2009年高考数学试题分类汇编

2009年高考数学试题分类汇编——概率

1、(湖北卷理) 3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数

的概率为

11 B、 3411C、 D、

612

A、

3．【答案】C

2、（江苏卷）5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中

一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ▲ .【解析】 考查等可能事件的概率知识。

所求概率为0.2。

3、（安徽卷理）（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从

这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于

（A）

1234

（B） （C） （D） 75757575

[解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这

22

6个点中任意选两个点连成直线，共有C6 C6 15 15 225

B

C

F

D

种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有

E A

AC//DB,AD//CB,AE//BF,AF//BE,CE//FD,CF//ED

共12对，所以所求概率为p

124

，选D 22575

4、（福建卷）8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员

三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，

指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为

A．0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15 8．【答案】：B

5、（广东卷）12．已知离散型随机变量X

的分布列如右表．若EX 0，

DX 1，则a b

【解析】由题知a b c 解得a

1111

a c 0，12 a 12 c 22 1，，12612

51

，b . 124

6、(湖南卷) 13、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取

一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为【答案】：40

1

，则总体中的个数数位 。 28

7、（上海）7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机

变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ____________（结果用最简分数表示）.

8、（重庆卷）6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆

的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ C ）

A．

8254860 B． C． D．91919191

9、（重庆卷）17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中： （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；

（Ⅱ）成活的株数 的分布列与期望．

21和，32

(17)（本小题13分）

解：设Ak表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2 Bl表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2

则Ak，Bl独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

P(Ak) C2()() 据此算得

k

23

k

13

2 k

, P(Bl) C2()()

l

12

l

12

2 l

.

1

, P(A1) 91

P(B0) , P(B1)

4

P(A0) (Ⅰ) 所求概率为

4

, P(A2) 91

, P(B2) 24 . 91 . 4

P(A2 B1) P(A1) P(B1) (Ⅱ) 解法一：

412 . 929

的所有可能值为0，1，2，3，4，且

111 , 943611411

P( 1) P(A0 B1) P(A1 B0) ,

92946

114141

P( 2) P(A0 B2) P(A1 B1) P(A2 B0)

949294

13

= ,

36

41411

P( 3) P(A1 B2) P(A2 B1) .

94923

411

P( 4) P(A2 B2) .

949

P( 0) P(A0 B0) P(A0) P(B0) 综上知 有分布列

从而， 的期望为

E 0

111311 1 2 3 4 3663639

7

（株） 3

解法二：

分布列的求法同上

令 1， 2分别表示甲乙两种树成活的株数，则

2132241

故有E 1=2 =，E 2 2 1

332

7

从而知E E 1 E 2

3

1:)， 2:)

10、（四川卷）18. （本小题满分12分）

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游

团到四川名胜旅游，其中持银卡。

312是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有433

（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望E 。

（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概

率只是解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设

事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件A， 1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡” 事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 P(B) P(A1) P(A2)

12111C9C21C9C6C21

33

C36C36

927 3417036

85

所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是

36。 85

6分

（Ⅱ） 的可能取值为0，1，2，3

312C3C6C13

P( 0) 3 , P( 1) 33

C984C914213C6C315C615

P( 2) ，， P( 3) 33

C928C921

所以 的分布列为

所以E 0

1 2 3 2， 12分 84142821

11、（天津卷）（18）（本小题满分12分）

在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：

（I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； （II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查

运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。

k

（Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为C3，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的

k3 k

结果数为C3C7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=

37,k=0,1,2,3.

C10

k3 k

X的数学期望EX=0

721719 1 2 3 24404012010

（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件

三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而

273C113C3

P(A1)3 ,P(A2)=P(X=2)= 40,P(A3)=P(X=3)= ,

40120C10

所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

37131

++= 4040120120

12、(浙江卷) 19．（本题满分14分）在1,2,3, ,9这9个自然数中，任取3个数．

（I）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

（II）设 为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数

1,2和2,3，此时 的值是2）．求随机变量 的分布列及其数学期望E ．

1

C4C5210

解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则P(A) ； 3

C921

（II）随机变量 的取值为0,1,2, 的分布列为

1 2 122123

所以 的数学期望为E 0

13、（辽宁卷）（19）（本小题满分12分）

1某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积3之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。

（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；

（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）

（19）解：

（Ⅰ）依题意X的分列为

………………6分

（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2. B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2. 依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，

A A1B1 A1B1 A1B1 A2B2,

所求的概率为

P(A) P(A1B1) P(A1B1) P（A1B1） P(A2B2)

P(A（A1)P(B1) P(A2)P(B2) 1B1) P(A1)P(B1) P

0. 9 0.1

0. 90. 1 0.1 0.1 0. 3 0 ………12分

14、（全国1）19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望。 分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。

需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。

另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。

15、(山东卷) (19)(本小题满分12分)

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用 表示该同学投篮

（1） 求q2的值；

（2） 求随机变量 的数学期望E ;

（3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。 解（:1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,P(A) 0.75, P(B)= q2,P(B) 1 q2.

根据分布列知: =0时P(ABB) P(A)P(B)P(B) 0.75(1 q2)2=0.03,所以1 q2 0.2，q2=0.8. （2）当 =2时, P1=P(ABB ABB) P(ABB) P(ABB)

P(A)P(B)P(B) P(A)P(B)P(B)=0.75 q2( 1 q2)×2=1.5 q2( 1 q2)=0.24

当 =3时, P2 =P(ABB) P(A)P(B)P(B) 0.25(1 q2)2=0.01, 当 =4时, P3=P(ABB) P(A)P(B)P(B) 0.75q22=0.48, 当 =5时, P4=P(ABB AB) P(ABB) P(AB)

P(A)P(B

)P(B) P(A)P(B) 0.25q2(1 q2) 0.25q2=0.24

所以随机变量 的分布列为

随机变量 的数学期望E 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24 3.63 （3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBB BBB BB)

P(BBB) P(BBB) P(BB) 2(1 q2)q22 q22 0.896;

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.

16、（全国卷2）20（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（III）记 表示抽取的3名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。

分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别

无关。

（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。

11C4 C68

从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率P 2

C1015

（III） 的可能取值为0，1，2，3

1111221

C3C4C6C3C4C4C2628

， P( 0) 2 1 ，P( 1) 2 1 2 1

C10C575C10C5C10C575

21

31C6C210

P( 3) 2 1 ，P( 2) 1 P( 0) P( 1) P( 3)

75C10C575

分布列及期望略。

评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算P( 2)时，采用分类的方法，用直接法也

可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。

（江西卷）18．（本小题满分12分）

某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

1

.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若2

只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令 表示该公司的资助总额． (1) 写出 的分布列； (2) 求数学期望E ．

解：（1） 的所有取值为0,5,10,15,20,25,30

13155

) P( 5) P( 10) P( 15

643264161531

) P( 20) P( 25) P( 30

64326431551531 10 15 20 25 30 15. （2）E 5 326416643264

P( 0)

17、(湖南卷)17.（本小题满分12分）

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.

111

、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。236

（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（II）记 为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数

学期望。

解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 A1,B1,C1，i=1，2，3.由题意知A1A2A3相互独立，B1B2B3相互独立，C1C2C3相互独立，A1,B1,C1（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（A1）=，P（B1）=（1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=3！P（A1B2C3）=6P（A1）P（B2）P（C3）=6

11

，P（C1）= 361111 = 2366

(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ，由己已知， -B（3，

1），且 =3 。 3

1， 2722213

() ()= P（ =1）=P（ =2）= C3

3392411()()2= P（ =2）=P（ =1）=C3

3392380

P（ =3）=P（ =0）= C3 ()=

327

1

()=所以P（ =0）=P（ =3）=C3

3

13

故 的分布是

的数学期望E =0 +1 +2 +3 =2

279927

解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件D1， i=1,2,3 ，由此已知，D1·D，D1相互独立，且 P（D1）-（A1，C1）= P（A1）+P（C1）=所以 --B(3,),既P( K) C3()()

故 的分布列是

112

+= 263

，k 0,1,2,3.

23

K

23

K

13

3 K

18、（福建卷）16.（13分）

从集合 1,2,3,4,5 的所有非空子集中，等可能地取出一个。 ．．．．

（1） 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

（2） 记所取出的非空子集的元素个数为 ，求 的分布列和数学期望E 16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A

12345

基本事件总数n=C5=31 C5 C5 C5 C5

事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4} 事件A包含的基本事件数m=3 所以p(A)

m3 n31

（II）依题意， 的所有可能取值为1，2，3，4，5

13C5C5210C5510

， p( 2) ， p( 3) 又p( 1)

3131313131315

C545C51

p( 4) ， p( 5)

31313131

故 的分布列为：

从而E 1 +2 +3 +4 +5

313131313131

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e9v1.html