2009年高考数学试题分类汇编 - 函数

知识改变命运，学习成就未来

2009

年高考数学试题分类?x0?a?1?y0?0,x0??1?a?2.故答案

选B 汇编——函数

一、选择题

1.(2009年广东卷文)若函数y?f(x)是函数

x的反函数，且f(2)?1，则y?a（a?0，且a?1）4.（2009全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若

f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，则( D )

(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数 (C) f(x)?f(x?2) (D) f(x?3)是奇函数

f(x)?

A．log2x B．【答案】A

x【解析】函数y?a的反函数是（a?0，且a?1）1x?2

C． D．2 logx12x2解: ?f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，

?f(?x?1)??f(x?1),f(?x?1)??f(x?1)，

及点(?1,0)对称，函数f(x)?函数f(x)关于点(1,0)，是数

周.期

f(x)?logax,又f(2)?1,即loga2?1,

所以,a?2,故f(x)?log2x,选A.

2.(2009年广东卷文)函数f(x)?(x?3)e的单调递增区间是

A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??)

T?2[?1?(?周的

期函，

?f(?x?1?4)??f(x?1?4)xf(?x?3)??f(x?3)，即f(x?3)是奇函数。故选D

5.（2009浙江理）对于正实数?，记M?为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：?x1,x2?R且x2?x1，有 下列结论??(x2?x1)?f(x2)?f(x1)??(x2?x1)．中正确的是 ( )

【答案】D

【解析】f?(x)?(x?3)?ex?(x?3)ex令f?(x)?0,解得x?2,故选D

3.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线

????(x?2)ex,A．若

f(x)?M?1，g(x)?M?2，则

f(x)?g(x)?M?1??2

B．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，且g(x)?0，则

y?lnx(?a相切，则)α的值为( B ) f(x)?M?1 g(x)?2(A)1 (B)2 (C) -1 C ．若(D)-2

解:设切点P(x0,y0)，则y0'f(x)?M?1，g(x)?M?2，则

f(x)?g(x)?M?1??2

?x,0y?ln0(x?a),0?1D．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，且?1??2，则

1?1 又?y|x?x?0x0?af(x)?g(x)?M?1??2

答案：C

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【

解

析

】

对

于

A．y?lg?x?3??1?lg10?x?3?，

B．y?lg?x?3??1?lg10?x?3?，

??(x2?x1)?f(x2)?f(x1)??(x2?x1)，即有

f(x2)?f(x1)f(x2)?f(x1)?????，令?k，有

x2?x1x2?x1???k??，不妨设f(x)?M?1，g(x)?M?2，即有

??1?kf??1,??2?kg??21，，

因因

此此

有有

x?3， 10x?3D．y?lg?x?3??1?lg.

10C．y?lg?x?3??1?lg故应选C.

8.（2009北京理）为了得到函数y?lg??1???2kf?kg????f(x)?g(x)?M?1??2．

x?3的图像，10a26.（2009浙江文）若函数f(x)?x?(a?R)，则下

x列结论正确的是（ ）

A．?a?R，f(x)在(0,??)上是增函数

只需把函数y?lgx的图像上所有的点 （ ）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单

位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单

位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单

位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单

位长度

【答案】C

【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础

知识、基本运算的考查.

B．?a?R，f(x)在(0,??)上是减函数 C．?a?R，f(x)是偶函数 D．?a?R，f(x)是奇函数

C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问．

2【解析】对于a?0时有f?x??x是一个偶函数

A．y?lg?x?3??1?lg10?x?3?，

B．y?lg?x?3??1?lg10?x?3?，

7.（2009北京文）为了得到函数y?lgx?3的图像，10只需把函数y?lgx的图像上所有的点 C．y?lg?x?3??1?lg（ ）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单

位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单

位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单

位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单

位长度

【答案】C

【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.

.wx?3， 10x?3D．y?lg?x?3??1?lg.

10故应选C.

ex?e?x9. (2009山东卷理)函数y?x的图像大致为

e?e?x( ).

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yyy 1 O 1 x D A

【解析】:函数有意义,需使e?ex?xy 1O 1 x 11 O1xO1 x答案:C.

【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 11.(2009山东卷文

)

函

数

B C ex?e?xy?x?x的图

e?e?0,其定义域为

因为1?x|x?0?,排除C,D,y 又 像大致为( ).

yyy 1 O ex?e?xe2x?121y?x?x?2x?1?2x,所以当x?0时函e?ee?1e?1x O 1 数为减函数,故选A. 答案:A.

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义A 域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

10.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=

1 O1xO1 x1 x D B C 【解析】:函数有意义,需使e?ex?x?0,其定义域为

又

因

为

?log2(1?x),x?0， ??f(x?1)?f(x?2),x?0则f（2009）的值为( )

A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知

?x|x?0?,排除C,D,

ex?e?xe2x?12y?x?x?2x?1?2x,所以当x?0时函

e?ee?1e?1得,

数为减函数,故选A.

f(?1)?log22?1,

f(0)?0答案:A.

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

12. (2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=

f(1)?f(0)?f(?1)??1, f(2)?f(1)?f(0)??1f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0, f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.

,,

x?0?log2(4?x),，则f（3）的值为( ) ?f(x?1)?f(x?2),x?0?A.-1 B. -2 C.1 D. 2 【

解

析

】

:

由

已

知

得

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答案:D.

f(?1)?log25,

f(0)?log24?2,

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想

f(1)?f(0)?f(?1)?2?log25, f(2)?f(1)?f(0)??log25,

解答问题.

14.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=?x(x?0)的反函数是 （A）（x?0） （B）y?x2y??x2（x?0）

f(3)?f(2)?f(1)??log25?(2?log25)??2,故选

B. 答案:B.

【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 13.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ).

A.f(?25)?f(11)?f(80) B.

（B）（x?0） （D）y?x2y??x2（x?0）

答案：B

解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x?0可知AC错,原函数y?0可知D错，选B. 15.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=y?log22?x的图像 2?xf(80)?f(11)?f(?25)

C.

（A） 关于原点对称 （B）关于主线y??x对称

（C） 关于y轴对称 （D）关

f(11)?f(80)?f(?25) D.

f(?25)?f(80)?f(11)

【解析】:因为f(x)满足f(x?4)??f(x,)所以

于直线y?x对称

答案：A

解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为

f(x?8)?f(x,)所以函数是以8为周期的周期函数,

则f(?25)?f(?1),f(80)?f(0),f(11)?f(3),又因

奇函数，图像关于原点对称，选A。

为f(x)在R上是奇函数，

f(0)?0,得

16.（2009全国卷Ⅱ文）设a?lge,b?(lge)2,c?lge,则

（A）a?b?c （B）a?c?b （C）

f(80)?f(0)?0,f(?25)?f(?1)??f(1),而由f(x?4)??f(x)得

f(11)?f(3)??f(?3)??f(1?4)?f(1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)?f(0)?0,所

以?f(1)?0,即f(?25)?f(80)?f(11),故选D.

c?a?b （D）c?b?a

答案：B

解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知

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a>b,又c=

1lge, 作商比较知c>b,选B。 2的图像可能是

17.（2009广东卷理）若函数y?f(x)是函数

y?ax(a?0,且a?1)的反函数，其图像经过点

(a,a)，则f(x)?

A. log2x B. log1x

2C.

12x D. x21，2[解析]：y/?(x?a)(3x?2a?b)，由y/?0得

【解析】f(x)?logax，代入(a,a)，解得a?所以f(x)?log1x，选B.

2x?a,x?2a?b，∴当x?a时，y取极大值0，当32a?bx?时y取极小值且极小值为负。故选C。

318.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图2所示）．那么对于图

或当x?b时y?0，当x?b时，y?0选C 20.（2009安徽卷理）已知函数f(x)在R上满足

f(x)?2f(2?x)?x2?8x?8，则曲线y?f(x)在点

中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是

(1,f(1))处的切线方程是

A. 在t1时刻，甲车在乙车前面

（A）y?2x?1 （B）y?x （C）y?3x?2

B. t1时刻后，甲车在乙车后面

（D）y??2x?3C. 在t0时刻，两车的位置相同

[解析]：由f(x)?2f(2?x)?x?8x?8得

D. t0时刻后，乙车在甲车前面

2f(2?x)?2f(x)?(2?x)2?8(2?x)?8，

即2f(x)?f(2?x)?x?4x?4，∴f(x)?x∴

22f/(x)?2x，∴切线方程为

【解析】由图像可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与

y?1?2(x?1)，即2x?y?1?0选A

21.（2009安徽卷文）设的图像可能是

，函数

x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙

车前面，选A.

19.（2009安徽卷理）设a＜b,函数y?(x?a)(x?b)2欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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故选C.

24.（2009江西卷文）如图所示，一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影

点Q(x,0)的运动速度V?V(t)的图象大致为

yP(x,y) 【解析】可得x?a,x?b为y?(x?a)2(x?b)?0的两个零解.

OQ(x,0)x V(ta)时,则x?b?f(x)?0 当x?V(t)V(t)V(t)当a?x?b时,则f(x)?0,当x?b时,则f(x)?0.选C。 【答案】C

OtOtOtOt?x2?3x?422.（2009江西卷文）函数y?的定义域

x为

A．[?4,1] B．[?4,0) C．(0,1]

【解析】由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上

D．[?4,0)?(0,1] 答案：D 运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到负数，

A B

C D 答案：B

x?0?【解析】由?2得?4?x?0或0?x?1,

?x?3x?4?0?故选D.

再到0，到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0，故D错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)的速度为常

23.（2009江西卷文）已知函数f(x)是(??,??)上的

?f(x)，且当偶函数，若对于x?0，都有f(x?2）x?[0,2)时

，

数，因此C是错误的，故选B.

25.1（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线

f(?x)2l?）ox，g则(15x?9都相切，则a等于 425217A．?2 B．?1 C．1

A．?1或- B．?1或 C．?D．2 4644257答案：C

或- D．?或7

【解析】464f(?2008)?f(2009)的值为

y?x3和y?ax2?2f(?2008)?f(2009)?f(0)?f(1)?log12?log2?1,

答案：A

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【解析】设过(1,0)的直线与y?x3相切于点(x0,x03)，

所以切线方程为y?x03?3x02(x?x0)

即y?3x02x?2x03，又(1,0)在切线上，则x0?0或

f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为D，若所有点

(s,f(t))(s,t?D)构成一个正方形区域，则a的值为 ?2 B．?4 C．?8 D．A．不

能确定

3x0??，

2当x0?0时，由y?0与y?ax?2答案：B

15x?9相切可得425， 6432727|a|?2?a，a??4，选B

x?当x0??时，由y?与

24429.（2009天津卷文15y?ax2?x?9相切可得a??1，所以选A. 14a?log12,b?log13,c?()0.3，则

232ln(x?1)26.（2009江西卷理）函数y?的定义域

2A ab2?4ac4ac?b2【解析】，|x1?x2|?fmax(x)，?a24a）设

【答案】B

【解析】由已知结合对数函数图像和指数函数图像得

a?0,0?c?1，而b?log23?1，因此选B。 到 A．(?4,?1) B．(?4,1) C．(?1,1)

D．(?1,1] 答案：C 【

解

析

】

由

【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力。

?x2?4x?6,x?030.（2009天津卷文）设函数f(x)???x?6,x?0则不等式f(x)?f(1)的解集是（ ）

A (?3,1)?(3,??) B (?3,1)?(2,??) C (?1,1)?(3,??) D (??,?3)?(1,3) 【答案】A

【解析】由已知，函数先增后减再增 当x?0，f(x)?2f(1)?3令f(x)?3, 解得x?1,x?3。

当x?0，x?6?3,x??3

故f(x)?f(1)?3 ，解得?3?x?1或x?3

?x?1?0?x??1???1?x?1.故选C ?2???x?3x?4?0??4?x?127.（2009江西卷理）设函数f(x)?g(x)?x，曲线

2y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则

曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为

11A．4 B．? C．2 D．?

42答案：A

【解析】由已知g?(1)?2，而f?(x)?g?(x)?2x，所以f?(1)?g?(1)?2?1?4故选A 28.

（

2009

江

西

卷

理

）

设

函

数

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运

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用。以及一元二次不等式的求解。

31.（2009天津卷文）设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且2f(x)+xf’(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是

29.【答案】D

【解析】由题意可知球的体积为V(t)?4?R3(t)，则3此

可

得

c?V'(t)?4?R2(t)R'(t)A f(x)?0 B f(x)?0 C f(x)?x Df(x)?x

【答案】A

【解析】由已知，首先令x?0 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A

【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。

32.(2009湖北卷理)设a为非零实数，函数

，由

c?4?Rt(，)而球的表面积为'R(tR)t()S(t?)?42R，( t)所以v表＝S'(t)?4?R2(t)?8?R(t)R'(t)， 即

v表＝8?R(t)R'(t)＝2?4?R(t)R'(t)＝，故选D

1?ax1(x?R,且x??)的反函数是 1?axa1?ax1(x?R,且x??) B、A、y?1?axa1?ax1y?(x?R,且x??)

1?axay?C、y?2c2c'R(t)＝R(t)R'(t)R(t)33.（2009四川卷文）函数y?2x?1(x?R)的反函数是 A. y?1?log2x(x?0) B.

1?x(x?R,且x?1) D、

a(1?x)y?log2(x?1)(x?1)

C. y??1?log2x(x?0) D.

y?1?x(x?R,且x??1)

a(1?x)1?ax1(x?R,且x??)，1?axay?log2(x?1)(x??1)

【答案】C

【解

析

】

由

【答案】D

【解析】由原函数是y?从中解得x?1?y(y?R,且y??1)即原函数的反

a(1?y)又因原y?2x?1?x?1?log2y?x??1?log2y，函数的值域是y?0，

∴其反函数是y??1?log2x(x?0)

34.（2009四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R

函数是x?1?y(y?R,且y??1)，故选择D

a(1?y)32.(2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数R?t?。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C

上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有 xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是 A. 0 B. D.

521 C. 1 25 2欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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【答案】A 【解析】若

.故选A.

x≠0，则有f(x?1)?1?xf(x)，取x37.（2009湖南卷文）log22的值为【 D 】

x??

1，则有： 2A．?2 B．2 C．?D．

1 21112f(?1)??f(?1)??f(1)f()?f(??1)?122222?211（∵f(x)是偶函数，则f(?)?f() ）

221由此得f()?0

21?于是，

1 2解:由log2112?log22?log22?,易知D正确.

221238.（2009湖南卷文）若函数y?f(x)的导函数在区间．．．

[a,b]上是增函数，

3532f(3)?5f(3)?5f(1?1)?f()?f(?1)?32223y 2322x35.（2009全国卷Ⅱ理）曲线y?在点?1,1?处的2x?11?切线方程为

11?5【 A 11[2】]f ()?5f()?0 322y 12则函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象可能是

y y A.

x?y?2?0

B.

o x o xa ?y?2b ?0

a o b x a o b x a b x C.x?4y?5?0 D. x?4y?5?0 解

：

A ． B． C

y?|x?1?,

2x?1?2x1|?[?]|??1x?122x?1(2x?1)(2x?1)． D．

解: 因为函数y?f(x)的导．函．数．y?f?(x)在区间

故切线方程为y?1??(x?1),即x?y?2?0 故选B.

36.（

[a,b]上是增函数，即在区间[a,b]上

各点处的斜率k是递增的，由图易知选A. 注意C

2009全国卷Ⅱ理

）设

中y??k为常数噢.

39.（2009湖南卷文）设函数y?f(x)在(??,??)内有

a?log3?,b?log23,c?log32，则

A. a?b?c

b?a?c

B. a?c?b D. b?c?a

C.

定义，对于给定的正数K，定义函数

解：?log32?log2

2?log23?b?c

?f(x),f(x)?K, fK(x)??K,f(x)?K.?1时，函数fK(x)的单2log23?lo2g?2lo?g3?oag?b?a?b33l??c取函数f(x)?2?x。当K=

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调递增区间为【 C 】

A

．(??,0)

1f(x)＝()x；当x＜4时f(x)＝f(x?1)，则

2B．(0,??)

＝ f(2?lo2g3)（A）

C ．(??,?1) D ．(1,??) 解: 函数

f(x?)?x2?1x(，)作图易知21113 （B） （C） （D） 241288f(x)?K?1,?1?]?x?(??2[，1? ?【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋

log23)

且3＋log23＞4

∴f(2?log23)＝f(3＋log23) ＝

故在(??,?1)上是单调递增的，选C.

40.（2009福建卷理）下列函数f(x)中，满足“对任意，当x1f(x2) x1，x2?（0，??）的是 A．f(x)=

13?log2311log2311log11113 ()??()??()2???28282832443.（2009辽宁卷文）已知偶函数f(x)在区间?0,??)单

1112f(2x?1)＜f()的x 取值范围是 B. f(x)=(x?1) 调增加，则满足

x3121212x（A）（，） (B) ［，） (C)（，） C .f(x)=e D f(x)?ln(x?1)

33332312【答案】：A

(D) ［，）

23[解析]依题意可得函数应在x?(0,??)上单调递减，故

【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|) ∴得f(|2x－1|)＜f(

由选项可得A正确。

41.（2009福建卷理）函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的图象关于直线x??b对称。据此可推测，对任意的非2a1),再根据f(x)的单调性 3112 得|2x－1|＜ 解得＜x＜

333【答案】A

44.（2009辽宁卷理）若x1满足2x+2=5, x2满足2x+2log2(x－1)=5, x1+x2＝

x零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程

m?f(x)??nf(x)?p?0的解集都不可能是

2A. ?1,2? B ?1,4? C ?1,2,3,4? 57（A） (B)3 (C) (D)4 D ?1,4,16,64?

【答案】：D

[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程

22【解析】由题意2x1?2x?5 ①

1 2x2?2log2(x2?1)?5 ② 所以2x?5?2x1,x1?log2(5?2x1)

1m[f(x)]?nf(x)?P?0中m,n,p分别赋值求出

f(x)代入f(x)?0求出检验即得.

42. （2009辽宁卷文）已知函数f(x)满足：x≥4,则

2 即2x1?2log2(5?2x1)

令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)

∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2

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于是2x1＝7－2x2 【答案】C

45.（2009宁夏海南卷理）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值

设f（x）=min{, x+2,10-x} (x? 0),则f（x）的最大值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

解析：选C

46.（2009陕西卷文）函数f(x)?2x?4(x?4)的反函数为

上单调递增, 又f(x)是偶函数,故f(x)在

x1,x2?(0,??](x1?x2)单调递减.且满足n?N*时,

f(?2)?f(2), 3>2?1?0,得f(3)?f(?2)?f(1),

故选A.

48.（2009陕西卷文）设曲线y?xn?1(n?N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1?x2???xn的值为

（A）f?1(x)?12x?4(x?0) (B) 2

(A)

11n (B) (C) nn?1n?112x?4(x?2)212?1（C）f(x)?x?2(x?0) (D)

21f?1(x)?x2?2(x?2)

2f?1(x)?答案：D. 解析:令原式 y?1 故f(x)?(D) 1 答案:B

学

科

解析: 对y?xn?1(n?N*)求导得y'?(n?1)xn,令

x?1得在点（1，1）处的切线的斜率k?n?1,在点

（

1

2，1）处的切线方程妨

为设则

?f(x)?2x?4(x?2)12x?2(x?2) 故选D. 222y?4yy ?y1??k2(x?4,1)即?x(n1)?,2不xn???1)(xn??则

22y?0,

xn?nn?147.（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数f(x)满足：对

任

意

的

123n?1n1x1?x2???xn????...???, 故

234nn?1n?1选 B.

x1,，?x2[?0?,x1)?(x有

)49.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数f(x)满足：对

f(x2)?f(x1)?0.则

x2?x1(A)f(3)?f(?2)?f(1) (B)

任意 的

x1,x2?(??,0](x1?x2)x1)*，有

(x2?f(1)?f(?2)?f(3)

?(f. 2(x?)f(x则当n?N时,有

(C) f(?2)?f(1)?f(3) (D)

(A)f(?n)?f(n?1)?f(n?1) (B)

f(3)?f(1)?f(?2)

答案:A.

解析:由(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0等价，于

f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

(C) (C)f(n?1)?f(?n)?f(n?1) (D)

f(x2)?f(x1)?0则f(x)在x1,x2?(??,0](x1?x2)x2?x1f(n?1)?f(n?1)?f(?n)

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答案：C

（∵f(x)是偶函数，则f(?)?f() ）

解析：x1,x2?(??,0](x1?x2)?(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?012121?x2?x1时，f(x2)?f(x1)?f(x)在(??,0]为增函数由此得f()?0

2f(x)为偶函数?f(x)在(0，??]为减函数于是，

53f()?f(?1)?221?1 1?2f(3)?5f(3)?5f(1?1)?5[2]f(1)?5f(1)?0323232312222而n+1>n>n-1>0,?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?f(n?1)?f(?n)?f(3n?1)50.（2009四川卷文）函数y?2x?1(x?R)的反函数是

A. y?1?log2x(x?0) B.

52.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数f(x)的反函数为

y?log2(x?1)(x?1)

C. y??1?log2x(x?0) D.

g(x)＝＋12lgx?x＞0?，则f(1)?g(1)?

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 【解析】本小题考查反函数，基础题。

解：由题令1?2lgx?1得x?1，即f(1)?1，又

析

】

由

y?log2(x?1)(x??1)

【答案】C

【解

g(1)?1，所以f(1)?g(1)?2，故选择C。

53.（2009湖北卷文）函数y?1?2x1(x?R,且x??)的1?2x2又因原y?2x?1?x?1?log2y?x??1?log2y，函数的值域是y?0，

反函数是

∴其反函数是y??1?log2x(x?0)

51.（2009四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有

A.B.y?1?2x1(x?R,且x??) 1?2x2y?1?2x1(x?R,且x?) 1?2x2C.y?(x?R,且x?1) 52(1?x) xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是

21?xD.y?(x?R,且x??1) 1 A. 0 B. C. 1 2 (1 ? x )

2【答案】D

5D.

1?y1?x2【解析】可反解得x?且故f?1(x)【答案】A 2(1?y)2(1?x)1?xf(x)，取【解析】若x≠0，则有f(x?1)?1?xx?1可得原函数中y∈R、y≠-1所以f(x)且x

12(1?x)x??，则有：

2

∈R、x≠-1选D

1?x11?112f(?1)??f(?1)??f(1)f()?f(??1)?122222?2

54.(2009湖南卷理)若log2a＜0，()＞1，则 (D)

A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞

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0 D. 0＜a＜1, b＜0 【答案】：D

【解析】由f'(x)?1?e?x?0,知x?0，所以

1b【解析】由log2a?0得0?a?,由()?1得b?0，

2所以选D项。

55.(2009湖南卷理)如图1，当参数???2时，连续函数

x?(??,0)时，f'(x?)0??时)，，当x?(0,f'(x?)，所以0f(x)max?f(0)?1,即f(x)的值域是(??,1]，而要使fk(x)?f(x)在R上恒成立，结合条

y?[ B]

件分别取不同的K值，可得D符合，此时f(x)?f(x)。x(x?0) 的图像分别对应曲线C1和C2 , 则 k 1??x故选D项。

57.（2009天津卷理）设函

数

A 0??1?? B 0????1 C

f(x)??1??2?0 D ?2??1?0

1x?lnx(x?0),3则y?f(x)

【答案】：B

【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在(0,??)是连续的，可知参数?1?0,?2?0，即排除C，D项，又取x?1，知对应函数值

A在区间(,1),(1,e)内均

有零点。 B在区间(,1),(1,e)内均无零点。

1e1ey1?11，由图可知y1?y2,所以,y2?1??11??21e1D在区间(,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点。

eC在区间(,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点。

?1??2，即选B项。

56.(2009湖南卷理)设函数y?f(x)在（??，+?）内有定义。对于给定的正数K，定义函数 fk(x)???1【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。 解析：由题得f`(x)?11x?3??，令f`(x)?0得3x3xx?3；令f`(x)?0得0?x?3；f`(x)?0得x?3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区

间(3,??)为增函数，在点x?3处有极小值

?f(x),f(x)?K

K,f(x)?K?取函数f(x)=2?x?e。若对任意的x?(??,??)，恒有fk(x)=f(x)，则

1?ln3?0；又

A．K的最大值为2 B. K的最小值为2

C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】 【答案】：D

f(1)?1e11,f?e???1?0,f()??1?0，故选33e3e天津卷理）已知函数

择D。

58.（2009

?x2?4x,f(x)??2?4x?x,x?0x?0若

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f(2?a2)?f(a),则实数a的取值范围是

A (??,?1)?(2,??) B (?1,2) C

【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值

法，综合题。（同文12） 解

析

：

令

(?2,1) D (??,?2)?(1,??)

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运

用。以及一元二次不等式的求解。

解析：由题知f(x)在R上是增函数，由题得

x??12，则

?1111111f()?f(?)?f()?f()?0；令22222222?a?a，解得?2?a?1，故选择C。

59.（2009四川卷理）已知函数

由xf(x?1)?(1?x)f(x)得f(x?1)?所以

2x?0，则f(0)?0

x?1f(x)，x?a?log2x(当x?2时)?则常f(x)??x2?4在点x?2处连续，

(当x?2时）??x?2数a的值是

Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４

，故选择A。

Ｄ.５

535353515f()?2f()?f()??2f()?0?f(f())?32232312222【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。

解析：由题得a?log22?2?2?a?3，故选择B。 解析2：本题考查分段函数的连续性．由

61.（2009福建卷文）下列函数中，与函数y?相同定义域的是

A .f(x)?lnx B.f(x)?1 有x1 C. xf(x)?|x| D.f(x)?ex

解析 解析 由y?x2?4limf(x)?lim?lim(x?2)?4x?2x?2x?2x?2，

1可得定义域是x1的定义域xf(2)?a?log22?a?1，由函数的连续性在一点处的

连续性的定义知f(2)?limf(x)?4，可得a?3．故

x?2x?0.f(x)?lnx的定义域x?0；f(x)?x是x≠0；f(x)?|x|的定义域是x?R;f(x)?e定义

选B．

60.（2009四川卷理）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有

域是x?R。故选A.

62.（2009福建卷文）定义在R上的偶函数f?x?的部分图像如右图所示，则在??2,0?上，下列函数中与

5xf(x?1)?(1?x)f(x)f(f())的值是 ，则

215A.0 B. C.1 D.

22f?x?的单调性不同的是

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A．y?x2?1 B. y?|x|?1 C. y??x=

1,f?x??(x?1)2的零点为x=1, 4的

零

点

为

x=0,

f?x??ex?1

?2x?1,x?03?x?1,x?031??f?x??In?x??的零点为x=.现在我们

22??来估算g?x??4x?2x?2的零点，因为

g(0)= -1,g(

x??e,x?oD．y???x

??e,x?0解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在??2,0?上单调递减，注意到要与

11)=1,所以g(x)的零点x?(0, ),又函数22f?x?的零点与g?x??4x?2x?2的零点之差的绝对

值不超过0.25，只有f?x??4x?1的零点适合，故选A。 64.19.（2009重庆卷文）把函数f(x)?x?3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2．若对任意的u?0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B

解析根据题意曲线C的解析式为

3f?x?的单调性不同，故所求的函数在??2,0?上应单调

递增。而函数y?x2?1在???,1?上递减；函数

y?x?1在

???,0?时单调递减；函数

?2x?1,x?0y??3在（??,0]上单调递减，理由如下

x?1,x?0?y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数

x??e,x?0?xy???x，有y’=-e<0(x<0),故其在（??,0]上

??e,x?0y?(x?u)3?3(x?u)?v,(x?u)3?3(x?u)?v?x3?3x则方，

程即

单调递减，不符合题意，综上选C。

63.（2009福建卷文）若函数f?x?的零点与

g?x??4x?2x?2的零点之差的绝对值不超过0.25，

则f?x?可以是 A.

f?x??4x?1 B.

f?x??(x?1)2

C.

13ux2(u3?3u?v)?0，即v??u3?3u对任意

41u?0恒成立，于是v??u3?3u的最大值，令

41g(u)??u3?3u(u?0),则

433g((u)??u2?3??(u?2)(u?2)由此知函

44数g(u)在（0，2）上为增函数，在(2,??)上为减函数，所以当u?2时，函数g(u)取最大值，即为4，于是v?4。

二、填空题

f?x??ex?1 D.

1??f?x??In?x??

2??解

析

f?x??4x?1的零点为

x2?a1.（2009辽宁卷文）若函数f(x)?在x?1处取

x?1欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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极值，则a?

2x(x?1)?(x2?a)【解析】f’(x)＝ 2(x?1) f’(1)＝【答案】3

2.（2009重庆卷理）若f(x)?3?a＝0 ? a＝3 41?a是奇函数，则x2?1解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程2ax?在?0,???内有解，显然可得a??

a? ．

【答案】【

1 2解

析

】

解

法

1?0x1????,0? 2x212x?a??a,f(?x)??f(x) 1f(?x)??x2?11?2xxx4.（2009上海卷文） 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.

【答案】3x?1 21121??a??(?a)?2a???1故a? xxxx1?22?11?21?22【解析】由y＝x3+1，得x＝3y?1，将y改成x，x改3.若曲线f?x??ax?Inx存在垂直于y轴的切线，则

2成y可得答案。

实数a的取值范围是 .

解析 解析：由题意该函数的定义域x?0，由

1。因为存在垂直于y轴的切线，故此x时斜率为0，问题转化为x?0范围内导函数

1f??x??2a?x存在零点。

xf??x??2ax?解法1 （图像法）再将之转化为g?x???2ax与

?3x,x?1,5.（2009北京文）已知函数f(x)??若

??x,x?1,f(x)?2，则x? .

【答案】log32

【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求

x的值. 属于基础知识、基本运算的考查.

1存在交点。当a?0不符合题意，当a?0时，x如图1，数形结合可得显然没有交点，当a?0如图2，h?x??此时正好有一个交点，故有a?0应填???,0? 或是?a|a?0?。

?x?1?x?1由?x?x?log32，?3?2??x?2?x??2?无解，故应填log32.

?1,x?0??x6.（2009北京理）若函数f(x)?? 则不等

1?()x,x?0??3式|f(x)|?1的解集为____________. 3欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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【答案】??3,1?

【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的

解法. 属于基础知识、基本运算的考查.

（1）由

a?5?1?(0,1)，函数f(x)?ax在R上递减。由2f(m)?f(n)得：m

10.

（

2009

江

苏

卷

）

已

知

集

合

?x?01?|fx???(11???)x?.

3???x3 （

2

）

|由

A??xlog2x?2?,B?(??,a)，若A?B则实数a的

30取值范围是(c,??)，其中c= . 【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。

由log2x?2得0??x?0?x?01??|fx???(?1?x1??)?1?x1?|?x?3????????33????3?3?.

x?4，A?(0,4]由A?B10；

知a?4，所以c?4。

11.(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .

【解析】: 设函数y?ax(a?0,且a?1}和函数

x1(?)|的解集为 ∴不等式|fx3?x|?3?x?1?，∴应填??3,1?.

7.（2009江苏卷）函数f(x)?x3?15x2?33x?6的单调减区间为 . y?x?a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a?1)有两个零点,

就是函数y?ax(a?0,且a?1}与函数y?x?a有两个交点,由图象可知当0?a?1时两函数只有一个交点,

x不符合,当a?1时,因为函数y?a(a?1)的图象过点

【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。

f?(x)?3x2?30x?33?3(x?11)(x?1)，

由(x?11)(x?1)?0得单调减区间为(?1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。

8.（2009江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。

(0,1),而直线y?x?a所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是a?1 答案: a?1 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.

3y??3x?10?2?x??2，又点P在第二象限内，

?x??2点P的坐标为（-2，15）

9.（2009江苏卷）已知a?212.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根

5?1x，函数f(x)?a，2若实数m、n满足f(m)?f(n)，则m、n的大小关系为 . 【解析】考查指数函数的单调性。

x1,x2,x3,x4,则x1?x2?x3?x4?_________.

【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足

f(x?4)??f(x),所以f(x?4)?f(?x),所以, 由

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f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x?2对称且f(0)?0,由f(x?4)??f(x)知f(x?8)?f(x),所

以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个

集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a、b?V及任意实数

?,?都有f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平

面M上的线性变换。现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，a、b?V，则

f(a?b)?f(a)?f(b)

不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1?x2?x3?x4由对称性

知

②若e是平面M上的单位向量，对

x1?x2??12x2?x3?1x3?x4?48?所以 a?V,设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换；y f(a)??a，则f是平面M上的线性变?③对a?V , 设x1?2x4? 4??答案:-8 换； f(x)=m (m>0) 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, ④设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实

-8 , -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 13.(2009山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .

数k均有f(ka)?kf(a)。 其中的真命题是 （写出所有真

命题的编号） 【答案】①③④

【解析】①：令????1，则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题

同理，④：令??k,??0，则f(ka)?kf(a)故④是真命题

xx【解析】: 设函数y?a(a?0,且a?1}和函数

y?x?a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a?1)有两个零点,

就是函数y?a(a?0,且a?1}与函数y?x?a有两个交点,由图象可知当0?a?1时两函数只有一个交点,

x不符合,当a?1时,因为函数y?a(a?1)的图象过点

x ③：∵f(a)??a，则有f(b)??b

(0,1),而直线y?x?a所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是

f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(是线性变换，故③是真命题

②：由f(a)?a?e，则有f(b)?b?e

{a|a?1}.

答案: {a|a?1}

【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.

14.（2009四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的

f(?a??b)?(?a??b)?e???(a?e)???(b?e)?e??f ∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题 【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线

性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创

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新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

15.（2009福建卷理）若曲线f(x)?ax3?lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________. 【答案】：(??,0)

解析：由题意可知f(x)?2ax?于y轴的切线， 所

以

'2④设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实数k均有f(ka)?kf(a)。

其中的真命题是 （写出所有真

命题的编号） 【答案】①③④

【解析】①：令????1，则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题

同理，④：令??k,??0，则f(ka)?kf(a)故④是真命题

③：∵f(a)??a，则有f(b)??b

1，又因为存在垂直x2ax2?11?0?a??3(x?0)?a?(??,0)。 x2x16.(2009陕西卷理)设曲线y?xn?1(n?N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an?lgxn，则

a1?a2???a99的值为 .

f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(是线性变换，故③是真命题

答案：-2

②：由f(a)?a?e，则有f(b)?b?e

解析：点（1，1）在函数y?xn?1(n?N*)的图像上，?（1，1）为切点， y?xn?1的导函数为y'?(n?1)xn?y'|x?1?n?1?切线是：y?1?(n?1)(x?1)nf(?a??b)?(?a??b) ?e???(a?e)???(b?e)?e??fn?11298991 ∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题

a1?a2?...?a99?lgx1x2...x99?lg??...???lg??22399100100【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线

性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创

17.（2009四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的令y=0得切点的横坐标：xn?新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

x集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a、b?V及任意实数

18.（2009宁夏海南卷文）曲线y?xe?2x?1在点（0,1）处的切线方程为 。 【答案】y?3x?1

xx【解析】y'?e?xe?2，斜率k＝e?0?2＝3，

0?,?都有f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平

面M上的线性变换。现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，a、b?V，则

所以，y－1＝3x，即y?3x?1

f(a?b)?f(a)?f(b)

②若e是平面M上的单位向量，对

19.（2009重庆卷文）记f(x)?log3(x?1)的反函数为

?1则方程f(x)?8的解x? ． y?f?1(x)，

a?V,设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换；

③对a?V,设f(a)??a，则f是平面M上的线性变换；

【答案】2

解法1由y?f(x)?log3(x?1)，得x?3y?1，即

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f?1(x)?3x?1，于是由3x?1?8，解得x?2

解

法

2

因

为

f?1x(?)，

所以

m2?2x?2?2?22m2?2

x020x?f(?8)3?l?o g(81)2 ?22m2?2? 4 m??2； 2三、解答题

1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）

已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行,且y?g(x)在x=－1处取得最小值m－1(m?0).

（2）由y?f?x??kx??1?k?x?m?2?0， x 得 ?1?k?x2?2x?m?0 ?*? 当k?1时，方程?*?有一解x??m，函数2g(x)设函数f(x)?

x(1)若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值

(2) k(k?R)如何取值时,函数y?f(x)?kx存在零点,并求出零点.

【解析】（1）设g?x??2y?f?x??kx有一零点x?? 当

m； 2k?1时，方程

?*?有二解

???4?4m?1?k??0，若m?0，k?1? 函数

?2?1， my??f??x??k?有k两x个零点

k1；若m?0，

x??4m?4?2??1k??k1?1??m1?1ax?b?，x则c k?1?g??x?x； b??2a 又g??x?的图像与直线y?2x平行

1，函数y?f?x??kx有两个零点m?1?1?m?1?k?k?1x??2?4?4m?1?k?2?1?k?；

?2a?2 a?1

又

当

k?1时，方程

g?x?在x??1取极小值，

?*?有一解

?b??1 ， b?2 2???4?4m?1?k??0, k?1?y?f??x?x?有一零点kx1 k?11, 函数m ?g??1??a?b?c1?2??c?m1?c?m；

g?x?m?x??2， 设P?xo,yo? f?x??xx 则

2，

2.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试．．．．．

题卷上作答无效） ．．．．．．．．

设函数f?x??x?3bx?3cx在两个极值点

32，0],x2?[1,2]. x1、x2，且x1?[?1（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点?b,c?的区域；

?m?2222PQ?x0??y0?2??x0??x0??x0??欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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1(II)证明：?10?f?x2???

2分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

大部分考生有思路并能够得分。

322f(x)?x?(k?k?1)x?5x?2，

g(x)?k2x2?kx?1，

其中k?R．

（I）设函数p(x)?f(x)?g(x)．若p(x)在区间

，求k(0,3)上不单调．．．的取值范围； （II）设函数

f??x??3x2?6bx?3c由题意知方程f??x??0有两个根x1、x2

且x1?[?1，0],x2?[1,2].则有f???1??0，f??0??0，f??1??0，f??2??0故有

右图中阴影部分即是满足这些条件的点?b,c?的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标f?x2??x?3bx2?3cx2中的b，（如

322?g(x),x?0,q(x)???f(x),x?0. 是否存在k，对任

意给定的非零实数

x1，存在惟一

的非零实

数x2（x2?x1），使得q?(x2)?q?(x1)成

立？若存在，求k的值；若不存

在，请说明理由．

解析：（I）因

P(x)?f(x)?g(x)?x3?(k?1)x2?(k?5)?1，

果消 c会较繁琐）再利用x2的范围，并借助（I）中的约束条件得c?[?2,0]进而求解，有较强的技巧性。 解

：

22p??x??3x2?2(k?1)x?(k?5)，因p(x)在区间

(0,3)上不单调，所以p??x??0在?0,3?上有实数解，．．．．

且无重根，由p??x??0得k(2x?1)??(3x2?2x?5),

由题意有

f??x2??3又

?6x．．．．．．．．．．．① ?3bx?02．

c(3x2?2x?5)3?910??k??????2x?1????，

2x?14?2x?13?令t?2x?1,有t??1,7?，记h(t)?t?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② f?x2??x23?3bx22?3cx2． 消去b可得f?x2???又

9,则h?t?在t133cx2?x2． 22，

且

?1,3?上单调递减，在?3,7?上单调递增，所以有

9??6,10?，得，于是?2x?1??ht?6,10????2 2x?1而当k??2时有p??x??0在?0,3?上有k???5,?2?，

两个相等的实根x?1，故舍去，所以k???5,?2?；

?x2?[1,2]c?[?1??10?fx(2?)?

23.（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数

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（II）当x?0时有

点存在定理，有

f?(?1)f?(1)?0，

即

：

q??x??f??x??3x2?2(k2?k?1)x?5；

当x?0时有q??x??g??x??2k2x?k，因为当k?0时不合题意，因此k?0，

下面讨论k?0的情形，记A?(k,??)，B=?5,???（ⅰ）当x1?0时，q??x?在?0,???上单调递增，所以要使

[3?2(1?a)?a(a?2)][3?2(1?a)?a(a?2)]?0

整理得：(a?5)(a?1)(a?1)2?0，解得

?5?a??1

5.（2009北京文）（本小题共14分）

设函数f(x)?x3?3ax?b(a?0).

（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(2,f(处与直线x))q??x2??q??x1?成立，只能x2?0且A?B，因此有

k?5，（ⅱ）当x1?0时，q??x?在?0,???上单调递减，

所以要使q??x2??q??x1?成立，只能x2?0且A?B，因此k?5，综合（ⅰ）（ⅱ）k?5；

当k?5时A=B，则?x1?0,q??x1??B?A，即?x2?0,使得q??x2??q??x1?成立，因为q??x?在?0,???上单调递增，所以x2的值是唯一的；

同理，?x1?0，即存在唯一的非零实数x2(x2?x1)，要使q??x2??q??x1?成立，所以k?5满足题意．

y?8相切，求a,b的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值点. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性

和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

（Ⅰ）f'?x??3x2?3a,

x))∵曲线y?f(x)在点(2,f(处

与直线y?8相切，

∴

'?f?3?4?a??0?a?4,??2??0??? ??????8?6a?b?8?b?24.?f?2??8'2（Ⅱ）∵f?x??3x?a4.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数

f(x)?x?(1?a)x?a(a?2)x?b (a,b?R)．

（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值；

（II）若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的．．．

取值范围．

解析：（Ⅰ）由题意得f?(x)?3x2?2(1?a)x?a(a?2) 又?32???a?0?,

当a?0时，f'?x??0，函数f(x)在

???,???上单调递增，

此时函数f(x)没有极值点.

当a?0时，由f'?x??0?x??a，

'当x???,?a时，f?x??0，函

f(0)?b?0 ，解得b?0，

?f?(0)??a(a?2)??3?a??3或a?1

（Ⅱ）函数f(x)在区间(?1,1)不单调，等价于 导函数f?(x)在(?1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数

即函数f?(x)在(?1,1)上存在零点，根据零

??数f(x)单调递增，

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当x??a,a时，f'?x??0，函

数f(x)单调递减，

当x???f'?x??0，函数f?x?单调递增，

若k?0，则当x????,??a,??时，f'?x??0，函数

???1??时，k?f'?x??0，函数f?x?单调递增，

当x???函数f?x?单调递减，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k?0，则当且仅当

f(x)单调递增，

∴此时x??a是f(x)的极大值点，

?1?,??,?时，f'?x??0，?k?x?a是f(x)的极小值点.

6.（2009北京理）（本小题共13分）

设函数f(x)?xekx(k?0)

（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若函数f(x)在区间(?1,1)内单调递增，求k的取值范围.

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

（Ⅰ）

?1??1， k即k?1时，函数f?x???1,1?内单

调递增，

若k?0，则当且仅当?1?1， k即k??1时，函数f?x???1,1?内

单调递增，

综上可知，函数f?x???1,1?内单调

递增时，k的取值范围是??1,0???0,1?. 7.（2009江苏卷）(本小题满分16分) 设a为实数，函数(1)若(2)求

f?x???1?kx?e,f?0??1,f?0??0,

'kx'f(x)?2x2?(x?a)|x?a|. 曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?x.

（Ⅱ）由f'f(0)?1，求a的取值范围； ?x???1?kx?ekx?0，得

f(x)的最小值； (不需给f(x),x?(a,??)，直接写出．．．．

x??1?k?0?， k 若k?0，则当x????,?(3)设函数h(x)?出演算步骤)不等式h(x)?1的解集. ??1??时，k?【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分

f'?x??0，函数f?x?单调递减，

?1? 当x???,??,?时，

?k?欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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?a?0（1）若f(0)?1，则?a|a|?1??2?a??1

?a?1（

2

）

当

径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市

x?a时，

f(x)?3x2?2ax?a2,f(x)m,2a?0?f(aa?)?a??2 ??ian??2af(),a?0?,a?0??3?32,的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城

B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影0响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数；

的中点时，

当

x?a时，

f(x)?x2?2ax?a2,f(x)m2??f(?aa???)aa?????2n if(a),a?0???2a,a?0,02,上是否

0（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧

综上f(x)min??2a2,a?0? ??2a2,a?0??3（3）

x?(a,??)时，

h(x?)存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总

影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

解法一:（1）如图,由题意知AC⊥

得，

BC,BC?400?x,y?223x2?2ax?a2?1?04k?(0?x?20) x2400?x2??4a2?12(a2?1)?12?8a2

66当a??时，??0,x?(a,??)； 或a?22当

其中当x?102时，y=0.065,所以k=9 所

以

y

表

示

成

x

的

函

数

为

y?（

：

49?(0?x?20) 22x400?x2

）,

66??a?22时，△>0,得

y??a?3?2a2a?3?2a2?(x?)(x?)?0 ?33?x?a?49?x2400?x2,

89?(?2x)18x4?8(400?x2)2y'??3??22x(400?x)x3(400?x2)2令

26讨论得：当a?(,)时，解集为(a,??);

22当

y'?0得18x4?8(400?x2)2,所以x2?160,即

a?(?62,?)22x?410,当0?x?410时, 18x4?8(400?x2)2,

时

，

解

集

为

即y'?0所以函数为单调减函数,当46?x?20时,

a?3?2a2a?3?2a2(a,]?[,??);

33a?3?2a222,]时，解集为[当a?[?,??). 2238.(2009山东卷理)（本小题满分12分）

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直

18x4?8(400?x2)2,即y'?0所以函数为单调增函数.

所以当x?410时, 即当C点到城A的距离为410时, 函数y?49?(0?x?20)有最小值. 22x400?x解法二: （1）同上.

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（2）设m?x2,n?400?x2, 则m?n?400,y?y1?y2?49?,所以 mn4(400?m1)(400?m2)?9m1m2 4949m?n14n9m1?(m2?m1)1y???(?)?[13?(?)]?(13?12)?m1m2(400?m1)(400?m2)mnmn400400mn40016因为16009×160×160 所以

4949??(?)m1400?m1m2400?m24n9m?n?240?当且仅当即?时取”=”. mnm?160?下面证明函数y?49?在(0,160)上为减函数, m400?m则

在(160,400)上为增函数. 设0

4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0,

m1m2(400?m1)(400?m2)4(400?m1)(400?m2)?9mm12?0即

m1m2(400?m1)(400?m2)49?在(160,400)上为增函数. m400?my1?y2?

4949??(?) m1400?m1m2400?m2所以(m2?m1)y1?y2函数y?4499?)?(?)m1m2400?m1400?m2?(所以当m=160即x?410时取”=”,函数y有最小值, 所以弧

上存在一点，当x?410时使建在此处的垃

?4(m2?m1)9(m1?m2) ?m1m2(400?m1)(400?m2)49?]m1m2(400?m1)(400?m2)?(m2?m1)[圾处理厂对城A和城B的总影响度最小. 【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 9.(2009山东卷文)（本小题满分12分） 已知函数f(x)??(m2?m1)4(400?m1)(400?m2)?9m1m2,

m1m2(400?m1)(400?m2)13ax?bx2?x?3,其中a?0 3因为04×240×240 9 m1m2<9

×

160

×

160

所

以

（1） 当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值? （2） 已知a?0,且f(x)在区间(0,1]上单调递增,试

4(?m1400?m2m1(m24?0m0?1)?m(4m200?01, )m(2400)用a表示出b的取值范围.

92解: )(1)由已知得f'(x)?ax?2bx?1,令f'(x)?0,

4(400?m1)(400?m2)?9mm12?0即所以(m2?m1)m1m2(400?m1)(400?m2)49?在(0,160)上为减函数. m400?m49同理,函数y??在(160,400)上为增函数,设

m400?m得ax?2bx?1?0,

2f(x)要取得极值,方程ax2?2bx?1?0必须有解, a?0,即b?a, 此时方程所以△?4b?4ax2?2bx?1?0的根为

22y1?y2函数y?160

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11或x??(舍去),

aa令g'(x)?0得x??2b?4b2?4a?b?b2?ax1??2aa?2b?4b2?4a?b?b2?a, x2??2aa所以f'(x)?a(x?x1)(x?x2)

,

当

a?1时,0?11?1,当x?(0,)时aag'(x)?0,g(x)??ax1?单调增函数; 22x当

x?(1,1]a时

当a?0时, x f’(x) f (x) (-∞,x1) ＋ 增函数 x 1 0 极大值 (x1,x2) － 减函数 x2 0 极小值 (x2,+∞) ＋ 增函数 g'(x)?0,g(x)??ax1?单调减函数, 22x所以当x?1时,g(x)取得最大,a最大值为g(1)??a. a所以b??a 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当a?0时,

x f’(x) f (x) (-∞,x2) － 减函数 x 2 0 极小值 (x2,x1) ＋ 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) － 减函数 当0?a?1时,1?1,此时g'(x)?0在区间(0,1]恒成a立,所以g(x)??所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当a,b满足b?a时, f(x)取得极值.

ax1?在区间(0,1]上单调递增,当22xa?1x?1时g(x)最大,最大值为g(1)??,所以

2a?1b??

22综上,当a?1时, b??a; 当0?a?1时,

]单调递增,需使(2)要使f(x)在区间(0,1上

b??a?1 2(0,1]上恒成立. f'(x?)a2x?2b?x1?在0ax1?,x?(0,1]恒成立, 所以22xax1b?(??)ma x22x1a(x2?)ax1a1a, ?设g(x)??,g'(x)???2?222x22x2x即b??【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 10.设函数f(x)?数a>1

13x?(1?a)x2?4ax?24a，其中常3欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。

解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解

：

（

I

?a?1,?4???a(a?3)(a?6)?0, 解得 1

11.（2009广东卷理）（本小题满分14分）

已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线

）

f?(x)?x2?2(1?a)x?4a?(x?2)(x?2a)

由a?1知，当x?2时，f?(x)?0，故

y?2x平行，且y?g(x)在x??1处取得极小值m?1(m?0)．设f(x)?g(x)． xf(x)在区间(??,2)是增函数；

当2?x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数；

当x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间

（1）若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值；

（2）k(k?R)如何取值时，函数y?f(x)?kx存在零点，并求出零点．

解：（1）依题可设g(x)?a(x?1)2?m?1 (a?0)，

(2a,??)是增函数。

则g'(x)?2a(x?1)?2ax?2a；

综上，当a?1时，f(x)在区间(??,2)和

又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2

(2a,??)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。

（II）由（I）知，当x?0时，f(x)在x?2a或x?0处取得最小值。

a?1

?g(x)?(x?1)?m?1?x?2x?m22，

1f(2a)?(2a)3?(1?a)(2a)2?4a?2a?24a

3432 ??a?4a?24a

3 f(0)?24a 由假设知

f?x??设

g?x?m?x??2， xxP?xo,yo?，

则

22|PQ|2?x0?(y0?2)2?x0?(x0?m2) x0?a?1??f(2a)?0, 即?f(0)?0,?m2?2x?2?2m?22m2?2m?22|m|?2m

x020m22当且仅当2x?2时，|PQ|取得最小值，即

x020欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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|PQ|取得最小值2

当m?0时，

x??(22?2)m?2 解得

m； 2当k?1?函

数

11(m?0)，或k?1?（m?0）时， mmm?2?1

当m?0时，

y??f??x有k两x个零点

(?22?2)m?2 解得

1?1?m(1?k)； x?k?1当k?1?m??2?1

（

2

）

由

1时，函数y?f?x??kx有一零点my???2?1f?m?xx(x??02)，得k1x???m. ?k0?1x 已知函数f(x)?x??k?x??1?k? ?*? x?2x?m?012.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）

当k?1时，方程?*?有一解x??m，函数22?a(2?lnx),a(?，0)讨论xf(x)的单调性.

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。 解

：

y?f?x??kx有一零点x??m； 2当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0，

若m?0，k?1?函

数

1， mf(x)的定义域是

y??f??x有k两x个零点

2ax2?ax?2. (0,+?),f?(x)?1?2??2xxxx?1?1?m(1?k)?2?4?4m(1?k)，即x?；

k?12(1?k)1若m?0，k?1?，

m函

数

2设g(x)?x?ax?2,二次方程g(x)?0的判别式

??a2?8.

有k两x个

零

点

① 当??a?8?0，即0?a?22时，对一切x?0都有f?(x)?0,此时f(x)在(0,??)上是增函数。 ② 当??a?8?0,即a?22时，仅对x?22y??f??xx?1?1?m(1?k)?2?4?4m(1?k)，即x?；

k?12(1?k)2有

当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1?k??0,

f?(x)?0,对其余的x?0都有f?(x)?0,此时f(x)在(0,??)上也是增函数。

k?1?1, m1??m k?1函数y?f?x??kx有一零点x?③ 当??a?8?0，即a?22时， 方程

2综上，当k?1时, 函数y?f?xx一零点??k有

g(x?)0两个不同的实根有

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a?a2?8a?a2?8,x2?,0?x1?x2. x1?22由

2t?at?1?02得

a?a2?8t?4或

x f?(x) f(x) (0,x1) + 单调递增? x1 0 极大 (x1,x2) _ 单调递减x2 0 (x2,??) + a?a2?8 t?4? 极小 单调递增 a?a2?8a?a2?8或x?0或x? ?0?x?44又

由

2t2?at??0得

a?a2?8此时f(x)在(0,)上单调递增, 在

2a?a2?8a?a2?8(,)是上单调递减, 在

22(a?a?8,??)上单调递增.

22a?a2?8a?a2?8a?a2?8a?a2?8 ?t???x?4422综上①当0?a?22时, f(x)在(??,0)及(0,??)上都是增函数.

13.（2009安徽卷文）（本小题满分14分）

a?a2?8a?a2?8②当a?22时, f(x)在(,)22上是减函数,

已知函数（Ⅰ）讨论

的单调性；

，a＞0，

a?a2?8a?a2?8在(??,0)(0,)及(,??)上都是

22增函数.

(2)当a?3时,由(1)知f(x)在?1,2?上是减函数.

2?2,e在???上是增函数.

（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。期中

e=2.71828?是自然对数的底数。

【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问

2中所涉及到的单调性来求函数f(x)在??1,e??上的值

又

f(1)?0,f(2)?2?3ln2?0f(e2)?e2?2?5?0 2e域。

【解析】(1)由于f(x)?1?2a? 2xx?函数

2f(x)在??1,e??上的值域为

12令t?得y?2t?at?1(t?0)

x①当??a?8?0,即0?a?22时, f(x)?0恒成立.

22??2 2?3ln2,e??52??e??14.（2009江西卷文）（本小题满分12分） 设函数f(x)?x?392x?6x?a． 2?f(x)在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.

②当??a?8?0,即a?22时

（1）对于任意实数x，f?(x)?m恒成立，求m的最大值；

（2）若方程f(x)?0有且仅有一个实根，求a的取值

2欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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范围．

(0,1]. 是: (??,0)，(2)

即

由

解：(1) f'(x)?3x2?9x?6?3(x?1)(x?2), 因为

x?(?,?,??f'(x)?m,

3x2?9x?(6?m)?0恒成立,

所以 ??81?12(6?m)?0, 得m??x?1?kx?kx2xf(x)?k(1?x)f(x)?e2x'3，即4?(x?1)(?kx?1)xe?0,

x23m的最大值为?

4 (2) 因为 当x?1时, f'(x)?0;当1?x?2时,

得：(x?1)(kx?1)?0.

故：当 0?k?1时, 解集是：{x1?x?}；

当 k?1时，解集是： ?； 当 k?1时, 解集是：{x1kf'(x)?0;当x?2时, f'(x)?0;

所以 当x?1时,f(x)取极大值

1?x?1}.k16.（2009天津卷文）（本小题满分12分）

设函

数

f(1)?5?a; 21f(x)??x3?x2?(m2?1)x,(x?R,)其中m?0

3（

Ⅰ

）

当

当x?2时,f(x)取极小值 f(2)?2?a; 故当f(2)?0 或f(1)?0时, 方程f(x)?0仅有一个实根. 解得 a?2或a?m?1时，曲线

处的切线斜率 y?f(x)在点（1，f（1））（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，

5. 215.（2009江西卷理）（本小题满分12分）

ex设函数f(x)?

x（1） 求函数f(x)的单调区间；

x1,x2，且x1?x2。若对任意的x?[x1,x2]，

f(x)?f(1)恒成立，求m的取值范围。

【答案】（1）1（2）f(x)在(??,1?m)和(1?m,??)内减函数，在(1?m,1?m)内增函数。函数f(x)在

'（2） 若k?0，求不等式f(x)?k(1?x)f(x)?0的

解集．

解： (1)

f'(x)??1x1xx?1xe?e?2e, 由2xxxx?1?m处取得极大值f(1?m)，且

f'(x)?0,得 x?1.

'因为 当x?0时,f(x)?0； 当0?x?1''21f(1?m)=m3?m2?

33函数f(x)在x?1?m处取得极小值f(1?m)，且

时,f(x)?0； 当x?1时,f(x)?0；

所以f(x)的单调增区间是:[1,??)； 单调减区间

21f(1?m)=?m3?m2?

33【

解

析

】

解

：

当

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m?1时，f(x)?13x?x2,f/(x)?x2?2x,故f'(1)?1 3若x1?1?x2,则f(1)??(1?x1)(1?x2)?0，而f(x1)?0，不合题意

若1?x1?x2,则对任意的x?[x1,x2]有

13所以曲线y?f(x)在点（处的切线斜1，f（1））率为1.

（2）解：f'(x)??x2?2x?m2?1，令

x?x1?0,x?x2?0,

f'(x)?0，得到x?1?m,x?1?m

则

因为m?0,所以1?m?1?m

当x变化时，f(x),f'(x)的变化情况如下表：

1f(x)???x(x?x1)(x?x2)?03又

f(x1)?0，所以函数f(x)在x?[x1,x2]的最小值为

0，于是对任意的x?[x1,x2]，f(x)?f(1)恒成立的充

x f'(x) f(x) (??,1?m)1 ?m (1?m,1?m)1 ?m (1?m,??)

+ 0 极小 值 - 0 极大值 + 要条件是f(1)?m?2133?0,解得? ?m?333

综上，m的取值范围是(,13) 23f(x)在(??,1?m)和(1?m,??)内减函数，在(1?m,1?m)内增函数。

函数f(x)在x?1?m处取得极大值f(1?m)，且

【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，

导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。 17.(2009湖北卷理)(本小题满分14分) （注意：在试．．

21f(1?m)=m3?m2?

33函数f(x)在x?1?m处取得极小值f(1?m)，且

题卷上作答无效） ．．．．．．．

在

R

上

定

义

运

算

?:p?q??1。?p?c??q?b??4bc（b、c为实常数）

3221f(1?m)=?m3?m2?

33（

3

）

解

：

由

题

设

，

记f1??????2c，f2??????2b，??R.令

f????f1????f2???.

11f(x)?x(?x2?x?m2?1)??x(x?x1)(x?x2)

33122所以方程?x?x?m?1=0由两个相异的实根

34x1,x2，故x1?x2?3，且??1?(m2?1)?0，解

311得m??(舍)，m?

22因

为

???如果函数f???在??1处有极什?3,试确定

的值；

4b、c

????求曲线y?f???上斜率为c的切线与该曲线的公

共点；

?????记g?x??f??x?|??1?x?1?的最大值为M.若

3x1?x2,所以2x2?x1?x2?3,故x2??1

2M?k对任意的b、c恒成立，试示k的最大值。

当b?1时，函数y?f?(x)得对称轴x=b位于区间

解欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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[?1,1]之外

f?(2)?12?8b?c?5得8b?c?7?0??②

联立①②，解得b??1,c?1. 所

以

函

数

的

解

析

式

为

此时M?max{g(?1),g(1),g(b)}

由f?(1)?f?(?1)?4b,有f?(b)?f?(?1)?(bm1)2?0① 若

f(x)?x3?2x2?x?2 ???????????

??4分

?1?b?0,则f?(1)?f?(-1)?f?(b),?g(-1)?max{g(?1),g(b)}

132（II）因为g(x)?x?2x?x?2?mx

于是31111?(xM?max{f?(?1),f?(b)}?(f?(1)?f?(b))?(f?(1)令?gf?(b))?)?3x2(?b4?x1)?21 ?m?0

2223??f(b)?，② 若0?b?1，则f?(=1)?f(1)2当函数有极值时，则??0，方程3x?4x?1?1m?03?g(1)?max{g(?1),g(b)}

于是

有实数解，

由??4(1?m)?0，得m?1.

1111222?(1mf?M?max{f?(?1),f?(b)}?(f?(?1)?f?(b))?(f?(?1)?b时，))?g?(b??1)0? x?，在x?左右x)①当有实数2222331两侧均有g?(x)?0，故函数g(x)无极值 综上，对任意的b、c都有M?

2b?0,c?而当，

的最大值M?112时，g(x)??x?在区间[?1,1]上22?②当m?1时，g?(x)0有两个实数根

1 21211x1?(2?1?m),x2?(2?1?m),g?(x),g(x)情

33况如下表： x 故M?K对任意的b，c恒成立的k的最大值为18.（2009四川卷文）（本小题满分12分）

(??,x1) x1 0 极大值 (x1,x2) x2 - ↘ 0 极小值 (x2??) + ↗ g?(x) g(x) + ↗ 已知函数f(x)?x?2bx?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10。 （I）求函数f(x)的解析式； （II）设函数g(x)?f(x)?32所以在m?(??,1)时，函数g(x)有极值； 当x?1mx，若g(x)的极值存在，31(2?1?m)时，g(x)有极大值；当3求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值.

【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有f(2)?0,即

1x?(2?1?m)时，g(x)有极小值；

3 ????????????

?12分

19.（2009全国卷Ⅱ理）(本小题满分12分)

设函数f?x??x?aIn?1?x?有两个极值点x1、x2，

24b?c?3?0??①

又

f?(x)?3x2?4bx?c，由已知

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且x1?x2

（I）求a的取值范围，并讨论f?x?的单调性；

调递减。

1?2In2（II）证明：f?x2??4111?2ln2?当x?(?,0)时,h?x??h(?)?

2241?2In2故f?x2??h(x2)?．

4

20.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）

已知函数f(x)?x3?bx2?cx的导函数的图象关于直线x=2对称.

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若f(x)在x?t处取得最小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域。

解: （Ⅰ）f?(x)?3x2?2bx?c.因为函数f?(x)的图象关于直线x=2对称，

所以?a2x2?2x?a?(x??1) 解: （I）f??x??2x?1?x1?x 令g(x)?2x2?2x?a，其对称轴为x??1。由2题意知x1、x2是方程g(x)?0的两个均大于?1的

???4?8a?0不相等的实根，其充要条件为?，得

?g(?1)?a?00?a?1 2⑴当x?(?1,x1)时，f??x??0,?f(x)在(?1,x1)内为增函数；

⑵当x?(x1,x2)时，f??x??0,?f(x)在(x1,x2)内为减函数；

⑶当x?(x2,??)时，f??x,??0?在f(x)2b?2，于是b??6. 6（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?x?6x?cx，

32f?(x)?3x2?12x?c?3(x?2)2?c?12.

（ⅰ）当c ? 12时，f?(x)?0，此时f(x)无极值。

(x2,??)内为增函数；

（II）由（I）g(0)?a?0,??1?x2?0，2（ii）当c<12时，f?(x)?0有两个互异实根x1,x2.不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2.

a??(2x22+2x2)

当x＜x1时，f?(x)?0， f(x)在区间(??,x1)内为增?f?x2??x22?aln?1?x2??x22?(2x22+2x2)ln?1?x2? 设h?x??x?(2x?2x)ln?1?x?(x??)，

2212函数；

则

当x1＜x＜x2时，f?(x)?0，f(x)在区间(x1,x2)内为

h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x? 减函数;

⑴当x?(?单调递增；

⑵当x?(0,??)时，h??x??0，h(x)在(0,??)单

11,0)时，h??x??0,?h(x)在[?,0)22当x?x2时，f?(x)?0，f(x)在区间(x2,??)内为增函数.

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所以f(x)在x?x1处取极大值，在x?x2处取极小值. 因此，当且仅当c?12时，函数f(x)在x?x2处存在唯一极小值，所以t?x2?2. 于是

(Ⅰ)依题意,得f'(x)?x2?2ax?b 由f'(?1)?1?2a?b?0得b?2a?1. 从

而

g(t)的定义域为

(2,??).由

1f(x)?x3?ax2?(2a?1)x,故f'(x)?(x?1)(x?2a?1).

3令f'(x)?0,得x??1或x?1?2a.

f?(t)?3t2?12t?c?0得c??3t2?12t.

于

是

①当a>1时, 1?2a??1

当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：

x g(t)?f(t)?t3?6t2?ct??2t3?6t2,t?(2,??).

当t?2时，g?(t)??6t2?12t?6t(2?t)?0,所以函数

(??,1?2a) (1?2a,?1) (?1,??) + 单调递增 － 单调递减 + 单调递增 f'(x) f(x) g(t)

在区间(2,??)内是减函数，故g(t)的值域为(??,8).由此得，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和

21.（2009福建卷理）（本小题满分14分） 已知函数f(x)?(?1,??)，单调减区间为(1?2a,?1)。

13②当a?1时，1?2a??1此时有f'(x)?0恒成立，且

x?ax2?bx,且f'(?1)?0 3仅在x??1处f'(x)?0，故函数f(x)的单调增区间为

(1) 试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间；

R

③当a?1时，1?2a??1同理可得，函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)，单调减区间为

（2）令a??1,设函数f(x)在x1,x2(x1?x2)处取得极值，记点M (x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m)),

x1?m?x2,请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线

段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m ?(x1, x2)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（II）若存在点Q(n ,f(n)), x ?n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不

(?1,1?2a)

综上：

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和

(?1,??)，单调减区间为(1?2a,?1)；

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为R；

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和

必给出求解过程） (1?2a,??)，单调减区间为(?1,1?2a). 解法一:

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(Ⅱ)由

a??1得f(x)?13x?x2?3x令3(?1,2)上没有零点，即线段MP与曲线f(x)没有异于

M，P的公共点。 当

f(x)?x2?2x?3?0得x1??1,x2?3

由（1）得f(x)增区间为(??,?1)和(3,??)，单调减区间为(?1,3)，所以函数f(x)在处x1??1,x2?3取得极值，故M（?1,m??2,3?时，

g(m2?4m??0?.g(2))??(m?2)2?0

305）N（3,?9）。 3所以存在m??0,2?使得g(?)?0

即当m??2,3?时,MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点

观察f(x)的图象，有如下现象：

①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线f(x)在点P处切线的斜率f(x)之差Kmp-f'(m)的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－

综上，t的最小值为2.

（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为?1,3? 解法二：

（1）同解法一.

（2）由a??1得f(x)??f'(m)的m正负有着密切的关联；

③Kmp－f'(m)=0对应的位置可能是临界点，故推测：

13x?x2?3x，令3f'(x?)满足Kmp－f'(m)的m就是所求的t最小值，下面给出

2，得x?2x?3?0x1??1,x2?3

由（1）得的f(x)单调增区间为(??,?1)和(3,??)，

证明并确定的t最小值.曲线f(x)在点P(m,f(m))处

单调减区间为(?1,3)，所以函数在处取得极值。故

的切线斜率f'(m)?m?2m?3；

M(?1,2m2?4m?5线段MP的斜率Kmp?

3当Kmp－f'(m)=0时，解得m??1或m?2

5).N(3,?9) 3m2?4m?5m2?4m (Ⅰ) 直线MP的方程为y?x?.

33?m2?4m?5m2?4my?x???33由?

1?y?x3?x2?3x?3?m2?4m?5m2?4mx?) 直线MP的方程为y?(33得x3?3x2?(m2?4m?4)x?m2?4m?0

m2?4m?5m2?4mx?) 令g(x)?f(x)?(33当m?2时，g'(x)?x?2x在(?1,2)上只有一个零点

2线段MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数

g(x)?x3?3x2?(m2?4m?4)x?m2?4m在(-1,m)上有

x?0，可判断f(x)函数在(?1,0)上单调递增，在

零点.

因为函数g(x)为三次函数,所以g(x)至多有三个零点,两个极值点.

又g(?1)?g(m)?0.因此, g(x)在(?1,m)上有零点等价

(0,2)上单调递减，又g(?1)?g(2)?0，所以g(x)在

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于g(x)在(?1,m)内恰有一个极大值点和一个极小值点,即g'(x)?3x2?6x?(m2?4m?4)?0在(1,m)内有两不相等的实数根.

??＝36?12（m2?4m?4）＞0?22?3(?1)?6?(m?4m?4)?0等价于? 即

22?3m?6m?(m?4m?4)?0?m?1???1?m?5??m?2或m??1,解得2?m?5 ?m?1? （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在[0,1]单调增加，故f(x)在[0,1]的最大值为f(1)?e， 最小值为f(0)?1.

从而对任意

x1，x2?[0,1]，有

f(x1)?f(x2)?e?1?2. ???10分

而当??[0, 从

?2]时，cos?,sin??[0,1].

而

又因为?1?m?3,所以m 的取值范围为(2,3)

从而满足题设条件的r的最小值为2. 22.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）

设f(x)?ex(ax2?x?1)，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。 （I） （II）

求a的值，并讨论f（x）的单调性； 证

明

：

f(cos?)?f(sin?)?2 ???12分

23.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=

12x－ax+(a－1)lnx，a?1。 2（1）讨论函数f(x)的单调性；

当

（2）证明：若a?5，则对任意x1，x2?(0,??)，x1?x2，有

??[0,]时，f(cos?)?f(sin?)?2

2解：（Ⅰ）f'(x)?e(ax?x?1?2ax?1).有条件知， f'(1)?0，

故

x2?f(x1)?f(x2)??1。

x1?x2解：(1)f(x)的定义域为(0,??)。

a?3???2分 于

?2a?a???a?1. a?1x2?ax?'f(x)?x?a?x?x?(x?1)(x?1?a)x是

2分

（i）若a?1?1即a?2,则 )f'x?ex?x2?x???exx?x?. (' 故当x?(??,?2)?(1,??)时，f'(x)＜0； 当x?(?2,1)时，f'(x)＞0.

从而f(x)在(??,?2)，(1,??)单调减少，在

(x?1)2f(x)?

x故f(x)在(0,??)单调增加。

(ii)若a?1?1,而a?1,故1?a?2,则当

(?2,1)单调增加. ???6分

x?(a?1,时，1f'(x)?0;

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当x?(0,a?1)及x?(1,??)时，f'(x)?0

故f(x)在(a?1,1)单调减少，在(0,a?1),(1,??)单调增加。

(iii)若a?1?1,即a?2,同理可得f(x)在(1,a?1)单调减少，在(0,1),(a?1,??)单调增加. (II)考虑函数 g(x)?f(x)?x

f'(x)??(x3?3x2?3x?3)e?x?(3x2?6x?3)e?x

?3 ??e?x(x ?9x)x ?? x(x?3)(x?3?e)当x??3或0?x?3时，f'(x)?0; 当?3?x?0或x?3时，f'(x)?0. 从

而

?则

12x?ax?(a?1)lnx?x 2f(x在???单调减少. (

单调增加，在（?，），（)，??）Ⅱ

)

f'(x2)??(x3?3x2?ax?b)e?x?(3x2?6x?a)e?x??e?x[x3a?1a?1g?(x)?x?(a?1)??2xg?(a?1)?1?(a?1?1)

xx由条件得：

由于1

f'而

?即(32?a)故?b0从?,af'(x)??e?x[x3?(a?6)x?4?2a].

f(1x?)当

f(2x?)x1??x02，故

时

f(x1)?f(x2)??1，

x1?x2，

有

1因为f'(?)?f'(?)?0,所以

0?x1?x2?x1?1x3?(a?6)x?4?2a?(x?2)(x??)(x??)

x)f(x)?(x?2)(x2?(???)x???).

将右边展开，与左边比较系数得，

f(x)?2x2?f(?x2)f(········12分 ??1·x2x124.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?(x?3x?ax?b)e

（I） （II）

如a?b??3，求f(x)的单调区间； 若f(x)在(??,?),(2,?)单调增加，在

32?x?????2,???a?2.故

????(???)2?4???12?4a.

又(??2)(??2)?0,即???2(???)?4?0.由此可得a??6.

(?,2),(?,??)单调减少，证明

于是????6.

???＜6.

25.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）

当

（21）解：

（Ⅰ

）

a?b??3时，

已知函数f(x)?x?3ax?1,a?0

3f(x)?(x3?3x2?3x?3)e?x，故

???求f(x)的单调区间；

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????若

f(x)在x??1处取得极值，直线y=my与

???若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；

y?f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。

????求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。

解析：（1）f'(x)?3x2?3a?3(x2?a),

当a?0时，对x?R，有f'(x)?0, 当a?0时，f(x)的单调增区间为(??,??)

a2ax2?a?2解（Ⅰ）f'(x)???,

ax?1(1?x)2(ax?1)(1?x)2∵

f(x)在

x=1处取得极值，∴

当a?0时，由f'(x)?0解得x??a或x?由f'(x)?0解得?a?x?当a?0时，

a；

f'(1)?0,即a?12?a?2?0,解得a?1.

a，

ax2?a?2（Ⅱ）f'(x)?,

(ax?1)(1?x)2∵x?0,a?0, ∴ax?1?0.

①当a?2时，在区间(0,??)上，f'(x)?0,∴

f(x)的单调增区间为

(??,?a),(a,??)；f(x)的单调减区间为(?a,a)。

（2）因为f(x)在x??1处取得极大值， 所以f'(?1)?3?(?1)2?3a?0,?a?1. 所以f(x)?x?3x?1,f(x)?3x?3, 由f(x)?0解得x1??1,x2?1。

由（1）中f(x)的单调性可知，f(x)在x??1处取得极大值f(?1)?1，

在x?1处取得极小值f(1)??3。

因为直线y?m与函数y?f(x)的图象有三个不同的交点，又f(?3)??19??3，f(3)?17?1， 结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(?3,1)。 26.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ln(ax?1)?'3'2f(x)的单调增区间为(0,??).

②当0?a?2时， 由

f'(x)?0解得x?∴

2?a2?a,由f'(x)?0解得x?, aaf(x)的单调减区间为（0，2-a2-a),单调增区间为（，?aa（Ⅲ）当a?2时，由（Ⅱ）①知，

f(x的最小值为)f(?0)

当0?a?2时，由（Ⅱ）②知，f(x)在x?2?aa处取得最小值f(2?a)?f(0)?1, a1?x,x?0，其中1?x综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是[2,??).

a?0

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27.（2009四川卷文）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x3?2bx2?cx?2的图象在与x轴交

x g?(x) (??,x1) x1 + ↗ 0 极大值 (x1,x2) x2 - ↘ 0 极小值 (x2??) + ↗ 点处的切线方程是y?5x?10。

g(x) （I）求函数f(x)的解析式； （II）设函数g(x)?f(x)?1mx，若g(x)的极值存在，3所以在m?(??,1)时，函数g(x)有极值； 当x?求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值.

【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有f(2)?0,即

1(2?1?m)时，g(x)有极大值；当31x?(2?1?m)时，g(x)有极小值；

3 ????????????

?12分

4b?c?3?0??①

又

f?(x)?3x2?4bx?c，由已知

28.（2009湖北卷文）（本小题满分14分）

f?(2)?12?8b?c?5得8b?c?7?0??②

联立①②，解得b??1,c?1. 所

以

函

数

的

解

析

式

为

已知关于x的函数f(x)＝

+

1x3＋bx2＋cx＋3+

bc,其导函数为f(x).令g(x)＝∣f(x) ∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M. (Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-c的值：

f(x)?x3?2x2?x?2 ???????????

??4分

（II）因为g(x)?x?2x?x?2?324，试确定b、31mx 3 （Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2:

12令g?(x)?3x?4x?1?m?0

312当函数有极值时，则??0，方程3x?4x?1?m?03有实数解，

(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知

识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分） （I）解：?f'(x)??x2?2bx?c，由f(x)在x?1处

由??4(1?m)?0，得m?1. ①当m?1时，g?(x)?0有实数x?22，在x?左右33有极值?两侧均有g?(x)?0，故函数g(x)无极值

4 3?②当m?1时，g?(x)0有两个实数根

11x1?(2?1?m),x2?(2?1?m),g?(x),g(x)情

33况如下表：

?f'(1)??1?2b?c?0?可得?14

f(1)???b?c?bc???33?解得??b?1?b??1 ,或??c??1?c?3欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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若

b?1,c??1，则

g(?1)?|?1?2b?c|?2

g(1)?|?1?2b?c|?2f'(x)??x2?2x?1??(x?1)2?0，此时f(x)没有极值； 若

将上述两式相加得：

4?|?1?2b?c|?|?1?2b?c|?4|b|?4，导致矛盾，

，

则

b??1,c?3?M?2

f'?2(x?)x?

1?：g(2x?（Ⅲ）解法3xx)?|f'(?x()|?|?(xx?b)2?1b2?c|

)?

（1）当|b|?1时，由（Ⅱ）可知M?2；

当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：

（2）当|b|?1时，函数y?f'(x）的对称轴x?b位于

x (??,?3) ?3 (?3,1) 1 (1,??) 区间[?1,1]内， f'(x) ? 0 + 0 ? 此时M?max?g(?1),g(1),g(b)?

f(x) ? 极小值?12 ? 极大值由f'(1)??43f '(?1)?4?b,有 f'(b)?f'(?1)?b(?1)2?0 ?当x?1时，f(x)有极大值?43，故b??1，c?3即

①

若

?1b?则

为所求。

（Ⅱ）证法1：g(x)?|f'(x)|?|?(x?b)2?b2?c| f'(1)?f'(?1)?f'(b),?g(?1)?max?g(1),g(b)?， 于

是

当|b|?1时，函数y?f'(x)的对称轴x?b位于区间

M?m??1[?1.1]2之外。

②

若

0?b?1，

则

?f'(x)在[?1,1]上的最值在两端点处取得

f'?(?f1?g(?f1??b)g?

于

是

故M应是g(?1)和g(1)中较大的一个

M?m??12a?2M?g(1)?g(?1)?|?1?2b?c|?|?1?2b?c|?|4b|?4,综上，对任意的b、c都有M?1即M?2

2 证法2（反证法）：因为|b|?1，所以函数y?f'(x)的

而当b?0,c?12时，g(x)??x2?12在区间[?1,1]上对称轴x?b位于区间[?1,1]之外，

的最大值M?1?f'(x)2 在[?1,1]上的最值在两端点处取得。

故M?k对任意的b、c恒成立的k的最大值为12。 故M应是g(?1)和g(1)中较大的一个 解法2：g(x)?|f'(x)|?|?(x?b)2?b2?c| 假设M?2，则

（1）当|b|?1时，由（Ⅱ）可知M?2；

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?a?mf?

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（2）当|b|?1时，函数y?f'(x)的对称轴x?b位于区间[?1,1]内，

此时M?max?g(?1),g(1),g(b)?

值6 值-26 所以，f(x)的极大值是f(?1)?6，极小值是

f(3)??26.

4M?g(?1)?g(1)?2g(h)?|?1?2b?c|?|?1?2b?c|?2|b2?c|（Ⅱ）f'(x)?3x2?6ax?9a2的图像是一条开口向上

?|?1?2b?c?(?1?2b?c)?2(b2?c)|?|2b2?2|?2的抛物线，关于x=a对称.

1'1若?a?1,则f(x)在[1,4a]上是增函数，从而

，即M? 42下同解法1 f'(x)在[1,4a]上的最小值是f'(1)?3?6a?9a2,最

29.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）

大值是f'(4a)?15a2.

已知函数f(x)?x3?3ax2?9a2x?a3. (1) 设a?1，求函数f?x?的极值； (2) 若a?由|f'(x)|?12a,得?12a?3x2?6ax?9a2?12a,于是有

1'，且当x??1,4a?时，f(x)?12a恒4f'(1)?3?6a?9a2??12a,且f'(4a)?15a2?12a.

由

成立，试确定a的取值范围.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

14f'(1)??12a得??a?1,由f'(4a)?12a得0?a?.

3511414所以a?(,1]?[?,1]?[0,],即a?(,].

43545（21）解：

（Ⅰ）当a=1时，对函数f(x)求导数，得

若a>1,则

|f'(a)|?12a2?12a.故当x?[1,4a]时|f'(x)|?12a不恒成立.

所以使|f(x)|?12a(x?[1,4a])恒成立的a的取值范围是(,].

f'(x)?3x2?6x?9.

令 f(x)?0,解得x1??1,x2?3.

''列表讨论f(x),f(x)的变化情况：

'1445x f'(x) (??,?1) + （-1，?1 0 极大3 3） — 0 极小(3,??) + 30.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相

f(x) ? ? ? 邻两墩之间的桥面工程费用为(2?x)x万元。假设桥

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墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。

（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；

（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

解 （Ⅰ）设需要新建n个桥墩，

（2） 当a?2时，求函数f(x)的单调区间与3极值。

本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。 （I）解：

当a?0时，f(x)?x2ex，f'(x)?(x2?2x)ex，故f'(1)?3e所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.

(n?1)x?m，即n=所

m?1 x以 （II）解：f'(x)?x2?(a?2)x?2a2?4aex.

??mm-1)+(2?xx) 2令f'(x)?0，解得x??2a，或x?a?2.由a?知，?2a?xx3256x?mx?2m?256. ?以下分两种情况讨论。 x2若a（1）＞，则?2a＜a?2.当x变化时， （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，3y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(f'(x)??256mx2313m?mx2?2(x2?512). 22x32f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

x ???， ?2 ?a?2，?2a? ?2a ??2a，a?2?a???

+ ↗ 0 极大值 — ↘ 0 极小值 + ↗ 令f'(x)?0，得x?512，所以x=64

当0

当64?x?640时，f'(x)>0. f(x)在区间（64，640）内为增函数，

所以f(x)在x=64处取得最小值，此时，

所以f(x)在(??，?2a)，(a?2，??)内是增函数，在(?2a，a函数f(x)在x??2a处取得极大值f(?2a)，且f(?2a)?3ae

m640n??1??1?9.

x64故需新建9个桥墩才能使y最小。 31.（2009天津卷理）（本小题满分12分） 已知函

数

函数f(x)在x?a?2处取得极小值f(a?2)，且f(a?2)?(（2）若a＜

2，则?2a＞a?2，当x变化时，3f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

f(x)?(x2?ax?2a2?3a)ex(x?R),其中a?R

（1） 当

x ???，a?2? a?2 ?a?2，?2a? ?2a ??2a，???

线

+ ↗ 0 极大值 — ↘ 0 极小值 + ↗ a?0时，求曲

y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜

率；

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?an所以f(x)在(??，a?2)，(?2a，??)内是增函数，在(a?2，?2a)内是减函数。af(n)11?limn?所以limn

n??a?an??a?aa函数f(x)在x?a?2处取得极大值f(a?2)，且f(a?2)?(4?3a)ea?2.（Ⅲ）

（hx)a?ex(x2?m?1)(x?0),所以h?(x)?ex(x2?2x?m?1) ?2函数f(x)在x??2a处取得极小值f(?2a)，且f(?2a)?3ae.

32.（2009四川卷理）（本小题满分12分） 已知a?0,且a?1函数f(x)?loga(1?a)。 （I）求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性；

x令

h?(x)?0,即x2?2x?m?1?0,由题意应有??0，即m?0

① 当m=0时，h?(x)?0有实根x??1，在x??1点

左右两侧均有h?(x)?0故无极值

（II）若n?N,求lim*a;

n???an?af(n)?② 当0?m?1时，h?(x)0有两个实根

（III）当a?e（e为自然对数的底数）时，设

h(x)?(1?ef(x))x(2?m?x1??1?m,x2??1?m 当x变化时，h?(x)、h(x)的变化情况如下表所示：

，若函数h(x)的极值存1)在，求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。 解：（Ⅰ）由题意知1?a?0 当

xx (??,x1) h?(x) + x1 0 极(x1,x2) - x2 0 (x2,0) + h(x) 极小↗ 大↘ 值 ↗ 值 0?a?1时，f(x)的定义域是（0，??）；当a?1时，f(x)的定义域是（??，0）-axlnaaxf?(x)=glogae?x

1?axa?1当

?h(x)的极大值为2e?1?m(1?m)，h(x)的极小值为

2e?1?m(1?m)

③ 当m?1时，h?(x)?0在定义域内有一个实根，

0?a?1时，x?(0,??).因为ax?1?0,ax?0,故f?(x)<0,所以f(x)是减函数

x??1?m

当

….（4分）

a?1时，x?(??,0),因为a?1?0,a?0,故f?(x)?0,所以f(x)是减函数（0，??）综上所述，m?时，函数h(x)有极值；

nf(n)xx同上可得h(x)的极大值为2e?1?m(1?m)

（Ⅱ）因为f(n)?loga(1?a),所以an?1?a

n当0?m?1时h(x)的极大值为2e?1?m(1?m)，

由函数定义域知1?a>0,因为n是正整数，故0

h(x)的极小值为2e?1?m(1?m)

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当m?1时，h(x)的极大值为2e?1?m(1?m)

R

③当a?1时，1?2a??1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)，单调减区间为

33.（2009福建卷文）（本小题满分12分）

13x?ax2?bx,且f'(?1)?0 3 （I）试用含a的代数式表示b；

已知函数f(x)? （Ⅱ）求f(x)的单调区间；

(?1,1?2a)

综上：

（Ⅲ）令a??1，设函数f(x)在x1,x2(x1?x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点； 解法一：

（I）依题意，得f'(x)?x2?2ax?b

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和

(?1,??)，单调减区间为(1?2a,?1)；

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为R；

当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和

(1?2a,??)，单调减区间为(?1,1?2a)

由f'(?1)?1?2a?b?0得b?2a?1 （Ⅱ）由（I）得f(x)? 故

13x?ax2?(2a?1)x（ 3（Ⅲ）当a??1时，得f(x)?313x?x2?3x 3 由f'(x)?x?2x?3?0，得x1??1,x2?3 由（Ⅱ）得f(x)的单调增区间为(??,?1)和

f'(x)?x2?2ax?2a?1?(x?1)(x?2a?1)

令f'*(x)?0，则x??1或x?1?2a ①当a?1时，1?2a??1

当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表： (3,??)，单调减区间为(?1,3)

所以函数f(x)在x1??1.x2?3处取得极值。 故M(?1,).N(3,?9)

53x f'(x) (??,1?2a) + 8MN(?2a,?1) 所以直线(?1??) 的方程为y??x?1

3— 12?2y?+ x?x?3x??332 由?得x?3x?x?3?0

8f(x) ?y??x?单调递增 单调递减 单调递增 1?3?由此得，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和

32 令F(x)?x?3x?x?3

(?1,??)，单调减区间为(1?2a,?1)

易得F(0)?3?0,F(2)??3?0，而F(x)的图

②由a?1时，1?2a??1，此时，f'(x)?0恒成立，

像在(0,2)内是一条连续不断的曲线，

且仅在x??1处f'(x)?0，故函数f(x)的单调区间为

故F(x)在(0,2)内存在零点x0，这表明线段MN欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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与曲线f(x)有异于M,N的公共点 解法二：

（I）同解法一 （Ⅱ）同解法一。

（Ⅲ）当a??1时，得f(x)?识的学习次数（x?N），f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。

（1） 证明：当x?7时，掌握程度的增加量

*13x?x2?3x，由3x f(x?1)?f(x总是下降；)（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间

分别为(115,121],(121,127],(121,133]。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。

证明（1）当x?7时，f(x?1)?f(x)?2，得x1??1,x2?3 f'(x)?x?2x?3?0由（Ⅱ）得f(x)的单调增区间为(??,?1)和(3,??)，单调减区间为(?1,3)，所以函数f(x)在x1??1,x2?3处取得极值，

5故M(?1,),N(3,?9)

3所以直线MN的方程为y??0.4

(x?3)(x?4)8x?1 3而当x?7时，函数y?(x?3)(x?4)单调递增，且

13?2y?x?x?3x??332由?得x?3x?x?3?0 ?y??8x?1?3?解得x1??1,x2?1.x3?3

(x?3)(x?4)>0……..3分

故f(x?1)?f(x)单调递减

?当x?7时，掌握程度的增长量f(x?1)?f(x)总是

下降……………..6分 （2）由题意可知0.1+15ln整理得

?x1??1?x2?1?x3?3?? ??5?11?y??9y?,y??,?312?3?3??所以线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点

a=0.85……………….9分 a?6a?e0.05 a?6得

(1,?11) 3解

34.（2009年上海卷理）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 有时可用函数

e0.05a?0.05?6?20.50?6?123.0,123.0?(121,127]e?1…….13分

由此可知，该学科是乙学科……………..14分

a?0.1?15ln,(x?6)??a?xf(x)??

x?4.4?,(x?6)?x?4?描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知

35.（2009年上海卷理）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

已知函数y?f(x)的反函数。定义：若对给定的

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实数a(a?0)，函数y?f(x?a)与y?f?1(x?a)互为反函数，则称y?f(x)满足“a和性质”；若函数

f(x)??x?b(b?R)………..10分

（3）设a?0，x0?0，且点(x0,y0)在y?f(ax)图像上，则(y0,x0)在函数y?f?1(ax)图象上， 故

y?f(ax)与y?f?1(ax)互为反函数，则称y?f(x)满足“a积性质”。

（1） 判断函数g(x)?x2?1(x?0)是否满足“1和性

质”，并说明理由；

（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数； （3） 设函数y?f(x)(x?0)对任何a?0，满足“a积性质”。求y?f(x)的表达式。

f(ax0)?y0，可得

．．．．．12ay0?f(x0)?af(ax0)， ．分

f?1(ay0)?x0，

令ax0?x，则a?

解：（1）函数g(x)?x2?1(x?0)的反函数是

xx

。?f(x0)?f(x)，即

x0x0

g?1(x)?x?1(x?1)

?g?1(x?1)?x(x?0)

而g(x?1)?(x?1)2?1(x??1),其反函数为

y?x?1?1(x?1)

故函数g(x)?x?1(x?0)不满足“1和性质” （2）设函数f(x)?kx?b(x?R)满足“2和性质”，

2x0f(x0)。 ．．．．．．14分 xkf(x)?(k?0，)此时综上所述，1?b1qn?1?bnxkkf(ax)?，其反函数就是y?，

axaxk?1?1而f(ax)?，故y?f(ax)与y?f(ax)互为反

axf(x)?函数 。 ．．．．．．16分

36.（2009上海卷文）（本题满分16分）本题共有2个

小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数

k?0.

?f?1(x)?6分 而

x?bx?2?b(x?R),?f?1(x?2)?…….kkf(x?2)?k(x?2)?b(x?R),得反函数

a?0.1?15ln　x,???a?x f(x)???x?4.4,　　　　　?6??x?46,

x??b2ky?………….8分

kx?2?bx?b?2k由“2和性质”定义可知=对x?Rkk恒成立

描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数（x?N），f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.

（1）证明：当x ?7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)

*?k??1,b?R,即所求一次函数为

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总是下降；

f(?2x)?故a??x(

?b0（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,

又f(x)在x=0处取得极限值，故f?(x)?0,从而b?0

(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.

由曲线y=f(x)在（1，f（1））处的切线与直线

0.4证明（1）当x?7时，f(x?1)?f(x)?

(x?3)(x?4)而当x?7时，函数y?(x?3)(x?4)单调递增，且

x?2y?1?0相互垂直可知

该切线斜率为2，即f?(1)?2,有2a=2,从而a=1

(x?3)(x?4)?0

故函数f(x?1)?f(x)单调递减

ex(k?0) （Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)?2x?kex(x2?2x?k)g?(x)?(k?0) 22(x?k)令g?(x)?0,有x2?2x?k?0 （

1

）

当

当x?7时，掌握程度的增长量f(x?1)?f(x)总是下降

a?0.85 (2)有题意可知0.1?15lna?6a?e0.05 整理得

a?6解

得

?4k 即当?k>14时，g?(x)>0?在R上恒成立，0?故函数g(x)在R上为增函数

（

2

）

当

e0.05a?0.05?6?20.50?6?123.0,123.0?(121,127]e?1…….13分

由此可知，该学科是乙学科……………..14分 37.（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）

2设函数f(x)?ax?bx?k(k?0)在x?0处取得

?4k即当?k=14时，??ex(x?1)2g?(x)?2?0(x?0)

(x?k)2K=1时，g（x）在R上为增函数 （

3

）

??4?4k?0,即当0

程

极值，且曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线x?2y?1?0．

（Ⅰ）求a,b的值；

x2?2x?k?0有两个不相等实根

x1?1?1?k,x2?1?1?k

当

x?(??,1?1?k)是g?(x)?0,故g(x)在（??,1?1?k)上函数

ex（Ⅱ）若函数g(x)?，讨论g(x)的单调性．

f(x)解

（

Ⅰ

）

因

)当x?（1?1?k,1?1?k）时，g?(x?上为减函数 g(x)在（1?1?k,1?1?k）0故

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x?（1?1?k，+?）时，

g?(x?)故

1g'(x)?0,得x1??1,x2??

3当x?(??,?1)时, g'(x)?0,故g(x)在

上为增函数 g(x)在（1?1?k，+?）38.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，

（Ⅱ）问5分）

已知f(x)?x2?bx?c为偶函数，曲线y?f(x)过点(2,5)，g(x)?(x?a)f(x)．

（Ⅰ）求曲线y?g(x)有斜率为0的切线，求实数

(??,?1)上为增函数

当x?(?1,?)时, g'(x)?0,故g(x)在

13a的取值范围；

（Ⅱ）若当x??1时函数y?g(x)取得极值，确定y?g(x)的单调区间．

解: （Ⅰ）?f(x)?x2?bx?c为偶函数,故

1(?1,?)上为减函数

31当x?(?,??)时, g'(x)?0,故g(x)在

31(?,??)上为增函数 3

f(?x)?f(x)即有

(?x)2?b(?x)?c?x2?bx?c 解得b?0

2又曲线y?f(x)过点(2,5),得2?c?5,有c?1

?g(x)?(x?a)f(x)?x3?ax2?x?a从而g'(x)?3x2?2ax?1,?曲线y?g(x)有斜率为0的

'切线，故有g(x)?0有实数解.即3x?2ax?1?0有

2实数解.此时有??4a?12≥0解得

2?a???,?3????3,?? 所以实数a的取

值范围:a???,?3???3,??

??????（Ⅱ）因x??1时函数y?g(x)取得极值,故有

g'(?1)?0即3?2a?1?0,解得a?2

又g(x)?3x?4x?1?(3x?1)(x?1) 令

'2欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com

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