2011年高考数学试题分类汇编2 - 函数与导数 - 图文

2011年高考数学试题分类汇编：函数与导数

一、选择题

1.（安徽理3） 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x??时，f(x)??x?x，则f(?)? （A）?? (B) ?? （Ｃ）１ （Ｄ）3 【答案】A

【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.

2f(1)??f(?1)??[2(?1)?(?1)]??3.故选A. 【解析】

mnf(x)?axg(??x)2.(安徽理10) 函数在区 ?y 间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值

可能是

（A）m?1,n?1 (B) m?1,n?2 (C) m?2,n?1 (D) m?3,n?1

【答案】B【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用，考查函数图

像，考查思维的综合能力.难度大.

???m?1,n?2f(x)?axg(??x)?n(x??x?x)，则 【解析】代入验证，当，

0.5 x O 0.5 1 1x?,x?1f?(x)?a(?x???x??)，由f?(x)?a(?x???x??)??可知，132，结

?1??1?10,x????,1?3取得最大值，由 合图像可知函数应在?3?递增，在?3?递减，即在????f()?a?g(??)??????，知a存在.故选B.

3.（安徽文5）若点(a,b)在y?lgx 图像上，a??,则下列点也在此图像上的是

???（A）（a，b） (B) (10a,1?b) (C) (a,b+1) (D)(a2,2b)

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【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关

系.

?a2,2b??b?lga?b??lga?lga【解析】由题意，，即也在函数y?lgx 图像上. n?f(x)?axg(??x)4.(安徽文10) 函数在

y 区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可

能是

（A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当n?1时，

x O 0.5 1 0.5 f(x)?axg(??x)??a(x???x??x) ?，则f(x)?a(?x??x??)，

?1?1x1?,x2?1?0,???f(x)?a(?x??x??)??3由可知，，结合图像可知函数应在?3?递增，

?1?1?????,1x?f()?a?g(??)???3??3取得最大值，由????，知a存在.故选在递减，即在

A.

5.（北京理6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为

????f(x)?????c,x?Axc,x?AA（A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件

D. 60，16

产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是

A. 75，25 B. 75，16 C. 60，25 【答案】D

【解析】由条件可知，x?A时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个

f(4)?分段函数，即6.（北京文8）已知点

c60?30?c?60f(A)??15?A?164A，，选D。

,

,若点C在函数y?x的图象上，则使得?ABC的面

2A?0,2?B?2,0?积为2的点C的个数为

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A. 4 【答案】A

B. 3 C. 2 D. 1

7.（福建理5）

A．1

?0(e

1x?2x)dx等于

B．e?1

C．e

D．e?1

【答案】C

8.（福建理9）对于函数f(x)?asinx?bx?c (其中，a,b?R,c?Z)，选取a,b,c的一

组值计算f(1)和f(?1)，所得出的正确结果一定不可能是 A．4和6 【答案】D

B．3和1

C．2和4

D．1和2

xf(x)?e?x，对于曲线y?f(x)上横坐标成等差数列的三个点9.（福建理10）已知函数

A，B，C，给出以下判断：

①△ABC一定是钝角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B

10.（福建文6）若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 A．（－1，1） B．（－2，2） C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C

?2x， x＞0

11.（福建文8）已知函数f(x)＝?，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于

?x＋1，x≤0

A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】A

12.（福建文10）若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab

的最大值等于 A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】D

13.（广东理4）设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是

A．f(x)+|g(x)|是偶函数 B．f(x)-|g(x)|是奇函数 C．|f(x)| +g(x)是偶函数 D．|f(x)|- g(x)是奇函数 【答案】A

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【解析】因为 g(x)是R上的奇函数,所以|g(x)|是R上的偶函数,从而f(x)+|g(x)|是偶函数,故选A.

f(x)?14.（广东文4）函数

1?lg(x?1)1?x的定义域是 （ ）

A．(??,?1) B．(1,??) C．(?1,1)?(1,??) D．(??,??) 【答案】C

15.（广东文10）设f(x),g(x),h(x)是R上的任意实值函数．如下定义两个函数?f?g??x?和?f?g??x?；对任意x?R,?f?g??x??f?g(x)?；?f?g??x??f?x?g(x)．则下列等式恒成立的是（ ）

A．??f?g??h??x????f?h???g?h??(x) B．??f?g??h??x????f?h???g?h??(x) C．??f?g??h??x????f?h???g?h??(x) D．

??f?g??h??x????f?h???g?h??(x)

【答案】B

16.（湖北理6）已知定义在R上的奇函数f?x?和偶函数g?x?满足

f?x??g?x??ax?a?x?2

?a?0,且a?1?，若g?2??a，则f?2??

15172A. 2 B. 4 C. 4 D. a

【答案】B

2?2?22????????f2?g2?a?a?2f?2?g?2?a?a?2，即 【解析】由条件，

?f?2??g?2??a?2?a2?2，由此解得g?2??2，f?2??a2?a?2，

f?2??22?2?2?154，所以选B.

所以a?2，

17.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减

少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：

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太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：

M?t??M02?t30，其中

M0为t?0时

铯137的含量，已知t?30时，铯137的含量的变化率是?10ln2（太贝克/年），则

M?60??

A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克 C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克 【答案】D

??11M/?30???ln2?M0230??10ln2M?t???ln2?M02303030【解析】因为，则，

/t30解得

M0?600，所以M?t??600?2?6030?t30，那么

M?60??600?2?600?1?1504（太贝克），所以选D.

y?18.（湖南文7）曲线

sinx1??M(,0)sinx?cosx2在点4处的切线的斜率为（ ）

1122?A．2 B．2 C．2 D．2

?【答案】B

y'?【解析】

cosx(sinx?cosx)?sinx(cosx?sinx)1?(sinx?cosx)2(sinx?cosx)2，所以

y'|x??4?(sin1??cos)244??12。

x2f(x)?e?1,g(x)??x?4x?3,若有f(a)?g(b),则b的取值19.（湖南文8）已知函数

范围为

A．[2?2,2?2] B．(2?2,2?2) C．[1,3] D．(1,3) 【答案】B

x22f(x)?e?1??1g(x)??x?4x?3??(x?2)?1?1，若有【解析】由题可知，

2f(a)?g(b),3?1?，则g(b)?(?1,1]，即?b?4b?解得2?2?b?2?2。

x??20.（湖南理6）由直线

?3,x??3,y?0与曲线

y?cosx所围成的封闭图形的面积为

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【答案】B

【分析】根据题意，确定函数y?f(x)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质． 【解析】选由f(?x)?f(x)得y?f(x)是偶函数，所以函数y?f(x)的图象关于y轴对

称，可知B，D符合；由f(x?2)?f(x)得y?f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．

43.（陕西文4） 函数y?x的图像是 （ ）

13

【答案】B

【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．

x?【解析】 取

1111?y??8，8，则2，2，选项B，D符合；取x?1，则y?1，选项B

符合题意．

44.（上海理16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,??)上单调递减的函数是（ ）

y?ln（A）【答案】A

1|x|. （B）y?x3. （C）y?2|x|. （D）y?cosx.

45.（上海文15）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,??)上单调递减的函数是（ ） （A）y?x （B）y?x （C）y?x （D）y?x 【答案】A

1f(x)?()x?1246.（四川理7）若f(x)是R上的奇函数，且当x?0时，，则f(x)的反函数

的图象大致是

?2?1213第 11 页 共 59 页

【答案】A

【解析】当x?0时，函数f(x)单调递减，值域为(1,2)，此时，其反函数单调递减且图象在

x?1与x?2之间，故选A．

1y?()x?1247.（四川文4）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是

【答案】A

1y?()x?12【解析】图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点(2,0)且单调递减，选A． 48.（天津理2）函数 Ａ．

f?x??2x?3x的零点所在的一个区间是（ ）． Ｃ．

??2,?1?

Ｂ．

??1,0? ?0,1?

Ｄ．

?1,2?

，

【答案】B

【解析】解法1．因为

所以函数

解法2．

f??2??2?2?6?0，

f??1??2?1?3?0f?0??20?0?0，

f?x??2x?3x的零点所在的一个区间是

??1,0?．故选Ｂ．

f?x??2x?3x?0x2可化为??3x．

xy?2画出函数和y??3x的图象，可观察出选项Ｃ，Ｄ不正确，且

f?0??20?0?0，由此可排除Ａ，故选Ｂ．

logx,x?0??2f?x???log??x?,x?01f?a??f??a???249.（天津理8）设函数若，则实数a的取值范

围是（ ）．

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Ａ．? Ｃ．

?1,0?U?0,1? Ｂ．???,?1?U?1,???

Ｄ．

??1,0?U?1,???

???,?1?U?0,1?

2log2a?0，所以a?1，

【答案】C

【解析】若a?0，则

若a?0则

2log2a?log1a2，即

log1??a??log2??a?，即

2olg2??a0???1?a?0。，所以0??a?1，

a???1,0?U?1,???所以实数a的取值范围是a?1或?1?a?0，即．故选C．

50.（天津文4）函数 Ａ．

f?x??ex?x?2的零点所在的一个区间是（ ）． Ｃ．

??2,?1?

Ｂ．

??1,0? ?0,1?

Ｄ．

?1,2?

【答案】C 【解析】因为

f??1??e?1?1?2?0，

f?0??e0?0?2??1?0，

的零点所在的一个区间

f?1??e1?1?2?e?1?0是

，所以函数

f?x??ex?x?2?0,1?．故选Ｃ．

2a?log54，b??log53?，c?log45，则（ ）

51.（天津文6）设．

Ａ．a?c?b Ｂ．b?c?a Ｃ．a?b?c Ｄ．b?a?c 【答案】D 【解析】因为

所以

c?log45?c?log44?1，0?a?log54?1，0?a?log53?1，

2b??log53??log53?log54?log54?a，

所以b?a?c，故选Ｄ．

??g?x??x?4,x?g?x?,f?x???g?x??x2?2?x?R???g?x??x,x?g?x?,则f?x?52.（天津文10）设函数，

的值域是（ ）．

?9??,0?U?1,?????0,???，

Ａ．?4? Ｂ．?9??9?,???,0?U?2,??????4? Ｄ．?4? Ｃ．?

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【答案】D 【解析】解

x?g?x??x2?22x?g?x??x2?2x??1x?2x?x?2?0得，则或．因此

?x2?x?2,x??1或x?2,f?x???2?x?x?2,?1?x?2, 的解为：?1?x?2．于是

当x??1或x?2时，

2f?x??2．

21?9?9x?x?2??x???f?x???2?4，则4， ?当?1?x?2时，

9?f?x??02又当x??1和x?2时，x?x?2?0，所以4．

??9?9?,0?U?2,????fx?0???f?x??2fx??由以上，可得或4，因此的值域是?4?．故

?选Ｄ．

?x2x?0f?x????f(x?1),x?0，则f?2??f??2?的值为 53.（浙江理1）已知

A．6 B．5 C．4 D．2

【答案】B

54.（浙江文10）设函数

f?x??ax2?bx?c?a,b,c?R?y?f?x?f?x?e2x??1，若为函数的一个

极值点，则下列图象不可能为的图象是

【答案】D

ln(2?x)?在其上为增函数的是 55.（重庆理5）下列区间中，函数f(x)=??4??3?1,0,???3? （C）?2（A）（-?,1] （B）?【答案】D

2mx?kx?2?0在区间（0,1）内有两个不同的根，56.（重庆理10）设m，k为整数，方程

? （D）

?1,2?

则m+k的最小值为

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（A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13 【答案】D 57. (重庆文3)曲线(A)(C)

在点

,

处的切线方程为 A

(B) (D)

58. (重庆文6)设(A)(C)【答案】B

,,,则,,的大小关系是

(B) (D)

59. (重庆文7)若函数在处取最小值,则

(A) (B)

(C)3 (D)4 【答案】C 二、填空题

60. (重庆文15)若实数,,满足

是 . 【答案】

,

，则的最大值

2?log23

f(x)?41?x ,若f(a)?2,则实数a=________________________

61.（浙江文11）设函数k【答案】-1

62.（天津文16）设函数

f?x??x?1x．对任意x??1,???，f?mx??mf?x??0恒成立，

则实数m的取值范围是 ． 【答案】

???,?1?．

f?x??x?1x对x??1,???是增函数，

【解析】解法1．显然m?0，由于函数

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则当m?0时，

f?mx??mf?x??0不恒成立，因此m?0．

在

当m?0时，函数

h?x??f?mx??mf?x?x??1,???1m，

是减函数，

因此当x?1时，于是

h?x?取得最大值

h?1??m?h?x??f?mx??mf?x??0恒成立等价于

h?x??x??1,????的最大值?0，

1?m??0,?m?1h?1??m??0?m?0,???,?1?．m即，解?得m??1．于是实数m的取值范围是

解法2．然m?0，由于函数

f?x??x?1x对x??1,???是增函数，则当m?0时，

f?mx??mf?x??0不成立，因此m?0．

1m1?m22m2x2?1?m2f?mx??mf?x??mx??mx??2mx???0mxxmxmx，

因为当

x??1,???222g?x??2m2x2?1?m2m?02mx?1?m?0，，则，设函数，则

x??1,???g?x?g?1??m2?1x?1时为增函数，于是时，取得最小值．

?g?1??m2?1?0,??m?0,???,?1?． ?解?得m??1．于是实数m的取值范围是

解法3．因为对任意

x??1,???，

f?mx??mf?x??0恒成立，所以对x?1，不等式

1?m??0,?m?1m??0?f?mx??mf?x??0f?m??mf?1??0m?0,m也成立，于是，即，解?得

m??1．于是实数m的取值范围是???,?1?．

?3?x??,???f?x??x?1?2?， 63.（天津理16）设函数．对任意

2?x?f???4m2f?x??f?x?1??4f?m??m?恒成立，则实数m的取值范围是 ．

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??3??3????,?2?U?2,????????【答案】．

?x?f?x?1??4f?m??f???4m2f?x??0?m?【解析】解法１．不等式化为，即

x2?x?1??1?4m?4?2?1?4m2x2?4m2?0m，

221?2?21??4m??x?2x?3?02m?整理得?，

12x?32x?3x??3,???21?2?4m?g?x????2222??． x?0mxx因为，所以，设，

1?于是题目化为

?3?12x?,???4m?gx????2??恒成立的问题． m2，对任意

2x?3x??3,???12g?x??u?0?u????2?的最大值．设x2，x，则3． 为此需求

?2?20,?u??g?x??h?u??3u?2u3处取得最大值．函数在区间?3?上是增函数，因而在

242?28?2?18h???3???1?2?4m2?umax?x??933，所以m?3?3，

整理得12m?5m42?3?0，即?4m2?3??3m2?1??0，

所以4m?3?0，解得

2m??33m?2或2，

??3??3m????,?U,???????22????m因此实数的取值范围是．

1?解法2．同解法1,题目化为

?3?12x?,???4m?gx????2??恒成立的问题． m2，对任意

2x?3x??3,???g?x????22??的最大值． x为此需求，

g?x??h?t??t??6,???设t?2x?3，则．

4t4?t2?6t?9t?9?6t．

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t?因为函数

993t?6?t在?3,???上是增函数，所以当t?6时，t取得最小值2．

48?183231??4m?gx?6??6max??2h?t?m3，整理得2从而有最大值．所以

12m4?5m2?3?0，

即

?4m2?3??3m?1??02，所以4m?3?0，解得

2m??33m?2或2，

??3??3m????,?U,???????22????m因此实数的取值范围是．

?x?f?x?1??4f?m??f???4m2f?x??0?m?解法3．不等式化为，即

x2?x?1??1?4m?4?2?1?4m2x2?4m2?0m，

221?2?21??4m??x?2x?3?02m?整理得?， 1??F(x)??1?2?4m2?x2?2x?3?m? 令．

由于

F?0???3?0F?x?，则其判别式??0，因此的最小值不可能在函数图象的顶点

得到，

?3??3?x??,???F???2?恒成立，必须使?2?为最小值， 所以为使F(x)?0对任意

即实数m应满足

??1?1?2?4m2?0;?m???3??F???0;??2??23??122??2?1??4m??2?m???

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??3??33m??m2????,?2?U?2,????????4m 解得，因此实数的取值范围是．

?3?x??,????2?， 解法4．(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意

?x?f???4m2f?x??f?x?1??4f?m??m?恒成立，

x?则对

32，不等式

?x?f???4m2f?x??f?x?1??4f?m??m?也成立， ?3?2f???4mf?2m??3??1??f?????4f?m??2??2?，即

3x?2代入上式得把

91292?1?4m??4m??1?4m2?4222444m，因为4m?0，上式两边同乘以4m，并

整理得

12m4?5m2?3?0，即?4m?3??3m?1??0，所以4m2?3?0，解得

22m??32或

m?32，

??3??3m????,?U,???????22????m因此实数的取值范围是．

1?1(lg?lg25)?1002=64.（四川理13）计算4_______．

【答案】－20

1?1lg2?lg51(lg?lg25)?1002??2???2?lg10???201?4101002【解析】．

65.（四川理16）函数f(x)的定义域为A，若x1,x2?A且f(x1)?f(x2)时总有x1?x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)=2x+1(x?R)是单函数．下列命题：

2f(x)?x①函数（x?R）是单函数；

②若f(x)为单函数，x1,x2?A且x1?x2，则f(x1)?f(x2)； ③若f：A→B为单函数，则对于任意b?B，它至多有一个原象；

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④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 【答案】②③

【解析】对于①，若f(x1)?f(x2)，则x1??x2，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，

故为真命题；对于③，若任意b?B，若有两个及以上的原象，也即当f(x1)?f(x2)时，不一定有x1?x2，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．

?1?1f(x)?2x?1f(x)f(?2)? 66.（上海文3）若函数的反函数为，则

3【答案】2

?ab(a,b,c,d?{?1,1,2}cd67.（上海文12）行列式所有可能的值中，最大的是

15【答案】2

68.（上海文14）设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)?x?g(x)在区间[0,1]上的值域为[?2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为 【答案】[?2,7]

f(x)?69.（上海理1）函数

1?1x?2的反函数为f(x)? .

1?2【答案】x

ab(a,b,c,d?{?1,1,2})cd70.（上海理10）行列式所有可能的值中，最大的是 .

【答案】6

71.（上海理13） 设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)?x?g(x)在

区间[3,4]上的值域为[?2,5]，则f(x)在区间[?10,10]上的值域为 . 【答案】[?15,11]

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?lgx,x?0f(x)??x?10,x?0，则f(f(?2))?______. 72.（陕西文11）设

【答案】?2

【分析】由x??2算起，先判断x的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断f(?2)作为

自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．

【解析】∵x??2?0，∴

f(?2)?10?2?1?0?2?2f(10)?lg10??2，即100，所以

f(f(?2)?)?．2

lgx??f(x)??ax??3t2dt?0?73.（陕西理11）设

x?0x?0，若f(f(1))?1，则a? ．

【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从x?1算起是解答本题的突破口. 【解析】因为x?1?0，所以f(1)?lg1?0，又因为

33f(0)?a所以，所以a?1，a?1．

f(x)?x??3t2dt?x?a30a，

【答案】1

2n?Nx?4x?n?0有整数根的充要条件是?74.（陕西理12）设，一元二次方程

n? ．

【答案】3或4

【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．

x?【解析】

4?16?4n?2?4?n，2因为x是整数，即2?4?n为整数，所以4?nn?N?，取n?1,2,3,4，验证可知n?3,4符合题意；反之

为整数，且n?4，又因为

n?3,4时，可推出一元二次方程x2?4x?n?0有整数根．

75.（山东理16）已知函数f（x）=

logax?x?b(a＞0，且a?1).当2＜a＜3＜b＜4时，函

*x?(n,n?1),n?N,则n= . f（x）数的零点0【答案】5 【解析】方程

logax?x?b(a＞0，且a?1)=0的根为x0,即函数y?logax(2?a?3)的图

*xx?(n,n?1),n?N,结合图

象与函数y?x?b(3?b?4)的交点横坐标为0,且0第 21 页 共 59 页

象,因为当x?a(2?a?3)时,y?1,此时对应直线上y?1的点的横坐标

x?1?b?(4,5);当y?2时, 对数函数y?logax(2?a?3)的图象上点的横坐标

x?(4,9),直线y?x?b(3?b?4)的图象上点的横坐标x?(5,6),故所求的n?5.

xf(x)?e?2x?a有零点，则a的取值范围是___________． 76.（辽宁文16）已知函数

【答案】(??,2ln2?2] 77.（江苏2）函数

f(x)?log5(2x?1)的单调增区间是__________

1（-，+?）【答案】2

1x?(?,??),y?log5u在(0,??)?.u?2x?1在2【解析】大于零,且增.

本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题

78.（江苏8）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________.

【答案】4.

f(x)?2x的图象交

422PQ?(2x)2?()2?4(x,)(?x,?)xx，x，【解析】设经过原点的直线与函数的交点为则.

本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,两点间距

离公式以及基本不等式，中档题.

?2x?a,x?1f(x)????x?2a,x?1，若f(1?a)?f(1?a)，则79.（江苏11）已知实数a?0，函数

a的值为________

a??【答案】

34

【解析】 ?a?0.

a?0,2?2a?a??1?a?2a,a??32，不符合； 34 .

a?0,?1?a?2a?2?2a?a,a??第 22 页 共 59 页

本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题.

xxOyf(x)?e(x?0)的图象上的动80.（江苏12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数

点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________

11(e?)e 【答案】2x0x0x0x0P(x,e),l:y?e?e(x?x),?M(0,(1?x)e)，过点P作l的垂线 000【解析】设则

y?ex0??e?x0(x?x0),?N(0,ex0?x0e?x0)，

11?t?[(1?x0)ex0?ex0?x0e?x0]?ex0?x0(e?x0?ex0)22

1t??(ex0?e?x0)(1?x0)2，所以，t在(0,1)上单调增，在(1,??)单调减， ?x0?1,tmax?11(e?)2e.

本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用

导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题.

81.（湖南文12）已知f(x)为奇函数，g(x)?f(x)?9,g(?2)?3,则f(2)? ． 【答案】6

【解析】g(?2)?f(?2)?9?3,则f(?2)??6，又f(x)为奇函数，所以

f(2)??f(?2)?6。

82.（湖北文15）里氏震级M的计算公式为：

M?lgA?lgA0，其中A是测震仪记录的地

震曲线的最大振幅

是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。 【答案】6，10000

3f(x)?xcosx?1.若f(a)?11，则f(?a)? ． 83.（广东文12）设函数

【答案】-9

32f(x)?x?3x?1在x? 处取得极小值. 84.（广东理12）函数

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【答案】

解析:f'(x)?3x2?6x?3x(x?2),?f(x)的单调递增区间为:(??,0),(2,??),递减区间为(0,2),?f(x)在x?2处取得极小值.?2x?2?,f(x)??x?(x?1)3,x?2?85.（北京理13）已知函数，若关于x的方程f(x)?k有两个不同的

实根，则实数k的取值范围是________.

【答案】

f(x)?【解析】

2(x?2)3f(x)?(x?1)(x?2)单调递增且值域x单调递减且值域为(0,1]，

为(??,1)，f(x)?k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。

y?86.（安徽文13）函数

16?x?x2的定义域是 .

【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.

22?x+3??x?2??0，所以?3?x?2.

【解析】由6?x?x?0可得x?x?6?0，即

三、解答题

exf(x)?1?ax，其中a为正实数 87.（安徽理16）设

（Ⅰ）当a?43时，求f(x)的极值点；

（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围。

本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二

次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.

1?ax2?axf?(x)?e.22(1?ax) ①解：对f(x)求导得

xa?

（I）当综合①,可知

431f?(x)?0,则4x2?8x?3?0,解得x1?,x2?.3，若22

x

f?(x)

+

1(??,)2

0

12 13(,)22

－

0

32

+

3(,?)2

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f(x)

x1?↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以,

31x2?2是极小值点,2是极大值点.

?（II）若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2?2ax?1?0

2??4a?4a?4a(a?1)?0,由此并结合a?0，知0?a?1. 在R上恒成立，因此

88.（北京理18）已知函数f(x)?(x?k)e. (1)求f(x)的单调区间；

2xk(2)若对?x?(0，??)，都有

/f(x)?1e，求k的取值范围。

x122kf(x)?(x?k)e/fk解：(1)，令(x)?0得x??k

当k?0时，f(x)在(??,?k)和(k,??)上递增，在(?k,k)上递减； 当k?0时，f(x)在(??,k)和(?k,??)上递减，在(k,?k)上递增

(2) 当k?0时，

f(k?1)?ek?1k?11f(x)?e； e；所以不可能对?x?(0，??)都有

4k2f(?k)?f(x)(0,??)k?0e，所以对?x?(0，当时有（1）知在上的最大值为??)都有

f(x)?1e

4k2111f(x)?????k?0e时，k的取值范围为e2即e，故对?x?(0，??)都有1[?,0)2。

89.（北京文18）已知函数（II）求

f?x???x?k?ex，（I）求

f?x?的单调区间；

f?x?在区间

?0,1?上的最小值。

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/x/f?x?(??,k?1)f(x)?(x?k?1)ef解：（I），令(x)?0?x?k?1；所以在上

递减，在(k?1,??)上递增； （II）当k?1?0,即k?1时，函数

f?x?在区间

?0,1?上递增，所以f(x)min?f(0)??k；

f?x?在区间

当0?k?1?1即1?k?2时，由（I）知，函数

k?1f(x)?f(k?1)??emin上递增，所以；

?0,k?1?上递减，(k?1,1]当k?1?1,即k?2时，函数

f?x?在区间

?0,1?上递减，f(x)min?f(1)?(1?k)e。

所以

y(单位：千克)与

90.（福建理18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量

销售价格x(单位：元/千克)满足关系式

y?a?10(x?6)2x?3，其中3?x?6，a为常

数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(Ⅰ) 求a的值； (Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获

得的利润最大．

a?10?11?a?2y?11x?52解：(Ⅰ)因为时，所以；

y?(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量

润：

2?10(x?6)2x?3，所以商场每日销售该商品所获得的利

f(x)?(x?3)[2?10(x?6)2]?2?10(x?3)(x?6)2,3?x?6x?3；

f/(x)?10[(x?6)2?2(x?3)(x?6)]?30(x?4)(x?6)，令f/(x)?0得x?4

函数f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x?4时函数f(x)取得最大值

f(4)?42

答：当销售价格x?4时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 91.（福建文22）已知a、b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝2.71828…

是自然对数的底数）。 （Ⅰ）求实数b的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅲ）当a＝1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝

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1

t与曲线y＝f(x)（x∈[e，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。 解：（Ⅰ）b＝2；（Ⅱ）a＞0时单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（0，1），a＜0时

单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）；（Ⅲ）存在m，M；m的最小值为1，M的最大值为2。 92.（广东理21）

在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:y?12x.实数p,q满足p2?4q?0,x1,x2是方程4x2?px?q?0的两根,记?(p,q)?max{|x1|,|x2|}.12p0)(p0?0)作L的切线交y轴于点B.证明:对线段AB上的作一点Q(p,q),4|p|有?(p,q)?0;2

2l,l是定点，其中a,b满足a?4b＞0，a≠0.过M(a,b)作L的两条切线12，

(1)过点A(p0,(,)（2）设Mab切点分别为

E(p1,121p1),E'(P2,P22)l,l44，12与y分别交于F,F'.线段EF上异于两

M(a,b)?X?P1?P2??(a,b)?|P1|2

端点的点集记为X.证明：

?15?(3)设D??(x,y)y?x?1,y?(x?1)2??,当点（p,q）取遍D时，求44???（p,q）的最小值(记为?min)和最大值(记为?max).11kAB?y'|x?p0?(x)|x?p0?p022， 解：（１）

y?直线AB的方程为

；

12111p0?p0(x?p0)y?p0x?p024224，即，

?q?11p0p?p02222??p?4q?(p?p)x?px?q?0240，方程的判别式，

两根

x1,2?p?|p0?p|p0p?p?022或2，

?|p?p0p|?||p|?|0||22，又0?|p|?|p0|，

?p?p0?0，

??|p0ppppp|?|p|?|0|?|0|?|p?0|?||p|?|0||?|0|222，得222，

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??(p,q)?|2p0|2．

（２）由a?4b?0知点M(a,b)在抛物线L的下方， ①当a?0,b?0时，作图可知，若M(a,b)?X，则若

p1?p2?0，得|p1|?|p2|；

|p1|?|p2|，显然有点M(a,b)?X； ?M(a,b)?X?|p1|?|p2|．

②当a?0,b?0时，点M(a,b)在第二象限， 作图可知，若M(a,b)?X，则若

p1?0?p2，且|p1|?|p2|；

|p1|?|p2|，显然有点M(a,b)?X；

?M(a,b)?X?|p1|?|p2|．

?|p1|?|p2|， 根据曲线的对称性可知，当a?0时，M(a,b)?X综上所述，M(a,b)?X?|p1|?|p2|（*）

；

x1,2?p1pa?12或2，

2x由（１）知点M在直线EF上，方程?ax?b?0的两根

同理点M在直线E'F'上，方程x?ax?b?0的两根

2x1,2?p2pa?22或2，

?(a,b)?|若

p1pppp||1||a?1||2||a?2|2，则2不比2小， 2、2、

?|p1|?|p2|，又|p1|?|p2|?M(a,b)?X，

??(a,b)?|p1p|???(a,b)?|1|M(a,b)?X；又由（１）知，M(a,b)?X22； p1|?M(a,b)?X，综合（*）式，得证． 2y?15(x?1)2?44得交点(0,?1),(2,1)，可知0?p?2，

??(a,b)?|（３）联立y?x?1，

12x0?q1412?x0(x0,x0)x?p24过点(p,q)作抛物线L的切线，设切点为，则0，

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2x?2px0?4q?0，解得x0?p?0得

p2?4q，

q?又

15(p?1)2?244，即p?4q?4?2p，

115?x0??t2?t?2??(t?1)2??x0?p?4?2p，设4?2p?t，222，

??max?|x055x0???max?|max2，4； 2，又

p2?4p?4?p?|p?2|?2，

?q?p?1，?x0?p???min?|x0|min?12．

2f(x)?lnx?a(1?a)x?2(1?a)x的单调性． a?093.（广东文19） 设,讨论函数

解：函数f(x)的定义域为（0，+∞） 2a(1?a)x2?2(1?a)x?1f'(x)?,x1当a?1时，方程2a(1?a)x2?2(1?a)x?1?0的判别式??12(a?1)(a?)31①当0

x1?（其中

(a?1)(3a?1)(a?1)(3a?1)11?,x2??2a2a(1?a)2a2a(1?a)）

94.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，

大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超

过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20?x?200时，车流速度

v是车流密度x的一次函数．

（Ⅰ）当0?x?200时，求函数v?x?的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/

小时）f?x??x?v?x?可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（Ⅰ）由题意：当0?x?20时，v?x??60；当20?x?200时，设v?x??ax?b，

1?a????3??200a?b?0?b?200?20a?b?60，解得?3 ?显然v?x??ax?b在?20,200?是减函数，由已知得?0?x?20,?60,??1?200?x?,20?x?200.?????vxvx故函数的表达式为=?3 0?x?20,?60x,??1x?200?x?,20?x?200.???fx?3?（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

当0?x?20时，f?x?为增函数，故当x?20时，其最大值为60?20?1200；

11?x??200?x??10000f?x??x?200?x?????33?23， ?当20?x?200时，

2当且仅当x?200?x，即x?100时，等号成立．

10000所以，当x?100时，f?x?在区间?20,200?上取得最大值3． 10000?3333????fx0,200x?1003综上，当时，在区间上取得最大值，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

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95.（湖北理21）（Ⅰ）已知函数f(x)?lnx?x?1，x?(0,??)，求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设

ak,bk(k?1,2…，n)均为正数，证明：

bnb1b2ab?ab?abb?b?baa?a222n?1； （1）若11…nn?1…n，则121222bnb1b2b?bbb?b?bbb?b2n?12…+n。 （2）若1…n=1，则n?12解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,??)，令

f/(x)?1?1?0?x?1x，

f(x)在(0,1)上递增，在(1,??)上递减，故函数f(x)在x?1处取得最大值f(1)?0

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当x?(0,??)时有f(x)?f(1)?0即lnx?x?1，

∵kna,bk?0，∴

nkkbk?lnak?bk(ak?1),(k?1,2,?n)??lna??bk(ak?1)bkkk?1k?1nbkknn

∵k?1?ab??b?lnakk?1?0∴k?1bnbnb1b2b1b2ln(aa?a)?0?aa?a?1 12n12n即

n111ak?,(k?1,2,?,n)akbk???akbk?1bb?b?nbnn，令k?1k（2）①先证，则

b1b212bnn1b11b21bn1)()?()?1?b1b2?nb1?b2???bn?nbnnb1nb2nbnb1b2?bn由（1）知

(bnb2b1b1b2?bn?∴

1n；

222bnb1b2b?bbbb?b12n2…+n，记?1②再证

nS??bk2,ak?k?1nbk,(k?1,2,?,n)S

n1n2akbk??bk?1??bk?Sk?1k?1则k?1于是由（1）得

bbbbnb2(1)b1(2)b2?(n)bn?1?b1b1b2?bn?Sb1?b2???bn?SSSS

222bnb1b2b?bbbb?bn?12…+n。综合①所以12②，（2）得证

322f()x?x?2ax?bx?agx()?x?3x?296.（湖北文20）设函数，，其中x?R，a、

b为常数，已知曲线y?f(x)与y?g(x)在点（2,0）处有相同的切线l。

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(I) 求a、b的值，并写出切线l的方程；

x?x2，且对任意的xxx?g()x?mx(II)若方程f()有三个互不相同的实根0、、，其中1x??x1,x2?()?g()x?m(x?1)，fx恒成立，求实数m的取值范围。

/2/f(x)?3x?4ax?b,g(x)?2x?3，解：(I)由于曲线曲线y?f(x)与y?g(x)在点（2,0）//f(2)?g(2)?0,f(2)?g(2)?1，由此解得：a??2,b?5； 处有相同的切线，故有

切线l的方程：x?y?2?0‘

322f(x)?g(x)?x?3x?2xx(x?3x?2?m)?0有三个互不(II)由(I)得，依题意得：方程

相等的根

0,x1,x2，故x1,x2是方程x2?3x?2?m?0的两个相异实根，所以

??9?4(2?m)?0?m??14；

又对任意的

x??x1,x2?x?x1时， ()?g()x?m(x?1)，fx恒成立，特别地，取

f(x1)?g(x1)?mx1??m成立，即0??m?m?0，由韦达定理知：x1?x2?3?0,x1x2?2?m?0，故0?x1?x2，对任意的x??x1,x2?，有x?x2?0,x?x1?0,x?0，则：

f(x)?g(x)?mx?x(x?x1)(x?x2)?0；又f(x1)?g(x1)?mx1?0

所以函数在

x??x1,x2?x??x1,x2?上的最大值为0，于是当m?0时对任意的，

1(?,0)fx()?g()x?m(x?1)恒成立；综上：m的取值范围是4。

f(x)?x?97.（湖南文22）设函数(I)讨论f(x)的单调性；

1?alnx(a?R).x

x和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，

（II）若f(x)有两个极值点1问：是否存在a，使得k?2?a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

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解析：（I）f(x)的定义域为(0,??).

1ax2?ax?1f'(x)?1?2??xxx2

2令g(x)?x?ax?1,其判别式??a?4.

2当|a|?2时,??0,f'(x)?0,故f(x)在(0,??)上单调递增．

)上，f'(x)?0，故f(x)在(0,??)上?>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,??当a??2时,单调递增．

a?a2?4a?a2?4x1?,x2?a?2时,?>0,g(x)=022当的两根为，

当

0?x?x1时， f'(x)?0；当x1?x?x2时， f'(x)?0；当x?x2时， f'(x)?0，

(0,x1),(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减． 故f(x)分别在

（II）由（I）知，a?2．

f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?因为

x1?x2?a(lnx1?lnx2)x1x2，所以

k?f(x1)?f(x2)lnx?lnx21?1??a?1x1?x2x1x2x1?x2

lnx?lnx2k?2?a?1xx?1．于是x1?x2

又由(I)知，12lnx1?lnx2?1lnx1?lnx2?x1?x2．亦即 x1?x2若存在a，使得k?2?a.则．即x2?1?2lnx2?0(x2?1)(*)x2[来源: ]

1h(t)?t??2lntx?1，所以t再由（I）知，函数在(0,??)上单调递增，而2x2?11?2lnx2?1??2ln1?0.x21这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k?2?a.

98.（湖南理20）如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v(v?0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c?R)。E移动时单位时间内的淋雨量包

第 33 页 共 59 页

括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与

v?c×S成正比，

11y比例系数为10；（2）其它面的淋雨量之和，其值为2，记为E移动过程中的总淋雨量，

3当移动距离d=100，面积S=2时。

（Ⅰ）写出

y的表达式

y最少。

（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量

31|v?c|?2， 解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为20y?故

100315(|v?c|?)?(3|v?c|?10)v202v.

55(3c?10)y?(3c?3v?10)??15；vv（II）由(I)知，当0?v?c时， 55(10?3c)y?(3v?3c?10)??15.c?v?10vv当时，

?5(3c?10)?15,0?v?c??vy???5(10?3c)?15,c?v?10?v?故。

0?c?(1)当

103cymin?20?3时，y是关于v的减函数.故当v?10时，2。

y10?c?5y,10](2) 当3时，在(0,c]上，是关于v的减函数；在(cymin?50c。

上，是关于v的增函数；

故当v?c时，

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399.（湖南理22） 已知函数f(x) =x，g (x)=x+x。

（Ⅰ）求函数h (x)=f(x)-g (x)的零点个数，并说明理由；

*{a}(n?N)满足a1?a(a?0)，f(an?1)?g(an)，证明：存在常数M,使得n （Ⅱ）设数列

对于任意的n?N，都有

*an≤ M.

，且

3,?，而h(0?)h(x)?x?x?x知，x?[0?解析：（I）由

x)的一个零点，且h(x)在h(1?)??1h0?,?(2?)，则6x?02为h(0（1，2）内有零点，

因此h(x)至少有两个零点

13??1?1112h'(x)?3x?1?x2?'(x)?6x?x2?(x)?3x?1?x2242解法1：，记，则。

2当x?(0,??)时，?'(x)?0，因此?(x)在(0,??)上单调递增，则?(x)在(0,??)内至多

?(1)?0,?(只有一个零点。又因为

33)?0(,1)3，则?(x)在3内有零点，所以?(x)在

(0,??)内有且只有一个零点。记此零点为x1，则当x?(0,x1)时，?(x)??'(x1)?0；当

x?(x1,??)时，?(x)??'(x1)?0；

所以， 当当

x?(0,x1)时，h(x)单调递减，而h(0)?0，则h(x)在(0,x1]内无零点； x?(x1,??)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1,??)内至多只有一个零点；

从而h(x)在(0,??)内至多只有一个零点。综上所述，h(x)有且只有两个零点。

1?3?'(x)?2x?x2222解法2：h(x)?x(x?1?x)，记?(x)?x?1?x，则。

1?21?2当x?(0,??)时，?'(x)?0，因此?(x)在(0,??)上单调递增，则?(x)在(0,??)内至多只有一个零点。因此h(x)在(0,??)内也至多只有一个零点， 综上所述，h(x)有且只有两个零点。

x03?x0?x0xh(x)0（II）记的正零点为，即。

第 35 页 共 59 页

33a?a?a?x?x?xa?x0，a?xa?aa?x2110000时，由10.而（1）当，即1，因此2由此猜测：

an?x0。下面用数学归纳法证明：[来源: ]

①当n?1时，

a1?x0显然成立；

a?x0成立，则当n?k?1时，由

②假设当n?k(k?1)时，有kak?13?ak?ak?x0?x0?x03故对任意的n?N，（2）当

*知，

ak?1?x0，因此，当n?k?1时，ak?1?x0成立。

an?x0成立。

a?x0时，由（1）知，h(x)在(x0,??)上单调递增。则h(a)?h(x0)?0，即

33a3?a?a。从而a2?a1?a1?a?a?a，即a2?a，由此猜测：an?a。下面用

数学归纳法证明： ①当n?1时，

a1?a显然成立；

a?a成立，则当n?k?1时，由 ②假设当n?k(k?1)时，有kak?13?ak?ak?a?a?a3故对任意的n?N，综上所述，存在常数

*知，

ak?1?a，因此，当n?k?1时，ak?1?a成立。

an?a成立。

M?max{x0,a}，使得对于任意的n?N*，都有an?M.

100.（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

【解】（1）根据题意有

32DCAxEFxB第 36 页 共 59 页

S?602?4x2?(60?2x)2?240x?8x2??8(x?15)2?1800（0

所以x=15cm时包装盒侧面积S最大.

V?(2x)2（2）根据题意有

所以，V?62x(20?x),

'2(60?2x)?22x2(30?x)(0?x?30)2，

??当0?x?20,时，V?0,V递增;当20?x?30时，V<0,V递减，

所以，当x=20时，V取极大值也是最大值.

2（60－2x）12?2. 2x此时，包装盒的高与底面边长的比值为13即x=20包装盒容积V（cm）最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为2

解析：本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用，中档题.

32f(x)?x?ax,g(x)?x?bx, f?(x)和g?(x)是101.（江苏19）已知a，b是实数，函数

f(x),g(x)的导函数，若f?(x)g?(x)?0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上

单调性一致.

（1）设a?0，若函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致,求实数b的取值范围； （2）设a?0,且a?b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.

322??f(x)?x?ax,g(x)?x?bx,?f(x)?3x?a,g?(x)?2x?b. 答案：

因为函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致，所以，

?x?[?1,??),f'(x)g'(x)?0,

22?x?[?1,??),（3x+a）(2x+b)?0,?a?0,3x?a?0??x?[?1,??),2x+b?0, 即

即??x?[?1,??),b??2x,?b?2;实数b的取值范围是[2,??)

f?(x)?0,x???由

a3 ??若b?0,则由a?0,0?(a,b),f(0)g(0)?ab?0,f(x)和g(x)在区间(a,b)上不是单调

第 37 页 共 59 页

性一致, 所以b?0.

aax?(??,??),f?(x)?0;x?(??,0),f?(x)?0?x?(??,0),g?(x)?0;又33. aa111a???,b?????a?0,??b?0,|a?b|???33,333 所以要使f(x)g(x)?0,只有

111a??,b?0,f?(x)g?(x)?6x(x2?)x?(?,0)''f(x)g(x)?0,因此393取,当时,

|a?b|ma?x13

当b?a时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（b,a）上单调性一致，所以，

?x?(b,a),f'(x)g'(x)?0,

即

?x?(b,a),（3x2+a）(2x+b)?0,?b?a?0,??x?(b,a),2x?b?0，

??x?(b,a),a??3x2,

?b?a??3b2,设z?a?b，考虑点(b,a)的可行域，函数y??3x2的斜率为1的切线的切

点设为

(x0,y0)

11111?6x0?1,x0??,y0??,?zmax???(?)?6121266； 则

当a?b?0时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以，

?x?(a,b),f'(x)g'(x)?0,

即

?x?(a,b),（3x2+a）(2x+b)?0,?b?0,??x?(a,b),2x?b?0，

??x?(a,b),a??3x2,

11?a??3a2,???a?0,?(b?a)max?;33

当a?0?b时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以，

?x?(a,b),f'(x)g'(x)?0,

22?b?0,?x?(a,b),(2x+b)（3x+a）?0,（3x+a）(2x+b)=ab<0,不符合即而x=0时，

第 38 页 共 59 页

题意，

当a?0?b时，由题意：

?x?(a,0),2x（3x2+a）?0,??x?(a,0),3x2+a?0,?3a2?a?0,

11???a?0,?b?a?33

综上可知，

a?bmax?13。

解析：本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，综合考查、线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想，考查用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力.(1)中档题；（2）难题.

11f(x)??x3?x2?2ax32102.（江西理19）设.

2(,??)（1）若f(x)在3上存在单调递增区间，求a的取值范围；

16（2）当0?a?2时，f(x)在[1,4]上的最小值为3，求f(x)在该区间上的最大值.

?22(,??)(m,n)?(,??)3【解析】（1）f(x)在3上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使1212'2f(x)??x?x?2a??(x?)??2a[,??)''f(x)f(x)?024得.由，在区间3上单2221f'()?0f'()??2a?0a??3399， 调递减，则只需即可。由解得

a??所以，当

12(,??)9时，f(x)在3上存在单调递增区间.

（2）令f(x)?0，得两根

'x1?1?1?8a1?1?8a1?1?8ax1?x2?222，，.

所以f(x)在(??,x1)，(x2,??)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增 当0?a?2时，有x1?1?x2?4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)

f(4)?f(1)??又

27?6a?02，即f(4)?f(1)

第 39 页 共 59 页

所以f(x)在[1,4]上的最小值为

f(4)?8a?103.

4016??33，得a?1，x2?2，

从而f(x)在[1,4]上的最大值为103.（江西文18）

f(2)??ABC中，?B=，AB?BC?2,P为AB边上一动点，PD//BC2如图，在交AC于 点

''?PDA沿PD翻折至?PDA,使平面PDA?平面PBCD. D,现将

?（1）当棱锥A?PBCD的体积最大时，求PA的长；

''AC的中点，求证：AB?DE. （2）若点P为AB的中点，E为

'解：（1）设PA?x，则

VA?-PBCD11x2?PA?S底面PDCB?x(2?)33x

1x22xx3f(x)?x(2?)??,(x?0)3236 令 2x2f?(x)??32 则

x f?(x) f(x) (0,23)3 233 0 极大值 (23,??)3 ? 单调递增 ? 单调递减 PA?x?由上表易知：当

233时，有VA?-PBCD取最大值。

证明：作A?B得中点F，连接EF、FP，由已知得：

EF//1BC//PD?ED//FP2

?A?PB为等腰直角三角形，A?B?PF，所以A?B?DE.

104.（江西文20）设

f?x??13x?mx2?nx3.

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2f?(x)?3x?6ax?(3?6a)，f?(0)?3?6a，又f(0)?12a?4 【解析】(Ⅰ)

曲线y?f(x)在x?0的切线方程是：y?(12a?4)?(3?6a)x，在上式中令

x?2，得y?2

所以曲线y?f(x)在x?0的切线过点(2,2)；

2?（Ⅱ）由f(x)?0得x?2ax?1?2a?0，（i）当?2?1?a?2?1时，f(x)没有极

小值； (ii)当a?2?1或a??2?1时，由f?(x)?0得

x1??a?a2?2a?1,x2??a?a2?2a?1故

x0?x2。由题设知1??a?a2?2a?1?3，当a?2?1时，不等式

1??a?a2?2a?1?3无解；

5?a??2?121??a?a?2a?1?3当a??2?1时，解不等式得2

?5(?,?2?1)综合(i)(ii)得a的取值范围是2。

111.（山东理21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的

80?中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为3立方米，且

l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱

形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3).设该容器的建造费用为y千元. （Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.

804r4?r380?80?l?2???r2l?3r3,3,解得【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为3立方米，所以3804r160?8?r22?r(2?)??3r33r3,两端两个半球的表面所以圆柱的侧面积为2?rl=

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160?l2?8?r22y?4?r4?crr积之和为,所以+,定义域为(0,2).

20160?8?[(c?2)r3?20]3r???16?r''22y?yc?2; 8?crrr（Ⅱ）因为+=,所以令?0得:

令y?0得:

'0?r?32020r?3c?2,所以c?2米时, 该容器的建造费用最小.

f?(x)?1x，

112.（陕西理21）设函数f(x)定义在(0,??)上，f(1)?0，导函数

g(x)?f(x)?f?(x)．

（1）求g(x)的单调区间和最小值；

1g()（2）讨论g(x)与x的大小关系；

（3）是否存在

x0?0，使得

|g(x)?g(x0)|?1x对任意x?0成立？若存在，求出x0的取值

范围；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性（单调

区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数

的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论．

f?(x)?【解】（1）∵

即c?0，

1x，∴f(x)?lnx?c（c为常数），又∵f(1)?0，所以ln1?c?0，

∴f(x)?lnx；

g(x)?lnx?1x?1x?1g?(x)?2?02?g(x)?0x，xx∴，令，即，解得x?1，

?当x?(0,1)时，g(x)?0，g(x)是减函数，故区间在(0,1)是函数g(x)的减区间； ?当x?(1,??)时，g(x)?0，g(x)是增函数，故区间在(1,??)是函数g(x)的增区间；

所以x?1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以g(x)的最小值是g(1)?1．

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111(x?1)2g()??lnx?xh(x)?g(x)?g()?2lnx?x?h?(x)??xx，则x2， （2）x，设

1g(x)?g()01,)1(,?)??x，当x?1时，h(1)?0，即当x?(时，h(x)?0，h(1)?0，

??1g(x)?g()x；因此函数h(x)在(0,??)内单调递减，当0?x?1时，h(x)?h(1)=0，∴ 1g(x)?g()x． 当x?1时，h(x)?h(1)=0，∴

（3）满足条件的

x0不存在．证明如下： x0?0，使

|g(x)?g(x0)|?1x对任意x?0成立，

证法一 假设存在

即对任意x?0有

lnx?g(x0)?lnx?2x ①

g(x0)lnx1?g(x0)，这与①xx?e01但对上述的，取时，有左边的不等式矛盾，

因此不存在

x0?0，使

|g(x)?g(x0)|?1x对任意x?0成立．

1x对任意x?0成立，

证法二 假设存在

x0?0，使

|g(x)?g(x0)|?由（1）知，g(x)的最小值是g(1)?1，

g(x)?lnx?又

为[1,??)，

1?lnxx，而x?1时，lnx的值域为(0,??)，∴当x…1时，g(x)的值域

从而可以取一个值

x1?1，使g(x1)…g(x0)?1，即 |g(x1)?g(x0)|…1?1x?0，使x1，这与假设矛盾．∴

不存在0g(x1)?g(x0)…1,∴

1|g(x)?g(0x?)|x对任意x?0成立．

?113.（陕西文21）设f(x)?lnx，g(x)?f(x)?f(x)．

第 48 页 共 59 页

（1）求g(x)的单调区间和最小值；

1g()（2）讨论g(x)与x的大小关系；

1（3）求a的取值范围，使得g(a)?g(x)＜a对任意x＞0成立．

【分析】（1）先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x＞0成立的恒成立问题转化为函数g(x)的最小值问题．

f(x)?lnx,g(x)?lnx?【解】（1）由题设知

1x?1g?(x)?2,x，∴x令g?(x)?0得x=1，

?当x∈（0，1）时，g(x)＜0，g(x)是减函数，故（0，1）是g(x)的单调减区间。 ?当x∈（1，+∞）时，g(x)＞0，g(x)是增函数，故（1，+∞）是g(x)的单调递增区间，

因此，x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)?1.

111(x?1)2g()??lnx?xh(x)?g(x)?g()?lnx?x?h?(x)??xx，则x2， (2)x，设1g(x)?g()x，当x?(0,1)?(1,??)时，h?(x)?0， 当x?1时，h(1)?0，即

1g(x)?g().x 因此，h(x)在(0,??)内单调递减，当0?x?1时，h(x)?h(1)?0，即

（3）由（1）知g(x)的最小值为1，所以，

g(a)?g(x)?1a，对任意x?0，成立

?g(a)?1?1,a

即Ina?1,从而得0?a?e。

xxf(x)?a?2?b?3114.（上海理20） 已知函数，其中常数a,b满足a?b?0

（1）若a?b?0，判断函数f(x)的单调性；

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（2）若a?b?0，求f(x?1)?f(x)时的x的取值范围． 解：⑴ 当a?0,b?0时，任意

x1,x2?R,x1?x2，

x1x2x1x2f(x)?f(x)?a(2?2)?b(3?3) 12则

x1x2x1x2x1x2x1x22?2,a?0?a(2?2)?03?3,b?0?b(3?3)?0， ∵ ，

∴

f(x1)?f(x2)?0，

函数f(x)在R上是增函数。当a?0,b?0时，同理函数f(x)在R3a()x??02b，则时，2上是减函数。

xx,?f(x?1)?f(x)?a?2?2b?3?0，当a?0b⑵

a3xaax?lo1g?()()??x?log(?).51.52b；当a?0,b?0时，22b，则2b。

xxf(x)?a?2?b?3115.（上海文21）已知函数，其中常数a,b满足a?b?0

（1）若a?b?0，判断函数f(x)的单调性；

（2）若a?b?0，求f(x?1)?f(x)时的x的取值范围. 解：⑴ 当a?0,b?0时，任意

x1,x2?R,x1?x2，

x1x2x1x2f(x)?f(x)?a(2?2)?b(3?3) 12则

x1x2x1x2x1x2x1x22?2,a?0?a(2?2)?03?3,b?0?b(3?3)?0， ∵ ，

∴

f(x1)?f(x2)?0，函数f(x)在R上是增函数。当a?0,b?0时，同理函数f(x)在

R上是减函数。

?fx(?)a?⑵ f(x?1)x?2b?2x?3

3aa()x??x?log1.5(?)2b，则2b； 当a?0,b?0时，23aa()x??x?log1.5(?)2b，则2b。 当a?0,b?0时，221f(x)?x?32，h(x)?x． 116.（四川理22）已知函数

（Ⅰ）设函数F(x)＝f(x)－h(x)，求F(x)的单调区间与极值；

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