2012年高考数学试题分类汇编

2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何

一、选择题

1 ．（2012年高考（新课标理））已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC

?是边长为1的正三角形,

SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为

（ ） A

．6 B

．6 C

．3 D

2

2 ．（2012年高考（新课标理））如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为

A ．6

B ．9

C ．12

D ．18

3 ．（2012年高考（浙江理））已知矩形ABCD ,AB =1,BC 将

?ABD 沿矩形

的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中,

A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直

B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直

C ．存在某个位置,使得直线A

D 与直线BC 垂直

D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 4 ．（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为和a ,且长为a 的

的棱异面,则a 的取值范围是

（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

5 ．（2012年高考（四川理））如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作平面α成45

角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足

60BOP ∠= ,则A 、P 两点间的球面距离为

（ ） A ．arccos 4R B ．4R π C ．R D ．3

R π 6 ．（2012年高考（四川理））下列命题正确的是

（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

7 ．（2012年高考（上海春））已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,

则 [答] （ ）

A ．m 与n 异面.

B ．m 与n 相交.

C ．m 与n 平行.

D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 8 ．（2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱

111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值

为 （ ）

A

．5 B

．3 C

．5 D ．3

5

9 ．（2012年高考（江西理））如图,已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为1,点E 是侧棱SC

上一动点,过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0

10．（2012年高考（湖南理））某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯

视图不可能是

11．（2012年高考（湖北理））我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺

数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d

的一个近似公式d . 人们还用过一些类似的近似公式.

根据π =3.14159 判断,下列近似公式中最精确的一个是 （ ）

A

．d ≈B

．d C

．d ≈D ．

(一)必考题(11—14题)

12．（2012年高考（湖北理））已知某几何体的三视图如图所示,何体的体积为 A 图1 B C D 侧视图 正视

图 俯视图

A ．8π3

B ．3π

C ．

10π

3

D ．6π

13．（2012年高考（广东理））(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的

体积为 （ ）

A ．12π

B ．45π

C ．57π

D ．81π

14．（2012年高考（福建理））一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,

那么这个几何体不可以是 （ ）

A ．球

B ．三棱柱

C ．正方形

D ．圆柱

15．（2012年高考（大纲理））已知正四棱柱1111

ABCD A B C D -中

,12,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为 （ ） A ．2

B

C

D ．1

16．（2012年高考（北京理））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 （ ）

A

．28+ B

．30+ C

．56+D

．60+

17．（2012年高考（安徽理））设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b

在平面β内,且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的 （ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．即不充分

不必要条件

二、填空题

18．（2012年高考（天津理））―个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几

何体的体积为______3

m .

19．（2012年高考（浙江理））已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如

图所示,则该三棱锥的体积等于___________cm 3

.

20．（ 2012年高考（四川理））如图,在正方体1111

ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________.

21．（2012年高考（上海理））如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相

垂直的棱,BC=2。若AD=2c ,且AB+BD=AC+CD=2a ,其中a 、c 为常数,则四面体ABCD 的体积的最大值是 _________ .

22．（2012年高考（上海理））若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π

圆面,则该圆锥的体积为_________ .

N

1

23．（2012年高考（山东理））如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别为线

段11,AA B C 上的点,则三棱锥1D EDF -的体积为____________.

24．（2012年高考（辽宁理））已知正三棱锥P -ABC ,点

P ,A ,B ,C

,若PA ,PB ,PC 两两

互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为________.

25．（2012年高考（辽宁理））一个几何体的三视图如图

所示,则该几何体的表面积为

______________.

26．（2012年高考（江苏））如图,在长方体1111

ABCD A B C D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =,则四棱锥11A BB D D -的体积为____cm 3

.

27．（2012年高考（大纲理））三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都

相等,1160BAA CAA ∠=∠=?,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________.

28．（2012年高考（安徽理））某几何体的三视图如图所示,该

几何体的表面积是_____.

三、解答题

29．（2012年高考（天津理））如图,在四棱锥P ABCD -中,PA

丄平面

A B C ,AC

丄

AD

,

AB

丄

BC ,0=45ABC ∠,==2PA AD ,=1AC .

(Ⅰ)证明PC 丄AD ;

(Ⅱ)求二面角A PC D --的正弦值;

(Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为0

30

,求AE 的长.

D

A

B

C

1C

1D 1A

1B

D

C

B

A

P

30．（2012年高考（新课标理））如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112

AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1

(1)证明:BC DC ⊥1

(2)求二面角11C BD A --的大小.

31．（2012年高考（浙江理））如图,在四棱锥P —ABCD

中,

底面是边长为的菱形,且∠BAD =120°,且PA ⊥平面ABCD ,PA

=M ,N 分别为PB ,PD 的中点.

(Ⅰ)证明:MN ∥平面ABCD ;

(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ,垂足为点Q ,求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值.

32．（2012年高考（重庆理））(本小题满分12分(Ⅰ)小问4分(Ⅱ)小问8分)

如图,在直三棱柱111C B A ABC - 中,AB=4,AC=BC=3,D 为AB 的中点 (Ⅰ)求点C 到平面11A ABB 的距离;

(Ⅱ)若11AB AC ⊥,求二面角 11A CD C --的平面角的余弦值.

33．（2012年高考（四川理））如图,在三棱锥P A B C

-

中,90APB ∠= ,60PAB ∠= ,AB BC CA ==,平面PAB ⊥平面ABC . (Ⅰ)求直线PC 与平面ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角B AP C --的大小.

34．（2012年高考（上海理））如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,E

是PC 的中点.已知AB=2,

AD=22,PA=2.求: (1)三角形PCD 的面积; (2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.

35．（2012年高考（上海春））如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1,高为2,M

为线段AB 的中点.求: (1)三棱锥1C MBC -的体积;

(2)异面直线CD 与1MC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)

36．（2012年高考（陕西理））(1)如图,证明命题“a 是平面π

内的一条直线,b 是π外的

一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若a b ⊥,则a c ⊥”为真. (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假 (不需要证明)

A B D P E

A B C D

A 1

B 1

C 1

D 1

M

37．（2012年高考（山东理））在如图所示的几何体中,四

边形A B 是等

腰梯形,AB ∥CD ,60,DAB FC ∠=⊥ 平面

,,ABCD AE BD CB CD CF ⊥==.

(Ⅰ)求证:BD ⊥平面AED ;

(Ⅱ)求二面角F BD C --的余弦值.

38．（2012年高考（辽宁理）） 如图,直三棱柱

///ABC A B C -,90BAC ∠= ,

/,AB AC AA λ==点M ,N 分别为/A B 和//B C 的中点. (Ⅰ)证明:MN ∥平面//A ACC ;

(Ⅱ)若二面角/A MN C --为直二面角,求λ的值.

39．（2012年高考（江西理））在三棱柱111ABC A B C -中,

已知14AB AC AA BC ====,

在1A 在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O 。

(1)证明在侧棱1AA 上存在一点E ,使得OE ⊥平面11BB C C ,并求出AE 的长;

(2)求平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的余弦值。

40．（2012年高考（江苏））如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC =,D E ，

分别是棱1BC CC ，上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥，为11B C 的中点.

求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ;

(2)直线1//A F 平面ADE .

41．（2012年高考（湖南理）） 如图5,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面

ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是CD 的中点.

(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;

(Ⅱ)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥P-ABCD 的体积.

42．（2012年高考（湖北理））如图1,45ACB ∠= ,3BC =,

过动点A 作AD BC ⊥,垂足D 在线段BC 上且异于点B ,

连接AB ,沿AD 将△ABD 折起,使90BDC ∠= (如图2所

示).

(Ⅰ)当BD 的长为多少时,三棱锥A BCD -的体积最大;

(Ⅱ)当三棱锥A BCD -的体积最大时,设点E ,M 分别为棱BC ,AC 的中点,试在 棱CD 上确定一点N ,使得EN ⊥BM ,并求EN 与平面BMN 所成角的大小.

A B C D P

E 图5 D A B C A C D B 图2 图1 M E . ·

43．（2012年高考（广东理））如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥

平面ABCD ,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE .

(Ⅰ)证明:BD ⊥平面PAC ;

(Ⅱ)若1PA =,2AD =,求二面角B PC A --的正切值.

44．（2012年高考（福建理））如图,在长方体1111ABCD A B C D -中

1,AB AD E ==为CD 中点.

(Ⅰ)求证:11B E AD ⊥

(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由.[

(Ⅲ)若二面角11A B E A --的大小为30?,求AB 的长.

45．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面ABCD

,AC =2,PA E =是PC 上的一点,2PE EC =.

(1)证明:PC ⊥平面BED ;

(2)设二面角A PB C --为90?,求PD 与平面PBC 所成角的大小.

D

46．（2012年高考（北京理））如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是AC,AB

上的点,

且DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C⊥CD,如图2.

(1)求证:A 1C⊥平面BCDE;

(2)若M 是A 1D 的中点,求CM 与平面A 1BE 所成角的大小;

(3)线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?说明理由.

47．（2012年高考（安徽理））平面图形111ABB A C C 如图4所示,其中11BB C C 是矩

形,12,4BC BB ==

,AB AC ==

, 1111A B A C ==现将该平面图形分别沿BC 和11B C 折叠,使ABC ?与111A B C ?所在平面都

与平面11BB C C 垂直,再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答

下列问题.

.

(Ⅰ)证明:1AA BC ⊥; (Ⅱ)求1AA 的长; (Ⅲ)求二面角1A BC A --的余弦值.

2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案

一、选择题

1. 【解析】选A

ABC ?

的外接圆的半径3

r =,点O 到面ABC

的距离3d == SC 为球O 的直径?点S 到面ABC

的距离为23d =

此棱锥的体积为112336

ABC V S d ?=?== 另

:123ABC V S R ?

V =

????= 3. 【答案】B 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项B 是正确的.

4. 【答案】A

【解析】,,22

BE BF BE AB BF ==<=<. 【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间相象力,极限思想的运用,是中档题.

5. [答案]A

[解析] 以O 为原点,分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴,

则2cos 4

AO PO AOP R ?∴∠== ,A )0,23,21(),22,0,22(R R P R R 42arccos =∠∴AOP ,4

2arccos ?=∴R P A [点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.

6. [答案]C

[解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.

[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课

本基础知识的定义、定理及公式.

7. D

8. 解析:不妨设122CA CC CB ===,则

11(2,2,1),(0,2,1)

AB C B =-=-

,111111cos ,AB C B AB C B AB C B

×<>==- ,直线1BC 与直线1AB 夹角为锐角,

,选A. 9. A 【解析】本题综合考查了棱锥的体积公式,线面垂直,同时考查了函数的思想,导数法解

决几何问题等重要的解题方法.

(定性法)当102x <<

时,随着x 的增大,观察图形可知,()V x 单调递减,且递减的速度越来越快;当112

x ≤<时,随着x 的增大,观察图形可知,()V x 单调递减,且递减的速度越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有A 图象符合.故选A.

【点评】对于函数图象的识别问题,若函数()y f x =的图象对应的解析式不好求时,作为选择题,没必要去求解具体的解析式,不但方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃;再次,作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用定性法,不但求解快速,而且准确节约时间.

10. 【答案】D

【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C 都可能是该几何体的俯视图,D 不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.

11.考点分析:考察球的体积公式以及估算.

解析:

由34()32d V d π=?=,设选项中常数为a b ,则6b a

π=;A 中代入得69 3.37516π?=

=,B 中代入得6132π?==,C 中代入得6157 3.14300

π?==,D 中代和主得611 3.14285721π?==,由于D 中值最接近π的真实值,故选择D. 12.考点分析:本题考察空间几何体的三视图.

解析:显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分,并且有正视图知是一个1/2的圆柱体,底面圆的半径为1,圆柱体的高为6,则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.

13.解析:C.该几何体下部分是半径为3,高为5的圆柱,体积为23545V ππ=??=,上部分是

半径为3,高为4的圆锥,体积为2134123

V ππ=???=,所以体积为57π. 14. 【答案】D

【解析】分别比较ABC 的三视图不符合条件,D 符合.

【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图,考查空间想象能力、逻辑推理能力. 15.答案D

【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求解.体现了转换与化归的思想的运用,以及线面平行的距离,转化为点到面的距离即可.

【解析】连结BD AC ,交于点O ,连结OE ,因为E O ,是中点,所以1//AC OE ,且12

1AC OE =,所以BDE AC //1,即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离,过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2,高为22,所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ,选

D.

16. 【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式,可得

:10,10,10,S S S S ====后右左底

因此该几何体表面积30S =+,故选

B.

【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题,原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面积,因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力.

17. 【解析】选A

①,b m b b a αβα⊥⊥?⊥?⊥ ②如果//a m ;则a b ⊥与b m ⊥条件相同

二、填空题

18. 【答案】18+9π

【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.

【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体,所以其

体积为:3

43=361+2(

)32

V π????=18+9π3m . 19. 【答案】1

【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角

形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于11

312123

????=.

20. [答案]90o

[解析]方法一:连接D 1M,易得DN⊥A 1D 1 ,DN⊥D 1M,

所以,DN⊥平面A 1MD 1,

又A 1M ?平面A 1MD 1,所以,DN⊥A 1D 1,故夹角为90o

方法二:以D 为原点,分别以DA, DC, DD 1为x, y, z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)

故,），（），（2,121,2,01-==MA DN

所以,cos<|

MA ||DN |11

1MA DN MA DN ?=??，

= 0,故DN⊥D 1M,所以夹角为90o

[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决. 21. [解析] 作BE ⊥AD 于E ,连接CE ,则AD ⊥平面BEC ,所以CE ⊥AD ,

由题设,B 与C 都是在以AD 为焦距的椭球上,且BE 、CE 都 垂直于焦距AD ,所以BE =CE . 取BC 中点F ,

连接EF ,则EF ⊥BC ,EF =2,122

1-=?=?BE EF BC S BEC , 四面体ABCD 的体积123

231-=?=?BE S AD V c

BEC ,显然,当E 在AD 中点,即

B 是短轴端点时,BE 有最大值为b =22c a -,所以1223

2max --=

c a V c .

[评注] 本题把椭圆拓展到空间,对缺少联想思维的考生打击甚大!当然,作为填空押轴题,区分度还是要的,不过,就抢分而言,胆大、灵活的考生也容易找到突破点:AB=BD (同时AC=CD ),从而致命一击,逃出生天!

22. [解析] 如图,ππ22

2

1=l ?l =2,又2πr2=πl =2π?r =1, 所以h=3,故体积ππ3

2

1==h r V .

23. 【解析】因为E 点在线段1AA 上,所以2

11211=??=

?DED S ,又因为F 点在线段C B 1上,所以点F 到平面

1D E D 的距离为

1,即

1=h ,所以

6

1

121313

1

1

1

1=??=??==?--h S V V D E D D

E D

F E

D F D . 【答案】

6

1

24.

【答案】3

【解析】因为在正三棱锥P -ABC 中,PA ,PB ,PC 两两互相垂直,所以可

以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分,(如图所示),此正方体

内接于球,正方体的体对角线为球的直径,球心为正方体对角线的中

点.

球心到截面ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥P -ABC 在面ABC 上

的

高.

,所以正方体的棱长为2,可求得正三棱锥

P -ABC 在面ABC

所以球心到截面ABC

= 【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想,该题灵活性较强,难度较大.该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到条件中的垂直关系,把三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了.

25. 【答案】38

【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为2(344131)21

ππ?+?+?+??-= 【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出表面积.

26. 【答案】6.

【考点】正方形的性质,棱锥的体积.

【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形,∴△ABD

中BD cm,BD

边上的高是它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高). ∴四棱锥11A BB D D -

的体积为123?. 27.

【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解.用空间向量进行求解即可.

【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+- ,则

22221111||()222cos 603

AB AB AA AB AB AA AA =+=+?+=+?=

2222211111||()2222BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++?-?-?= 而1111

()()AB BC AB AA AC AA AB ?=+?+- 1111111111112222

AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB

=?+?-?+?+?-?=+-++-=

111111cos ,6||||AB BC AB BC AB BC ?∴<>=== 28. 【答案】92 【解析】由三视图可知,原几何体是一个底面是直角梯形,高为4的直四棱柱,其底面积为(25)42282

+?=,侧面积为(4255)464+++?=,故表面积为92. 【考点定位】考查三视图和表面积计算.

三、解答题

29. 【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,

直线与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.

方法一:（1）以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz - 则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22

D C B P -

(0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=?=?⊥

（2）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=- ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z = 则0202200n PC y z y z x y x z n CD ?=-==????????-===????

取1(1,2,1)z n =?= (2,0,0)AD = 是平面PAC 的法向量

cos ,sin ,AD n AD n AD n AD n

<>==?<>= 得：二面角A PC D --

的正弦值为6

（3）设[0,2]AE h =∈；则(0,0,2)AE = ，11(,,),(2,1,0)22BE h CD =-=-

cos ,BE CD BE CD h BE CD <>=?=?=

即AE =

方法二:(1)证明,由PA ⊥平面A B C D ,可得P A A D ⊥,又由,A D A C P A A C A ⊥?=,故AD ⊥

平面PAC ,又PC ?平面PAC ,所以PC AD ⊥.

(2)解:如图,作AH PC ⊥于点H ,连接DH ,由

,PC AD PC AH ⊥⊥,可得PC ⊥平面A D H

.因此,DH PC ⊥,从而AHD ∠为二面角A PC D --的平面角.

在Rt PAC ?中,2,1PA AC ==,

由此得AH =,由(1)知AD AH ⊥,故在R t D A

?中

,5DH ==,因

此sin AD AHD DH ∠==,所以二面角A PC D --

【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题相似,但底面是非特殊

的四边形,一直线垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是第三问中点E

的位置

是不确定的,需要学生根据已知条件进行确定,如此说来就有难度,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.

30. 【解析】(1)在Rt DAC ?中,AD AC =

得:45ADC ?

∠=

同理:1114590A DC CDC ??∠=?∠=

得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥

(2)11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥

取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =?⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD

1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得:点H 与点D 重合

且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角

设AC a =,

则12

C O =

,111230C D C O C DO ?==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30?

31. 【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点.

(Ⅰ)如图连接BD .

∵M ,N 分别为PB ,PD 的中点,

∴在?PBD 中,MN ∥BD .

又MN ?平面ABCD ,

∴MN ∥平面ABCD ;

(Ⅱ)如图建系:

A (0,0,0),P

(0,0,M

(,32

,0), N

,0, 0),C

,3,0). 设Q (x ,y ,z ),

则(3)(3CQ x y z CP =-=- ，，

.

∵(3)CQ CP λλ==-

，

,∴33)Q λ-，. 由0OQ CP OQ CP ⊥??=

,得:13

λ=. 即

:2Q . 对于平面AMN :设其法向量为()n a b c = ，，.

∵3(0)00)2

AM AN = ，，，，.

则

3

001

2

3

00

a

AM n b

b

AN n

c

?

=

?

?

?

??=+=?

??

??=

???

?=

??

?=

=

?

?

?

. ∴

1

0)

3

n=

，. 同理对于平面AMN

得其法向量为1

v=

.

记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为θ,

则cos

n v

n v

θ

?

==

?

∴所求二面角A—MN—Q

.

【答案】(

.

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