2011年高考数学试题分类汇编3 - 三角函数

三、三角函数

一、选择题

（a?b）?c?4，1.（重庆理6）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足且C=60°，

22则ab的值为

42

A．3 B．8?43 C． 1 D．3

【答案】A

0＜?＜?2，

-?2＜?＜0cos(?4??)?13，

cos(?4??2)?33，则

2.（浙江理6）若

cos(??，

?2)?

?33

533

A．3 B．C．9?69

D．

【答案】C

3.（天津理6）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且

AB?CD,2AB?3BD,BC?2BD，则sinC的值为

33

A．3

6B．6

6

C．3 D．6

【答案】D

4.（四川理6）在?ABC中．sinA?sinB?sinC?sinBsinC．则A的取值范围是

222?

A．（0，6]

???D．[ 3，?）

B．[ 6，?） C．（0，3]

【答案】C

【解析】由题意正弦定理

a?b?c?bc?b?c?a?bc?222222b?c?abc222?1?cosA?12?0?A??3

???0,3f(x)?sin?x5.（山东理6）若函数 (ω>0)在区间????????3,2??上单调递增，在区间??上单

第 1 页 共 16 页

调递减，则ω=

32 A．3 B．2

C．2 D．3

【答案】C

y?x2?2sinx6.（山东理9）函数

的图象大致是

【答案】C

7.（全国新课标理5）已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线

y?2x上，则cos2?=

?45 （B）

?334（A） 【答案】B

5 （C） 5 （D）5

?8.（全国大纲理5）设函数f(x)?cos?x(?＞0)，将y?f(x)的图像向右平移3个单位长

度后，所得的图像与原图像重合，则?的最小值等于

1

A．3 B．3 C．6 D．9

【答案】C

9.（湖北理3）已知函数

f(x)?3sinx?cosx,x?R，若f(x)?1，则x的取值范围为

??????x|k???x?k???,k?Zx|2k???x?2k???,k?Z????33???? A． B．

{x|k???6?x?k??5?6,k?Z}{x|2k???6?x?2k??5?6,k?Z} C． D．

【答案】B

10.（辽宁理4）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，

第 2 页 共 16 页

b则a?

（C）3 （D）2 （A）23 （B）22 【答案】D

（?11.（辽宁理7）设sin4?79 （B）

+?）=13，则sin2??

17?1（A）【答案】A

9 （C）9 （D）9

sin2?212.（福建理3）若tan?=3，则cosa的值等于

A．2 B．3 C．4 【答案】D

D．6

?13.（全国新课标理11）设函数f(x)?sin(?x??)?cos(?x??)周期为?，且f(?x)?f(x)则

(0,(??0,|?|?2的最小正

)?（A）y?f(x)在2单调递减 （B）y?f(x)在4)(?3?,4)单调递减

)（C）y?f(x)在【答案】A

(0,?2单调递增 （D）y?f(x)在4)(?3?,4单调递增

14.（安徽理9）已知函数f(x)?sin(2x??)，其中?为实数，若

f(f(x)?f(?6)对x?R恒

?2)?f(?)成立，且

，则f(x)的单调递增区间是

????k?,k???(k?Z)2? （B）?

?????k??,k???(k?Z)36?（A）?

?2??????k??,k??(k?Z)k??,k??(k?Z)???63?2?（C）? （D）?

【答案】C

二、填空题

第 3 页 共 16 页

15.（上海理6）在相距2千米的A．B两点处测量目标C，若?CAB?75,?CBA?60，

则A．C两点之间的距离是 千米。 【答案】6 y?sin(00?2?x)cos(?6?x)16.（上海理8）函数

2?3的最大值为 。

【答案】

4

17.（辽宁理16）已知函数f(x)=Atan（?x+?）

??0,|?|??2），y=f(x)的部分图像如下图，则

（

f(?24)? ．

【答案】3 18.（全国新课标理16）?ABC中，B?60?,AC?【答案】27 cos2?????nsisin???cos??0,??2?，219.（重庆理14）已知，且则

13,，则AB+2BC的最大值为_________．

????????4?的值为__________ ??142【答案】

20.（福建理14）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC边上，∠ADC=45°，

则AD的长度等于______。2

【答案】

第 4 页 共 16 页

21.（北京理9）在?ABC中。若b=5，

a=_______________。

25210?B??4，tanA=2，则sinA=____________；

【答案】5

?522.（全国大纲理14）已知a∈（2，?），sinα=5，则tan2α=

?43

【答案】

23.（安徽理14）已知?ABC 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的

等差数列，则?ABC的面积为_______________.

【答案】153

tan(x??4)?2,tanx24.（江苏7）已知

4 则tan2x的值为__________

【答案】9 三、解答题

25.（江苏9）函数f(x)?Asin(wx??),(A,w,?是常数，A?0,w?0)的部分图象如图所

示，则f(0)=

6

【答案】2

26.（北京理15）

f(x)?4cosxsin(x??6)?1 已知函数

。

第 5 页 共 16 页

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期：

??????6,4?f(x)?上的最大值和最小值。 （Ⅱ）求在区间?f(x)?4cosxsin(x?

?6)?1 解：（Ⅰ）因为

3212

?4cosx(sinx?cosx)?1

??

3sin2x?2cos2x?13sin2x?cos2x

?2sin(2x??6

)所以f(x)的最小正周期为?

??6?x??4,所以??6?2x??6?2?3. （Ⅱ）因为

2x?

?6??2,即x??6时，f(x)取得最大值2；

于是，当

2x??6???6,即x???6时,f(x) 当

取得最小值—1.

27.（江苏15）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c

sin(A??613)?2cosA,（1）若

cosA? 求A的值；

,b?3c（2）若

，求sinC的值.

本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力。

解：（1）由题设知

sinAcos?6?cosAsin?6?2cosA,从而sinA?3cosA,所以cosA?0，

?.tanA?3,因为0?a??,所以A?3

第 6 页 共 16 页

cosA?13,b?3c及a2?b?c?2bccosA,得a222?b?c.22（2）由

B??2,所以sinC?cosA?13.

故△ABC是直角三角形，且28.（安徽理18）

在数1和100之间插入n个实数，使得这n?2个数构成递增的等比数列，将这n?2个数的乘积记作（Ⅰ）求数列（Ⅱ）设

Tn，再令

an?lgTn,n≥1.

{an}的通项公式；

求数列

{bn}bn?tanan?tanan?1,的前n项和

Sn.

本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.

解：（I）设

l1,l2,?,ln?2构成等比数列，其中 ① ②

2t1?1,tn?2?100,则

Tn?t1?t2???tn?1?tn?2,Tn?tn?1?tn?2???t2?t1,①×②并利用

2t1tn?3?i?t1tn?2?10(1?i?n?2),得

,?an?lgTn?n?2,n?1.Tn?(t1tn?2)?(t2tn?1)???(tn?1t2)?(tn?2t1)?102(n?2)

（II）由题意和（I）中计算结果，知

bn?tan(n?2)?tan(n?3),n?1.

tan1?tan((k?1)?k)?tan(k?1)?tank 另一方面，利用

tan(k?1)?tank?tan(k?1)?tanktan11?tan(k?1)?tank

,?1. 得

nn?2k

Sn? 所以

n?2?bk?1??tan(k?1)?tankk?3

???k?3(tan(k?1)?tanktan1tan1?n.?1)tan(n?3)?tan3

29．（福建理16）

第 7 页 共 16 页

13已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=3。 （I）求数列{an}的通项公式；

x??6处取得最大值，且最大值

（II）若函数f(x)?Asin(2x??)(A?0,0???p??)在

为a3，求函数f（x）的解析式。

本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。

q?3,S3?133得a1(1?3)1?33?133, 解：（I）由

a1?1

解得

.3 13?3n?1所以

an??3n?2.

an?3n?2（II）由（I）可知

,所以a3?3.

因为函数f(x)的最大值为3，所以A=3。

x??6时f(x)取得最大值，

因为当

sin(2??6??)?1.所以

?.6

f(x)?3sin(2x?0????,故??又

?所以函数

f(x)的解析式为

6

)30.（广东理16）

f(x)?2sin(13x??6),x?R. 已知函数

f(5?4)

（1）求的值；

第 8 页 共 16 页

?106????,???0,?,f(3a?)?,f(3??2?)?,2135求cos(???)的值． ?2?（2）设

f(5?15?)?2sin(???)4346 2 解：（1）

??2sin?4?

?；

10 （2）

6???1???????f?3????2sin???3??????2sin?,132?2?6???3?

?????1??f(3??2?)?2sin??(3??2?)???2sin?????2cos?,56?2??3?

?sin??513,cos??35 ,?cos??1?sin??2

sin??1?cos??2?5?1????13??3?1????5?22?1213,

?45,

35?1213?513?45?56.65

cos(???)?cos?cos??sin?sin?? 故

31.（湖北理16）

a?1.b?2.cosC?1.设?ABC的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知（Ⅰ）求?ABC的周长 （Ⅱ）求

cos?A?C?4

的值

本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分10分）

?c?a?b?2abcosC?1?4?4?22214?4

解：（Ⅰ）

?c?2.

??ABC的周长为a?b?c?1?2?2?5.

第 9 页 共 16 页

1?cosC?,?sinC?4 （Ⅱ）

15?sinA?asinCc?1?cosC?2121?()?4154.

42?158

?a?c,?A?C，故A为锐角，

?cosA?1?sinA?21?(158)2?7

8

78?14?158?158?.16 11.?cos(A?C)?cosAcosC?sinAsinC?

32.（湖南理17）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC． （Ⅰ）求角C的大小；

?（Ⅱ）求3sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。 解析：（I）由正弦定理得sinCsinA?sinAcosC. 因为0?A??,所以

sinA?0.从而sinC?cosC.又cosC?0,所以tanC?1,则C?3?4?4

B??A.（II）由（I）知于是 )?3sinA?cos(??A)3sinA?cos(B???43sinA?cosA?2sin(A?3?4,??6).,从而当A??0?A??6?A??6?11?12?6??2,即A??3时,

2sin(A??)6取最大值2．

3sinA?cos(B??综上所述，33.（全国大纲理17）

4的最大值为2，此时

)A??3,B?5?12

.第 10 页 共 16 页

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=2b，求 解：由a?c? sinA?2b及正弦定理可得 siCn?2sBi n

.…………3分

C．

又由于A?C?90?,B?180??(A?C),故

C? cossiCn?2sAin?(C

) ? ?22sin(9?0?C2

)2cosC2 .

22 …………7分

2cosC?sinC?cos2C,

cCo s??5C?) cos(4 因为0??C?90?， 所以2C?45??C, C?15?

34.（山东理17）

cosA-2cosC=2c-ab在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知

sinCcosB．

（I）求sinA的值；

1 （II）若cosB=4，b=2，?ABC的面积S。 解：

a?bsinB?csinC?k, （I）由正弦定理，设sinA2c?a?2ksinC?ksinAksinB

,则

b?2sinC?sinAsinB

cosA?2cosC所以

cosB?2sinC?sinAsinB.

第 11 页 共 16 页

即(cosA?2cosC)sinB?(2sinC?sinA)cosB， 化简可得sin(A?B)?2sin(B?C). 又A?B?C??， 所以sinC?2sinA

sinC?2.因此sinA

sinC?2 （II）由sinA由余弦定理

得c?2a.

b?a?c?2accosB及cosB?得4=a?4a?4a?22222214,b?2,14.

解得a=1。 因此c=2

cosB?14,且G?B??.又因为

sinB?

.154所以

S?12

12?1?2?154?154.acsinB?因此

35.（陕西理18）

叙述并证明余弦定理。 解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦

之积的两倍。或：在?ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有

a?b?c?2bccosA b?a?c?2accosB c?a?b?2abcosC

222222222 证法一 如图

????????2a?BC?BC

第 12 页 共 16 页

?????????????????(AC?AB)?(AC?AB) ????2????????????2?AC?2AC?AB?AB ????2????????????2?AC?2AC?ABCOSA?AB

?b?2bccosA?c

22即a?b?c?2bccosA 同理可证b?a?c?2accosB

c?a?b?2abcosC

222222222证法二 已知?ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角

坐标系，则C(bcosA,bsinA),B(c,0),

?bcosA?2bccosA?c?bsinA b?a?c?2accosB

22222222?a?BC22?(bcosA?c)?(bsinA)22

同理可证

b?c?a?2cacosB,222

c?a?b?2abcosC.

22236.（四川理17）

f(x)?sin(x?74?)?cos(x?34?),x?R已知函数

（1）求f(x)的最小正周期和最小值；

cos(??a)?45,cos(???)??45,(0??????（2）已知

f(x)?sinxcos?2sinx?)22，求证：[f(?)]?2?0

7?4?cosxsin7?4?cosxcos3?4?sinxsin3?42cosx)?2sin(x??4解析：

第 13 页 共 16 页

?T?2?,f(x)max?2

45??(1)45??(2)cos(???)?cos?cos??sin?sin??cos(???)?cos?cos??sin?sin???cos?cos??0?0??????2?cos??0????2（2）

?f(?)?

2?(f(?))?2?02

37.（天津理15）

f(x)?tan(2x??4),已知函数

（Ⅰ）求f(x)的定义域与最小正周期；

???0,????（II）设

?f()?2cos2?,?4?，若2求?的大小．

本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、

余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分.

2x??4??2?k?,k?Z （I）解：由

x?，

?8?k?2,k?Z 得.

{x?R|x??8所以f(x)的定义域为

?k?2,k?Z}

?f(x)的最小正周期为2

.af()?2cos2a, （II）解：由2

tan(a??4)?2cos2a,得

第 14 页 共 16 页

sin(a?cos(a??4)?2(cosa?sina),)22?4

?2(cosa?sina)(cosa?sina).sina?cosa整理得cosa?sinaa?(0,

?因为

4，所以sina?cosa?0.

2)(cosa?sina)?12,即sin2a?1因此

a?(0,.2

?由

2a?4，得

)2a?(0,?2.

)?6,即a?所以

.12

?38.（浙江理18）在?ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c．

ac?14b2已知

sinA?sinC?psinB?p?R?,54且．

p?,b?1（Ⅰ）当

时，求a,c的值；

（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围；

本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

5?a?c?,??4??ac?1,?4 （I）解：由题设并利用正弦定理，得?

?a?1,??1或c?,?4解得?1??a?,4??c?1.?2

22 （II）解：由余弦定理，b?a?c?2accosB

第 15 页 共 16 页

?(a?c)?2ac?2accosB?pb?即p?222212?b?12212bcosB,232cosB,

20?cosB?1,得p?(32,2)因为

62，

p?0,所以?p?2.由题设知39.（重庆理16）

f

设a?R，

[,?x??????2??cosx?asinx?cosx??cos??x?f????f?0??2?满足?3?，求函数

?11?24f(x)在4]上的最大值和最小值.

22解：f(x)?asinxcosx?cosx?sinx

?a2sinx2?coxs2.

f(?

3a1????1,解得a?23.222

?3)?f(0)得?由

f(x)?3sin2x?cos2x?2sin(2x??6).因此

x?[

??4,3]时,2x??6?[??3,2],f(x)当

x?[为增函数，

],f(x)?11?3,24]时,2x??6?[?3?2,4当为减函数， ?3)?2.f(x)在[?11?4,4]上的最大值为f(所以

f(

?4)?3,f(11?24)?2,又因为

f(11?24)?2.f(x)在[?11?4,24]故上的最小值为

第 16 页 共 16 页

?(a?c)?2ac?2accosB?pb?即p?222212?b?12212bcosB,232cosB,

20?cosB?1,得p?(32,2)因为

62，

p?0,所以?p?2.由题设知39.（重庆理16）

f

设a?R，

[,?x??????2??cosx?asinx?cosx??cos??x?f????f?0??2?满足?3?，求函数

?11?24f(x)在4]上的最大值和最小值.

22解：f(x)?asinxcosx?cosx?sinx

?a2sinx2?coxs2.

f(?

3a1????1,解得a?23.222

?3)?f(0)得?由

f(x)?3sin2x?cos2x?2sin(2x??6).因此

x?[

??4,3]时,2x??6?[??3,2],f(x)当

x?[为增函数，

],f(x)?11?3,24]时,2x??6?[?3?2,4当为减函数， ?3)?2.f(x)在[?11?4,4]上的最大值为f(所以

f(

?4)?3,f(11?24)?2,又因为

f(11?24)?2.f(x)在[?11?4,24]故上的最小值为

第 16 页 共 16 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gqbr.html