

作例4的函数族图，得到一曲线族，不定积分的几何意义就是曲线族。由一条曲线上下平移而得到。它们在同一点的切线斜率相等，如图所示。

[思考题]

(1)德.摩根说积分就是“回忆微分”，你能默想导数公式并列出相应的基本不定积分公式吗？

(2)你了解数学的三次危机吗？它们对你又何启示？

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bwhg.html