高考数学试题分类汇编13导数

2007年高考数学试题分类汇编13——导数

(18) (安徽理 本小题满分14分)

设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）. （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.

(20)(安徽文 本小题满分14分)

设函数f（x）=-cosx-4tsin

2

xx22

cos+4t+t-3t+4,x∈R, 22其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；

(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值. 19．（北京理 本小题共13分）

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD?2x，梯形面积为S．

（I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）求面积S的最大值． 19．（共13分）

D C 4r A 2r B 解：（I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O?xy（如图），则点C的横坐标为x．

x2y2点C的纵坐标y满足方程2?2?1(y≥0)，

r4r解得y?2r2?x2(0?x?r)

y D C S?1(2x?2r)2r2?x2 2 ?2(x?r)r2?x2，

A O B x 其定义域为x0?x?r．

（II）记f(x)?4(x?r)(r?x)，0?x?r， 则f?(x)?8(x?r)(r?2x)． 令f?(x)?0，得x?2222??1r． 2因为当0?x?rr时，f?(x)?0；当?x?r时，f?(x)?0，所以22?1? f?r?是f(x)的最大值．

?2?因此，当x?1r时，S也取得最大值，最大值为2?1?332f?r??r．

2?2?即梯形面积S的最大值为332r． 213x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 3 3 ．

9．(北京文)f?(x)是f(x)?x?0时，)g(?x)?g(x，且)11．（福建理、文）已知对任意实数x，有f(?x)??f(x，f?(x)?0，g?(x)?0，则x?0时（ B ）

A．f?(x)?0，g?(x)?0 C．f?(x)?0，g?(x)?0

B．f?(x)?0，g?(x)?0 D．f?(x)?0，g?(x)?0

22．（福建理 本小题满分14分） 已知函数f(x)?ex?kx，x?R

（Ⅰ）若k?e，试确定函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若k?0，且对于任意x?R，f(x)?0恒成立，试确定实数k的取值范围； （Ⅲ）设函数F(x)?f(x)?f(?x)，求证：F(1)F(2)F(n)?(en?1?2)(n?N?)．

n222．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．

xx解：（Ⅰ）由k?e得f(x)?e?ex，所以f?(x)?e?e．

，??)， 由f?(x)?0得x?1，故f(x)的单调递增区间是(11)． 由f?(x)?0得x?1，故f(x)的单调递减区间是(??，（Ⅱ）由f(?x)?f(x)可知f(x)是偶函数．

于是f(x)?0对任意x?R成立等价于f(x)?0对任意x≥0成立． 由f?(x)?e?k?0得x?lnk．

x

①当k?(0，1]时，f?(x)?ex?k?1?k≥0(x?0)．

??)上单调递增． 此时f(x)在[0，故f(x)≥f(0)?1?0，符合题意．

，??)时，lnk?0． ②当k?(1当x变化时f?(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (0，lnk) lnk 0 极小值 (lnk，??) ? 单调递减 ? 单调递增 ??)上，f(x)≥f(lnk)?k?klnk． 由此可得，在[0，?1?k?e． 依题意，k?klnk?0，又k?1，综合①，②得，实数k的取值范围是0?k?e．

（Ⅲ）

F(x)?f(x)?f(?x)?ex?e?x，

?F(x1)F(x2)?ex1?x2?e?(x1?x2)?ex1?x2?e?x1?x2?ex1?x2?e?(x1?x2)?2?ex1?x2?2， ?F(1)F(n)?en?1?2，

F(2)F(n?1)?en?1?2

F(n)F(1)?en?1?2.由此得，[F(1)F(2)故F(1)F(2)F(n)]2?[F(1)F(n)][F(2)F(n?1)][F(n)F(1)]?(en?1?2)n

n?1F(n)?(e2?2)，n?N?．

n220．（福建文 本小题满分12分）

设函数f(x)?tx?2tx?t?1(x?R，t?0)． （Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；

22)恒成立，求实数m的取值范围． （Ⅱ）若h(t)??2t?m对t?(0，20．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．

解：（Ⅰ）

f(x)?t(x?t)2?t3?t?1(x?R，t?0)，

?当x??t时，f(x)取最小值f(?t)??t3?t?1，

即h(t)??t3?t?1．

（Ⅱ）令g(t)?h(t)?(?2t?m)??t3?3t?1?m， 由g?(t)??3t2?3?0得t?1，t??1（不合题意，舍去）． 当t变化时g?(t)，g(t)的变化情况如下表：

t g?(t) g(t) (0，1) 1 (1，2) ? 递增 0 极大值1?m ? 递减 ?g(t)在(0，2)内有最大值g(1)?1?m．

h(t)??2t?m在(0，2)内恒成立等价于g(t)?0在(0，2)内恒成立，

即等价于1?m?0，

所以m的取值范围为m?1．

20．(广东理、文 本小题满分14分)

已知a是实数，函数f(x)?2ax2?2x?3?a．如果函数y?f(x)在区间[?1,1]上有 零点，求a的取值范围．

20解: 若a?0 , f(x)?2x?3 ,显然在上没有零点, 所以 a?0 令 ??4?8a?3?a??8a?24a?4?0 得 a?2?3?7 2 当 a??3?7时, y?f?x?恰有一个零点在??1,1?上; 2 当 f??1?f?1???a?1??a?5??0 即 1?a?5 时, y?f?x?也恰有一个零点

在??1,1?上;

当 y?f?x?在??1,1?上有两个零点时, 则

??a?0?a?0???8a2?24a?4?0???8a2?24a?4?0 ???1??1??1 或??1??1?1?2a?2a

??f?1??0???f??1??0?f?1??0?f??1??0解得a?5或a??3?52 因此a的取值范围是 a?1 或 a??3?52 ;

12．（广东文）函数f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是 ． 12. ??1??e,????

110．（海南理）曲线y?e2x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（Ａ．

92

Ｂ．4e2

Ｃ．2e22e

Ｄ．e2

21．（海南理 本小题满分12分） 设函数f(x)?ln(x?a)?x2

（I）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne2． 21．解： （Ⅰ）f?(x)?1x?a?2x， 依题意有f?(?1)?0，故a?32． 从而f?(x)?2x2?3x?1?(2x?1)(x?1)x?33． 2x?2f(x)的定义域为????32，?∞??3?，当?2?x??1时，f?(x)?0；

）

当?1?x??当x??1时，f?(x)?0； 21时，f?(x)?0． 2从而，f(x)分别在区间??，?1?，?∞?单调增加，在区间??1，???，?3?2??1??2????1??单调减少． 2?2x2?2ax?1（Ⅱ）f(x)的定义域为(?a，． ?∞)，f?(x)?x?a方程2x?2ax?1?0的判别式??4a?8． （ⅰ）若??0，即?2?a?222，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)的极值．

（ⅱ）若??0，则a?2或a??2．

(2x?1)2若a?2，x?(?2． ，∞?)，f?(x)?x?2??2??22?x??2，??，?∞当x??时，f(x)?0，当时，f?(x)?0，所以f(x)无????????2??22??极值．

(2x?1)2若a??2，x?(2?0，f(x)也无极值． ，∞?)，f?(x)?x?2（ⅲ）若??0，即a?2或a??2，则2x2?2ax?1?0有两个不同的实根

?a?a2?2?a?a2?2，x2?． x1?22当a??2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)有f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值． 当a?2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方

法知f(x)在x?x1，x?x2取得极值．

综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，∞?)．

f(x)的极值之和为

1ef(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x12?ln(x2?a)?x22?ln?a2?1?1?ln2?ln．

2210．（海南文）曲线y?ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

92Ａ．e

4

Ｂ．2e

2Ｃ．e

2e2Ｄ．

219．（海南文 本小题满分12分） 设函数f(x)?ln(2x?3)?x2 （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）求f(x)在区间??，?的最大值和最小值．

4419．解：f(x)的定义域为??，?∞?．

?31????3?2??24x2?6x?22(2x?1)(x?1)?2x??（Ⅰ）f?(x)?． 2x?32x?32x?3当?311?x??1时，f?(x)?0；当?1?x??时，f?(x)?0；当x??时，f?(x)?0． 222从而，f(x)分别在区间??，?1?，??，?∞?单调增加，在区间??1，??3?2???1?2????1??单调减少． 2?（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在区间??，?的最小值为f????ln2?．

4424又f????f???ln?31????1???1?3??4??1??4?3971311?49???ln??ln???1?ln??0． 216216722?6??1?17所以f(x)在区间??，?的最大值为f????ln． 444162????20．（湖北理 本小题满分13分） 已知定义在正实数集上的函数f(x)??31?12x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，其中a?0．设两曲线2y?f(x)，y?g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．

（I）用a表示b，并求b的最大值； （II）求证：f(x)≥g(x)（x?0）．

20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0，y0)处的切线相同．

3a2，由题意f(x0)?g(x0)，f?(x0)?g?(x0)． ∵f?(x)?x?2a，g?(x)?x?122x?2ax?3alnx0?b，00?3a2?2即?由x0?2a?得：x0?a，或x0??3a（舍去）． 23ax0?x0?2a?，?x0?125a?2a2?3a2lna?a2?3a2lna． 22522令h(t)?t?3tlnt(t?0)，则h?(t)?2t(1?3lnt)．于是

2即有b?当t(1?3lnt)?0，即0?t?e时，h?(t)?0； 当t(1?3lnt)?0，即t?e时，h?(t)?0．

1???1?3故h(t)在?0，e?为增函数，在?e3，?∞?为减函数，

????1313?1?323?∞)的最大值为h?e??e3． 于是h(t)在(0，??2（Ⅱ）设F(x)?f(x)?g(x)?12x?2ax?3a2lnx?b(x?0)， 23a2(x?a)(x?3a)?(x?0)． 则F?(x)?x?2a?xx?∞)为增函数， 故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，?∞)上的最小值是F(a)?F(x0)?f(x0)?g(x0)?0． 于是函数F(x)在(0，故当x?0时，有f(x)?g(x)≥0，即当x?0时，f(x)≥g(x)．

，f(1))处的切线方程是y?13．（湖北文）已知函数y?f(x)的图象在点M(1f(1)?f?(1)?＿＿＿＿．

19．（湖北文 本小题满分12分）

1x?2，则22设二次函数f(x)?x?ax?a，方程f(x)?x?0的两根x1和x2满足0?x1?x2?1．

（I）求实数a的取值范围； （II）试比较f(0)f(1)?f(0)与

1的大小．并说明理由． 1619．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力． 解法1：（Ⅰ）令g(x)?f(x)?x?x2?(a?1)x?a，

????0，则由题意可得??1?a?0??1，???a?0，??1?a?1，?0?a?3?22． ?2?g(1)?0，??a?3?22，或a?3?22，??g(0)?0，故所求实数a的取值范围是(0，3?22)．

（II）f(0)f(1)?f(0)?g(0)g(1)?2a2，令h(a)?2a2．

当

a?0时，

h(a)单调增加，

?当0?a?3?220?h(a?)h(?32?22?)2(?3 2?2)2(17?2117?122?116，即f(0)f(1)?f(0)?116．

解法2：（I）同解法1． （II）

f(0)f(1)?f(0)?g(0)g(1)?2a2，由（I）知0?a?3?22，

∴42a?1?122?17?0．又42a?1?0，于是 2a2?116?116(32a2?1)?116(42a?1)(42a?1)?0， 即2a2?116?0，故f(0)f(1)?f(0)?116． 解法3：（I）方程f(x)?x?0?x2?(a?1)x?a?0，由韦达定理得

????0，x?x?0，xxx??121?2?1?a，x1x2?a，于是0?1?x2?1??x1x2?0， ??(1?x1)?(1?x2)?0，??(1?x1)(1?x2)?0???a?0，?a?1，?0?a?3?22． ??a?3?22或a?3?22故所求实数a的取值范围是(0，3?22)．

时，

122)（II）依题意可设g(x)?(x?x1)(x?x2)，则由0?x1?x2?1，得

f(0)f(1)?f(0)?g(0)g(1)?x1x2(1?x1)(1?x2)?[x1(1?x1)][x2(1?x2)]

11?x?1?x1??x2?1?x2?f(0)f(1)?f(0)?，故． ??1????1622????16

13．（湖南理）函数f(x)?12x?x3在区间[?3，3]上的最小值是 ．

19．（湖南理 本小题满分12分）

如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面?所成的二面角为?（0???90），且sin??222，点P到平面?的距离5PH?0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元

a/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为lkm（1≤l≤2）时，其造价为

2(l2?1)a万元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB?1.5(km)，OA?3(km)．

（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；

（II） 对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小． （III）在AB上是否存在两个不同的点D?，E?，使沿折线PD?E?O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．

A

Ｏ

E

D

B

19．解：（I）如图，PH⊥?，HB??，PB⊥AB， 由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB，所以?PBH是 山坡与?所成二面角的平面角，则?PBH??，

P

H

PHPB??1．

sin?设BD?x(km)，0≤x≤1.5．则

A O ? ED P H

B

2]． PD?x2?PB2?x2?1?[1，

记总造价为f1(x)万元， 据题设有f1(x)?(PD?1?221111AD?AO)a?(x2?x??3)a 2241???43???x??a???3?a

4???16?11，即BD?(km)时，总造价f1(x)最小． 445（II）设AE?y(km)，0≤y≤，总造价为f2(y)万元，根据题设有

4当x?y?43?1?31???f2(y)??PD2?1?y2?3????y??a??y2?3??a?a．

2?162?24?????y1??则f2?y?????a，由f2?(y)?0，得y?1．

?y2?32???1)时，f2?(y)?0，f2(y)在(0，当y?(0，1)内是减函数；

当y??1，?时，f2?(y)?0，f2(y)在?1，?内是增函数． 故当y?1，即AE?1（km）时总造价f2(y)最小，且最小总造价为

?5??4??5??4?67a万元． 16（III）解法一：不存在这样的点D?，E?． 事实上，在AB上任取不同的两点D?，E?．为使总造价最小，E显然不能位于D? 与B之间．故可设E?位于D?与A之间，且BD?=x1(km)，AE??y1(km)，0≤x1?y2≤元，则S??x1?3，总造价为S万2??2x1x1y11?2、（II）讨论知，x1?1≥?，?y12?3?1??a．类似于（I）

216224?y131≥，当且仅当x1?，y1?1同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时224167BD??(km)，AE?1(km)，S取得最小值a，点D?，E?分别与点D，E重合，所以不存

416在这样的点 D?，E?，使沿折线PD?E?O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价． y12?3?解法二：同解法一得

xy11??S??x12?1?y12?3?1??a

224??1?1???x1??a??3?4?4??2?y12?3?y1???43y12?3?y1?a?a

??16?143≥?23(y12?3?y1)(y12?3?y1)?a?a 41667?a． 161122当且仅当x1?且3(y1?3?y1)(y1?3?y1)，即x1?，y1?1同时成立时，S取得最小值

4467a，以上同解法一． 1621．（湖南文 本小题满分13分） 已知函数f(x)?21312x?ax?bx在区间[?11)，，(1，3]内各有一个极值点． 32（I）求a?4b的最大值；

，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数（II）当a?4b?8时，设函数y?f(x)在点A(1y?f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y?f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一

侧），求函数f(x)的表达式． 21．解：（I）因为函数f(x)?21312x?ax?bx在区间[?11)，，(1，3]内分别有一个极值点，所以32，，(1，3]内分别有一个实根， f?(x)?x2?ax?b?0在[?11)设两实根为x1，x2（x1?x2），则x2?x1?a2?4b，且0?x2?x1≤4．于是

且当x1??1即a??2，b??3时等号成立．故，x2?3，0?a2?4b≤4，0?a2?4b≤16，

a2?4b的最大值是16．

，f(1))处的切线l的方程是 （II）解法一：由f?(1)?1?a?b知f(x)在点(121y?f(1)?f?(1)(x?1)，即y?(1?a?b)x??a，

32，f(x))处空过y?f(x)的图象， 因为切线l在点A(1所以g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?21?a]在x?1两边附近的函数值异号，则 32x?1不是g(x)的极值点．

而g(x)?131221x?ax?bx?(1?a?b)x??a，且 3232g?(x)?x2?ax?b?(1?a?b)?x2?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)．

若1??1?a，则x?1和x??1?a都是g(x)的极值点．

2所以1??1?a，即a??2，又由a?4b?8，得b??1，故f(x)?13x?x2?x． 3解法二：同解法一得g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?21?a] 3213a3?(x?1)[x2?(1?)x?(2?a)]． 322，f(1))处穿过y?f(x)的图象，所以g(x)在x?1两边附近的函数值异号，因为切线l在点A(1于是存在m1，m2（m1?1?m2）．

当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0； 或当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0． 设h(x)?x??1?2??3a??3a?x?2????，则 2??2?当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0； 或当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0． 由h(1)?0知x?1是h(x)的一个极值点，则h(1)?2?1?1?2所以a??2，又由a?4b?8，得b??1，故f(x)?3a?0， 213x?x2?x． 329．（江苏）已知二次函数f(x)?ax?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数x都有

f(x)?0，则

f(1)的最小值为 f'(0)53 C．2 D． 22313．（江苏）已知函数f(x)?x?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则M?m? ▲ . A．3 B．

29．（江西理）已知二次函数f(x)?ax?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数x都

有f(x)?0，则

f(1)的最小值为 f'(0)53 C．2 D． 22A．3 B．

13．（江西理）已知函数f(x)?x3?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则M?m? ▲ .

8．（江西文）若0?x?Ａ．sinx?2x ππ，则下列命题正确的是（ ） 223Ｂ．sinx?x Ｃ．sinx?x

ππＤ．sinx?3x π12．（辽宁理）已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果f(x)与g(x)仅当x?0时的函数值为0，且f(x)≥g(x)，那么下列情形不可能出现的是（ ） ．．．A．0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值 B．0是f(x)的极小值，也是g(x)的极小值 C．0是f(x)的极大值，但不是g(x)的极值 D．0是f(x)的极小值，但不是g(x)的极值 22．（辽宁理 本小题满分12分）

已知函数f(x)?x2t?2t(x2?x)?x2?2t2?1，g(x)?（I）证明：当t?22时，g(x)在R上是增函数；

（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数 k，当t?k时，g(x)在闭区间[a，b]上是减函数；

（III）证明：f(x)≥1f(x)． 23． 222．（辽宁文 本小题满分12分）

已知函数f(x)?x3?9x2cos??48xcos??18sin2?，g(x)?f?(x)，且对任意的实数t均有

g(1?cost)≥0，g(3?sint)≤0．

（I）求函数f(x)的解析式；

6]，恒有f(x)≥x?mx?11，求x的取值范围． （II）若对任意的m?[?26，（20）（全国一 理 本小题满分12分） 设函数f(x)?e?e．

（Ⅰ）证明：f(x)的导数f?(x)≥2；

x?x2（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围． （20）解：

（Ⅰ）f(x)的导数f?(x)?ex?e?x． 由于ex?e-x≥2exe?x?2，故f?(x)≥2． （当且仅当x?0时，等号成立）． （Ⅱ）令g(x)?f(x)?ax，则

g?(x)?f?(x)?a?ex?e?x?a，

（ⅰ）若a≤2，当x?0时，g?(x)?ex?e?x?a?2?a≥0，

故g(x)在(0，∞?)上为增函数， 所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．

（ⅱ）若a?2，方程g?(x)?0的正根为xa?a2?41?ln2，

此时，若x?(0，x1)，则g?(x)?0，故g(x)在该区间为减函数．

所以，x?(0，x1)时，g(x)?g(0)?0，即f(x)?ax，与题设f(x)≥ax相矛盾． 综上，满足条件的a的取值范围是??∞，2?． （11）（全国一文）曲线y?133x?x在点???1，4?3??处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（Ａ．

1Ｂ．

2129 9 Ｃ．

3 Ｄ．

3 （20）（全国一文 本小题满分12分）

设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c2成立，求c的取值范围． 20．解：

（Ⅰ）f?(x)?6x2?6ax?3b，

因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0．

）

即??6?6a?3b?0，

?24?12a?3b?0．解得a??3，b?4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x3?9x2?12x?8c，

f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)．

1)时，f?(x)?0； 当x?(0，，2)时，f?(x)?0； 当x?(13)时，f?(x)?0． 当x?(2，所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c． 则当x??0，3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c． 因为对于任意的x??0，3?，有f(x)?c2恒成立， 所以 9?8c?c， 解得 c??1或c?9，

2?1)因此c的取值范围为(??，(9，??)．

22．（全国二理 本小题满分12分） 已知函数f(x)?x?x．

（1）求曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；

（2）设a?0，如果过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，证明：?a?b?f(a)．

222．解：（1）求函数f(x)的导数；f?(x)?3x?1．

3

曲线y?f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为： 即

y?f(t)?f?(t)(x?t)，

y?(3t2?1)x?2t3．

（2）如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使

b?(3t2?1)a?2t3．

于是，若过点(a，b)可作曲线y?f(x)的三条切线，则方程

2t3?3at2?a?b?0

有三个相异的实数根． 记 g(t)?2t3?3at2?a?b， 则 g?(t)?6t2?6at

?6t(t?a)．

当t变化时，g(t)，g?(t)变化情况如下表：

t g?(t) g(t) (??，0) 0 0 极大值a?b (0，a) a 0 极小值b?f(a) (a，??) ? ? ? 由g(t)的单调性，当极大值a?b?0或极小值b?f(a)?0时，方程g(t)?0最多有一个实数根；

当a?b?0时，解方程g(t)?0得t?0，t?3a，即方程g(t)?0只有两个相异的实数根； 2当b?f(a)?0时，解方程g(t)?0得t??，t?a，即方程g(t)?0只有两个相异的实数根．

综上，如果过(a，b)可作曲线y?f(x)三条切线，即g(t)?0有三个相异的实数根，则

a2?a?b?0， ?b?f(a)?0.?即 ?a?b?f(a)．

1x28．（全国二文）已知曲线y?的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）

24A．1 B．2 C．3

22．（全国二文 本小题满分12分） 已知函数f(x)?

D．4

13ax?bx2?(2?b)x?1 3在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，且0?x1?1?x2?2．

（1）证明a?0；

（2）若z=a+2b,求z的取值范围。

22．解：求函数f(x)的导数f?(x)?ax2?2bx?2?b．

（Ⅰ）由函数f(x)在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，知x1，x2是f?(x)?0的两个根．

所以f?(x)?a(x?x1)(x?x2)

当x?x1时，f(x)为增函数，f?(x)?0，由x?x1?0，x?x2?0得a?0．

?f?(0)?0?2?b?0??（Ⅱ）在题设下，0?x1?1?x2?2等价于?f?(1)?0 即?a?2b?2?b?0．

?f?(2)?0?4a?4b?2?b?0???2?b?0?化简得?a?3b?2?0．

?4a?5b?2?0?4a?5b?2?0． 此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2?b?0，a?3b?2?0，所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A?，?，B(2，，2)C(4，2)．

?46??77?b

z在这三点的值依次为

所以z的取值范围为?16，6，8． 7?16?，8?． 7??2 1 O

B(2，2)

C(4，2)

?46?A?，? ?77?

（22）（山东理 本小题满分14分）

设函数f(x)?x?bln(x?1)，其中b?0． （Ⅰ）当b?22 4

a

1时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； 2（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln?21．（山东文 本小题满分12分）

?1?11?1??2?3都成立． n??nn

设函数f(x)?ax2?blnx，其中ab?0．

证明：当ab?0时，函数f(x)没有极值点；当ab?0时，函数f(x)有且只有一个极值点，

并求出极值．

20.(陕西理 本小题满分12分)

c2,其中a为实数. 设函数f(x)=2x?ax?a(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;

(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间. 20．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为R，?x?ax?a?0恒成立，???a?4a?0，

22?0?a?4，即当0?a?4时f(x)的定义域为R．

x(x?a?2)ex（Ⅱ）f?(x)?2，令f?(x)≤0，得x(x?a?2)≤0． 2(x?ax?a)由f?(x)?0，得x?0或x?2?a，又

0?a?4，

?0?a?2时，由f?(x)?0得0?x?2?a；

当a?2时，f?(x)≥0；当2?a?4时，由f?(x)?0得2?a?x?0，

2?a)； 即当0?a?2时，f(x)的单调减区间为(0，0)． 当2?a?4时，f(x)的单调减区间为(2?a，21. (陕西文 本小题满分12分)

32已知f(x)?ax?bx?cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(??,0),(1,??)上是减函数,又

13f?()?. 22(Ⅰ)求f(x)的解析式;

(Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围. 21．（本小题满分12分）

2解：（Ⅰ）f?(x)?3ax?2bx?c，由已知f?(0)?f?(1)?0，

?c?0，?c?0，?即?解得?3 ?3a?2b?c?0，?b??a．?2?1?3a3a3?f?(x)?3ax2?3ax，?f??????，?a??2，?f(x)??2x3?3x2．

?2?422（Ⅱ）令f(x)≤x，即?2x?3x?x≤0，

32?x(2x?1)(x?1)≥0，?0≤x≤1或x≥1． 2又f(x)≤x在区间?0，m?上恒成立，?0?m≤

19、已知函数f?x??x?21． 2a(x?0,a?R) x（1）判断f?x?的奇偶性

（2）若f?x?在?2,???是增函数，求实数a的范围

1. a=0时候是偶函数 a不为0时候为非奇非偶函数 2. a 《 16

(22)(四川理 本小题满分14分)

?1?设函数f(x)??1??(n?N,且n?1,x?N).

?n??1?(Ⅰ)当x=6时,求?1??的展开式中二项式系数最大的项;

?n?(Ⅱ)对任意的实数x,证明

nnf(2x)?f(2)＞f?(x)(f?(x)是f(x)的导函数);

2(Ⅲ)是否存在a?N,使得an＜

?1??1??＜(a?1)n恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的?k?k?1?n值;若不存在,请说明理由.

（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。

2035?1?（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是C61???3

?n?n3

?1??1?（Ⅱ）证法一：因f?2x??f?2???1????1??

?n??n??1??1??1??2?1????1???2?1???n??n??n?nn2n22n2n?1??1???1???2?1?? ?n??n?n?1??1??1??1??2?1??ln?1???2?1??ln?1???2f'?x?

?n??2??n??n??1??1??1??1??1?证法二：因f?2x??f?2???1????1???2?1????1???2?1???n??n??n??n??n?2n22n2n?1???1?? ?n??1??1?而2f?x??2?1??ln?1??

?n??n?'n故只需对?1???1??1?和ln??1??进行比较。 n??n?'令g?x??x?lnx?x?1?，有g?x??1?由

1x?1? xxx?1?0，得x?1 x''因为当0?x?1时，g?x??0，g?x?单调递减；当1?x???时，g?x??0，g?x?单调递

增，所以在x?1处g?x?有极小值1 故当x?1时，g?x??g?1??1，

从而有x?lnx?1，亦即x?lnx?1?lnx 故有?1???1??1??ln??1??恒成立。 n??n?'所以f?2x??f?2??2f?x?，原不等式成立。

2k?1??Cm????m?km?1??Cm?? ?m?m（Ⅲ）对m?N，且m?1

?1?01?1?2?1?有?1???Cm?Cm??Cm?????mmm??????m?m?1??1??1?1?????2!?m?2m?m?m?1?k!?m?k?1??1?k????m??m?m?1??m!2?1?1??? ?m?m?2?1?1??1???2!?m??1?1??2?1?1?????k!?m??m??k?1??1???m??1?1?1???m!?m??m?1??1??

m???2?11??2!3!?1?k!?1 m!?2?11??2?13?2?1?k?k?1??1

m?m?1?1??1???? ?m?1m??1??11??2??1????????2??23??3?1?3 mk1??1??????k?1k?k?1?又因Cm???0?k?2,3,4,?m?m?1?,m?，故2??1???3

?m?kmn?1??1?∵2??1???3，从而有2n???1???3n成立，

k??m?k?1??1?即存在a?2，使得2n???1???3n恒成立。

k?k?1?20、（四川文 本小题满分12分）设函数f(x)?ax3?bx?c(a?0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x?6y?7?0垂直，导函数f'(x)的最小值为?12． （Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[?1,3]上的最大值和最小值．

解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能

力和运算能力．

（Ⅰ）∵f(x)为奇函数，

∴f(?x)??f(x)

即?ax?bx?c??ax?bx?c ∴c?0

∵f'(x)?3ax?b的最小值为?12 ∴b??12

又直线x?6y?7?0的斜率为因此，f'(1)?3a?b??6 ∴a?2，b??12，c?0．

233nk1 6（Ⅱ）f(x)?2x3?12x． f'(x?)26x?1?2x6?(?2 0 极大 x2?，列表如下：)(2) (?2,2) ? x f'(x) f(x) (??,?2) 2 0 极小 (2,??) ? ? 所以函数f(x)的单调增区间是(??,?2)和(2,??)

∵f(?1)?10，f(2)??82，f(3)?18

∴f(x)在[?1,3]上的最大值是f(3)?18，最小值是f(2)??82． 20．（天津理 本小题满分12分）

2ax?a2?1(x?R)，其中a?R． 已知函数f(x)?2x?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f(x)的单调区间与极值．

20．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?2x4f(2)?，， 2x?1562(x2?1)?2x·2x2?2x2?f(2)??又f?(x)?，． ?25(x2?1)2(x2?1)2所以，曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y?即6x?2y?32?0．

46??(x?2)， 5252a(x2?1)?2x(2ax?a2?1)?2(x?a)(ax?1)（Ⅱ）解：f?(x)?． ?(x2?1)2(x2?1)2由于a?0，以下分两种情况讨论． （1）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1??1，x2?a．当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情a况如下表：

x f?(x) f(x) 1???∞，??? a??? 1 a0 极小值 ?1??，a?? ?a?a 0 极大值 (a，?∞) ? ? ? 所以f(x)在区间??∞，???1??1?，内为减函数，在区间(a，?∞)?，a???内为增函数． a?a???1?f?????a2， ?a?函数f(x)在x1??函数f(x)在x2?1?1?处取得极小值f???，且a?a?1处取得极大值f(a)，且f(a)?1． a1（2）当a?0时，令f?(x)?0，得到x1?a，x2??，当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况

a如下表：

x f?(x) f(x) ??∞，a? ? a 0 极大值 1??a，??? a???1 a?1??，+∞?? ?a?? 0 极小值 ? 所以f(x)在区间(?∞，a)，??，+∞?内为增函数，在区间?a，?函数f(x)在x1?a处取得极大值f(a)，且f(a)?1． 函数f(x)在x2???1?a????1??内为减函数． a?1处取得极小值a?1?f???，且?a??1?f?????a2． ?a?（21）（天津文 本小题满分14分）

设函数f(x)??x(x?a)（x?R），其中a?R．

（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f(x)的极大值和极小值；

（Ⅲ）当a?3时，证明存在k???10，?，使得不等式f(k?cosx)≥f(k2?cos2x)对任意的

2x?R恒成立．

（21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分． （Ⅰ）解：当a?1时，f(x)??x(x?1)2??x3?2x2?x，得f(2)??2，且

f?(x)??3x2?4x?1，f?(2)??5．

所以，曲线y??x(x?1)2在点(2，?2)处的切线方程是y?2??5(x?2)，整理得

5x?y?8?0．

（Ⅱ）解：f(x)??x(x?a)2??x3?2ax2?a2x

f?(x)??3x2?4ax?a2??(3x?a)(x?a)．

令f?(x)?0，解得x?a或x?a． 3由于a?0，以下分两种情况讨论．

（1）若a?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：

x a???∞，?? 3??a 30 ?a?，a?? 3??a (a，∞?) f?(x) ? ? 0 ? 因此，函数f(x)在x?a处取得极小值3?a?f??，且 ?3?4?a?f????a3；

27?3?函数f(x)在x?a处取得极大值f(a)，且

f(a)?0．

（2）若a?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：

x ??∞，a? a ?a??a，? ?3?a 3?a?，∞??? ?3?

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