2011年高考数学试题分类汇编 - 三角函数

三角函数

安徽理（9）已知函数f(x)?sin(2x??)，其中?为实数，若f(x)?f()对x?R恒成立，

?6且f()?f(?)，则f(x)的单调递增区间是

?2（A）?k?????3,k??????? （B）(k?Z)k?,k??(k?Z) ???6?2??（C）?k?????6,k??2????? （D）k??,k?(k?Z) (k?Z)??23????（9）A【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. 【解析】若f(x)?f()对x?R恒成立，则f()?sin(???366??)?1，所以

?3???k???2,k?Z，??k???,k?Z.由f()?f(?)，（k?Z），可知

26?即s所以??2k??ni?0?，sin(???)?sin(2???)，

?6,k?Z，代入f(x)?sin(2x??)，

，得k????f(x)?sin(2x?)得6，由2k??剟2x?26A.

o

?2k???2?3剟xk???6，故选

（14）已知?ABC 的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则?ABC的面

积为_______________

（14)153【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.

【解析】设三角形的三边长分别为a?4,a,a?4，最大角为?，由余弦定理得

(a?4)2?a2?(a?4)2?2a(a?4)cos120?，则a?10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面

积为S?1?6?10?sin120??153. 2安徽文(15)设f(x)=asin2x?bcos2x，其中a，b?R，ab?0，若f(x)?f()对一切则

?6x?R恒成立，则①f(11?)?012来源学科网ZXXK]②f(?7?)＜f()③f(x)既不是奇函数也不是偶函数

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④f(x)的单调递增区间是?k?????6,k??2??(k?Z) ?3?⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图f(x)像不相交

以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）.

(15)①③【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像. 【

解

析

】

f(x)?asin2x?bcos2x?a2?b2sin(2x??)?a2?b2，又

????31f()?asin?bcos?a?b…0，由题意f(x)?f()对一切则x?R恒成立，

663322则

a2?b2?3132123，a?b对一切则x?R恒成立，即a2?b2?a?b?ab22442a2?3b2剠23ab00恒成立，而a2?3b2…23ab，所以a2?3b2=?23ab，此时

???a?3b?0.所以f(x)?3bsin2x?bcos2x?2bsin?2x??.

6??①f(11??11???正确； )?2bsin????0，故①

126??6②f(7??7????47???13?)?2bsin????2bsin??2bsin??10?56??30??30??， ???2????17???13??f()?2bsin????2bsin??2bsin???， 5?56??30??30?所以f(?7?)＜f()，②错误；

510③f(?x)??f(x)，所以③正确；

④由①知f(x)?3bsin2x?bcos2x?2bsin?2x?由2k???????，b?0， 6?k???2剟2x??62k???22知k??2?剟x3?62，所以③不正确；

⑤由①知a?3b?0，要经过点（a，b）的直线与函数的图f(x)像不相交，则此直线与横轴平行，又f(x)的振幅为2b?3b，所以直线必与f(x)图像有交

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点.⑤不正确.

1?2cos(B?C)?0，（16）在?ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，

求边BC上的高. （16）解：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，[来源:Zxxk.Com] 又1?2cos(B?C)?0，∴1?2cos(180??A)?0， 即1?2cosA?0，cosA?1，又0°

∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝2sin75??2sin(45??30?)

?2(sin45?cos30??cos45?sin30?)?2(北京理9.在

23213?1 ???)?22222?ABC中，若b?5，?B??，tanA?2，则sinA?_______，a?______. 425，正弦定理可得a?210。 5?6【解析】由tanA?2? sinA?15.已知函数f(x)?4cosxsin(x?)?1.（1）求f(x)的最小正周期； （2）求f(x)在区间[???,]上的最大值和最小值。 64解：（1）f(x)?2sin(2x?（2）?当2x??6)，函数f(x)的最小正周期为?；

?6?2x????6?2????，当2x??即x?时，函数f(x)取得最大值2； 3626?6?6即x???6时，函数f(x)取得最小值?1；

北京文（9）在?ABC中，若b?5，?B?福建理3．若tan??3，则

A．2

?152,sinA?，则a? . 433sin2?的值等于 D 2cosa

C．4

D．6

B．3

14．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等

于______．

2 第 - 3 - 页 共 23 页

16．(本小题满分13分) 已知等比数列{an}的公比q?3，前3项和S3?

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；

13． 3 (Ⅱ) 若函数f(x)?Asin(2x??)(A?0,0????)在x??6处取得最大值，且最大值为

a3，求函数f(x)的解析式．

131得a1?，所以an?3n?2； 33(Ⅱ)由(Ⅰ)得a3?3，因为函数f(x)最大值为3，所以A?3，

解：(Ⅰ)由q?3,S3?又当x?

?6

时函数f(x)取得最大值，所以sin(?3??)?1，因为0????，故???6，

所以函数f(x)的解析式为f(x)?3sin(2x??6)。

1?

福建文9．若?∈(0，2)，且sin2?＋cos2?＝4，则tan?＝ D

23

A. 2 B．3 C．2 D．

3

14．若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于 2 21.（本小题满分12分）

设函数f(?)＝3sin? ＋cos?，其中，角?的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤?≤?。

13

（Ⅰ）若P的坐标是(2，2)，求f(?)的值； [来源:学科网ZXXK]

??x＋y≥1

（Ⅱ）若点P(x，y)为平面区域?x≤1 上的一个动点，试确定角?的取值范围，并求函数

??y≤1

f(?)的最小值和最大值。

?

21、（Ⅰ）f(?)＝2；（Ⅱ）??＝0时f(?)min＝1，?＝3时f(?)min＝2。 广东理16.（本小题满分12分）

1?已知函数f(x)?2sin(x?),x?R

365?(1)求f()的值;

4?106???(2)设?,???0,?,f(3??)?,f(3??2?)?,求cos(???)的值.

2135?2?第 - 4 - 页 共 23 页

解:(1)f(5?5???)?2sin(?)?2sin?2.41264?105?12(2)f(3??)?2sin??,?sin??,???[0,],?cos??;21313213

?63?4f(3??2?)?2sin(??)?2cos??,?cos??,???[0,],?sin??.255251235416?cos(???)?cos?cos??sin?sin??????.13513565广东文12．设函数f(x)?x3cosx?1.若f(a)?11，则f(?a)? ．-9

16．（本小题满分12分）

???1fx?2sinx?已知函数????，x?R．

6??3（1）求f?0?的值；

???（2）设?,???0,?,?2???106?f?3????,f?3??2???,求sin?????的值．

2?135???解：（1）f(0)?2sin(?)??2sin??1 66（2）

?10?1???f(3??)?2sin[?(3??)?]?2sin?,13232661???f(3??2?)?2sin[?(3??2?)?]?2sin(??)?2cos?536253?sin??,cos??,135

12?cos??1?sin2??,134sin??1?cos2??55312463?sin(???)?sin?cos??cos?sin??????13513565湖北理3.已知函数f?x??3sinx?cosx，x?R，若f?x??1，则x的取值范围为 A. ?xk???????x?k???,k?Z? B. 3??x?k??????x2k???x?2k???,k?Z?

3?????5?x2k???x?2k??,k?Z??

66??C. ?xk?????6?5?,k?Z? D. 6?第 - 5 - 页 共 23 页

【答案】B

解析：由条件3sinx?cosx?1得sin?x?????1，则 ??6?22k???6?x??6?2k??5??，解得2k???x?2k???，k?Z，所以选B. 631. 416．（本小题满分10分）

设?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a?1，b?2，cosC?（Ⅰ）求?ABC的周长； （Ⅱ）求cos?A?C?的值.

本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵c?a?b?2abcosC?1?4?4?∴c?2

∴?ABC的周长为a?b?c?1?2?2?5.

2221?4 4151?1?2（Ⅱ）∵cosC?，∴sinC?1?cosC?1????，

444??2∴sinA?asinC?c154?15 282∵a?c，∴A?C,故A为锐角，

?15?7?? ∴cosA?1?sin2A?1???8?8??∴cos?A?C??cosAcosC?sinAsinC?湖北文没有新题 湖南理6. 由直线x??71151511????. 848416?3,x??3,y?0与曲线y?cosx所围成的封闭图形的面积为（ ）

A．

13 B．1 C． D．3 22?3答案：D

?解析：由定积分知识可得S????3cosxdx?sinx|3???333?(?)?3，故选D。 2211.如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC?4，

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AD?BC,垂足为D, BE与AD相交与点F，则AF的长为 。

答案：

23 33， 3解析：由题可知，?AOB??EOC?60?，OA?OB?2,得OD?BD?1,DF?又AD?BD?CD?3，所以AF?AD?DF?湖南文7．曲线y?223. 3sinx1??在点M(,0)处的切线的斜率为（ ）

sinx?cosx24A．?1122 B． C．? D． 2222答案：B 解析：y'?cosx(sinx?cosx)?sinx(cosx?sinx)1?，所以

(sinx?cosx)2(sinx?cosx)2y'|x??4?1?。

??(sin?cos)2244117．（本小题满分12分）

在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinA?acosC. （I）求角C的大小； （II）求3sinA?cos(B?)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．

4解析：（I）由正弦定理得sinCsinA?sinAcosC.

因为0?A??,所以sinA?0.从而sinC?cosC.又cosC?0,所以tanC?1,则C?（II）由（I）知B???4

3??A.于是 43sinA?cos(B?)?3sinA?cos(??A)4 ?3sinA?cosA?2sin(A???63???11?????0?A?,??A??,从而当A??,即A?时,466126236)取最大值2．

).

2sin(A??综上所述，3sinA?cos(B??4)的最大值为2，此时A?第 - 7 - 页 共 23 页

?3,B?5?. 12江苏7.已知tan(x?答案：

?4)?2, 则

tanx的值为__________.

tan2x4 91?tanx1tanxtanx（－1tan2x）4?2,?tanx?,?＝＝?. 解析：?tan(x?)?2tanx41?tanx3tan2x2921－tanx?本题主要考查三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式，正弦余弦函数的诱导公式，两角和与差的正弦余弦正切，二倍角的正弦余弦正切及其运用，中档题.

?x??),A(?,?是,常数，A?0,??0)的部分图象如图所示，则9.函数f(x)?Asin(f(0)?____

答案：

6 22,T7??????,??2, 41234解析：由图可知：A?2?7?3?????2k??,??2k??, 1223?6 f(0)?2sin(2k??)?32由图知：f(0)?第9题图6 2本题主要考查正弦余弦正切函数的图像与性质，y?Asin(?x??)的图像与性质以及诱导公式，数形结合思想,中档题.

15.（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c （1）若sin(A?)?2cosA, 求A的值； 61（2）若cosA?,b?3c，求sinC的值.

3答

案

：

（

1

）

??sin(A?)?2cosA,?sinA?3cosA,cosA?0,tanA?3,0?A???A?

6312222（2）在三角形中,?cosA?,b?3c,?a?b?c?2bccosA?8c,a?22c

3??第 - 8 - 页 共 23 页

由正弦定理得：出直角三角形）

122cc222，而sinA?1?cosA??,?sinC?.（也可以先推

3sinAsinC3 (也能根据余弦定理得到cosC?221,0?C???sinC?) 33解析：本题主要考查同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算求解能力，容易题.

江西理17.（本小题满分12分）

在?ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知sinC?cosC?1?sin（1）求sinC的值；

（2）若a2?b2?4(a?b)?8，求边c的值.

C. 2CCCCcos?1?2sin2?1?sin，即 2222CCCCCCsin(2cos?2sin?1)?0，由sin?0得2cos?2sin?1?0

222222CC1C3?，两边平方得：sin? 即sin?cos22224CC1CC?C???cos??0知sin?cos，则??，即?C??，则由（2）由sin222224222【解析】（1）由已知得2sinsinC37?得cosC?? 244222由余弦定理得c?a?b?2abcosC?8?27，所以c?7?1.

江西文14、已知角?的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p?4,y?是角?终边上一点，

且sin???25，则y=_______. 5y25对边???y??8 =

5斜边16?y2答案：—8. 解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角。sin??（PS:大家可以看到，步骤越来越少，不就意味着题也越来越简单吗？怎么能说高考题是难题

偏题。）

17.(本小题满分12分）

在?ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c，已知3acosA?ccosB?bcosC. （1）求cosA的值；

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(2)若a?1,cosB?cosC?23，求边c的值． 3 解：（1）由 3acosA?ccosB?bcosC正弦定理得：

ncoAs?siAn所以AcosA?sinCcoBs?sinBcoCs?sinB(?C)及：3siA 3sin1coAs?。

3 （2）由cosB?cosC?2323，cos(??A?C)?cosC?展开易得： 336ac3， 正弦定理： ??c?3sinAsinC2 coCs?2sinC?3?sinC?【解析】本题考查的主要知识三角函数及解三角形问题，题目偏难。第一问主要涉及到正弦

定理、诱导公式及三角形内角和为180°这两个知识点的考查属于一般难度；第二问同样是对正弦定理和诱导公式的考查但形势更为复杂。

辽宁理4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，则 D

A．23 B．22 C．3

D．2 b? a1si2?? A +?）=，则n437117A．? B．? C． D．

9999?辽宁文12．已知函数f(x)=Atan（?x+?）（??0,|?|?），y=f(x)的 （7．设sin

2部分图像如下图，则f(

A．2+3

??24)?

B．3 D．2?3 C．3 3B 17．（本小题满分12分）

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a． （I）求

b；（II）若c2=b2+3a2，求B． a2217．解：（I）由正弦定理得，sinA?sinBcosA?2sinA，即

sinB(sin2A?cos2A)?2sinA

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故sinB?2sinA,所以22b?2. ………………6分 a2 （II）由余弦定理和c?b?3a,得cosB?由（I）知b2?2a2,故c2?(2?3)a2. 可得cosB?源:Zxxk.Com]

2(1?3)a. 2c12,又cosB?0,故cosB?,所以B?45? …………12分[来22全国Ⅰ理（5）已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y?2x上，则cos2?=

4334（A）? （B）? （C） （D）

5555B

（11）设函数f(x)?sin(?x??)?cos(?x??)(??0,??f(?x)?f(x)，则

?2)的最小正周期为?，且

?????3? （A）f(x)在?0,?单调递减 （B）f(x)在?,?2??44??? （C）f(x)在?0,?单调递增

?2?A

??单调递减 ???3?（D）f(x)在?,?44??单调递增 ?（16）在VABC中，B?60?,AC?3，则AB?2BC的最大值为 。27 全国Ⅰ文（6）如图，质点p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为p0（2，?2），

角速度为1，那么点p到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为 C

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（10）若sina= -

4?，a是第一象限的角，则sin(a?)= A 54（A）-

727222 （B） （C） - （D） 10101010?(16)在?ABC中，D为BC边上一点，BC?3BD,AD?2,?ADB?135.若AC?则BD=_____ 2+5 全国Ⅱ理5）设函数f?x??cos?x???0?，将y?f?x?的图像向右平移所得的图像与原图像重合，则?的最小值等于 (A)

2AB,

?个单位长度后，31 (B)3 (C)6 (D)9 3【答案】：C 【命题意图】：本小题主要考查三角函数及三角函数图像的平移变换、周期等有关知识。 【解析】：由题意知

?为函数f?x?x??cos????0周期的正整数倍，所以3?3?k?2??(k?N*),??6k?6，故?的最小值等于6.

(14)已知??(【答案】：??2,?) ，sin?=

5,则tan2? =___________. 54 3【命题意图】：本小题主要考查了同角三角函数的基本关系式及二倍角公式。 【

解

析

】

：

由

sin

??=

55,

???(,?)2，得

2c?o?s?55?,?t21?an??2?1?2tan4, ?tan?2?tan3（17）（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

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△ ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A-C=90°，a?c?2b，求C.

【命题立意】:本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想及消元方法的应用.

【解析】：由A-C=90°，得A=C+90°B???(A?C)?90??2C（事实上0??C?45?） 由

a?c?2b，根据正弦定理有：

sA?inC?siB?nC?2s?i C?n?siCn?(?9即cosC?sinC?2coc2C?2(cos2C?sin2C)?2(cosC?sinC)(cosC?sinC)?cosC?sinC?0

?cosC?sinC?2cos(C?45?)?22,cos(C?45?)?12,C?45??60?,?C?15? 全国Ⅱ文(14)已知??(?，3?),tan??2，则cos?? 【答案】?525. 【解析】由cos2??cos2?11sin2??cos2??tan2??1?5,又??(?，3?2),cos??0 所以 cos???55. (18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

) ?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.

己知asinA?csinC?2asinC?bsinB, (Ⅰ)求B；（Ⅱ）若A?75?,b?2,求a,c.

【解析】(Ⅰ)由正弦定理asinA?csinC?2asinC?bsinB,可变形为

a2?c2?2ac?b2，即

a2?c2?2b2?，a由c余

弦定a2?c2?b2cosB?2ac22ac?2ac?2

又B?(0,?),所以B??4[来源:Z|xx|k.Com]

（Ⅱ）首先sinA?sin(45??30?)?2?64.sinC?sin60??32. 第 - 13 - 页 共 23 页

理

由正弦定理a?bsinA?sinB2?2?632?bsinC42?6. ?3?1.，同理c??sinB2222a?的值为 6山东理3.若点（a,9）在函数y?3x的图象上，则tan=

（A）0 (B) 【答案】D

3 (C) 1 (D) 33 【解析】由题意知:9=3,解得a=2,所以tan6.若函数f(x)?sin?x (ω>0)在区间?0,（A）3 （B）2 （C）【答案】C

【解析】由题意知,函数在x?17.（本小题满分12分）

aa?2???tan?tan?3,故选D. 663???????上单调递增，在区间,?上单调递减，则ω= ???3??32?32 （D） 23?3处取得最大值1,所以1=sin

??3,故选C.

在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知（I） （II）

cosA-2cosC2c-a=.

cosBbsinC的值； sinA1若cosB=，b?2,求?ABC的面积.

4求

【解析】（Ⅰ）由正弦定理得a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC,所以

cosA-2cosC=cosBb2c-a=

2sinC?sinAsinB,即

sinBcosA?2sinBcosC?2sinCcosB?sinAcosB,即有sinA(?B)?2siBn(?C,即

sinC=2. sinAcsinC?（Ⅱ）由（Ⅰ）知:=2,即c=2a,又因为b?2,所以由余弦定理得： asinA

1b2?c2?a2?2accosB，即22?4a2?a2?2a?2a?,解得a?1,所以c=2,又因为

4sinC?2sinA,所以

cosB=

111151515，所以sinB=，故?ABC的面积为acsinB??1?2?=.

224444第 - 14 - 页 共 23 页

山东文 （17）（本小题满分12分）

在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知

cosA-2cosC2c-a=.

cosBbsinC的值； sinA1（Ⅱ）若cosB=，?ABC的周长为5，求b的长.

4（Ⅰ）求

【解析】（Ⅰ）由正弦定理得a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC,所以

cosA-2cosC=cosBb2c-a=

2sinC?sinAsinB,即

sinBcosA?2sinBcosC?2sinCcosB?sinAcosB,即有sinA(?B)?2siBn(?C,即sinC?2sinA,所以

sinC=2. sinA（Ⅱ）由

sinC1?2得c?2，∵cosB?，∴b2?a2?c2?2accosB?4a2 sinA4∴b?2a，又a?b?c?5得a?1,b?2

陕西理6．函数f(x)?x?cosx在[0,??)内 （ ）

（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点[来源:Z。xx。k.Com]

（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点[来源:学科网ZXXK]

【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。 【解】选B （方法一）数形结合法，令

f(x)?x?cosx?0，则x?cosx，设函数y?x和y?cosx，它们在[0,??)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数

f(x)?x?cosx在[0,??)内有且仅有一个零点；

（方法二）在x?[?2,??)上，x?1，cosx?1，所以?0；

在

f(x)?x?cosxf?(x)?12xx?(?02,，]?sinx?0，所以函数f(x)?x?cosx是增函数，又因为f(0)??1，

f()?2????0，所以f(x)?x?cosx在x?[0,]上有且只有一个零点．

22第 - 15 - 页 共 23 页

7．设集合M?{y|y?|cos2x?sin2x|,x?R}，N?{x||x?|?则M?N为（ ）

（A）（0，1） （B）(0，1] （C）[0，1) （D）[0，1]

1ii为虚数单位，x?R}，2，【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。 【解】选C y?|cos2x?sin2x|?|cos2x|?[0,1]，所以M?[0,1]；[来源:学|科|网] 因为|x?|?1i2，所以|x?i|?2，即|x?(?i)|?2，又因为x?R，所以?1?x?1，即

N?(?1,1)；所以M?N?[0,1)，故选C.

18．（本小题满分12分） 叙述并证明余弦定理．

【分析思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固． 【解】叙述:

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

a2?b2?c2?2bccosA， b2?c2?a2?2cacosB， c2?a2?b2?2abcosC.

?????????????????????A证明：（证法一） 如图，c?BC ?AC?AB?AC B2????????????????2????2????????????2????2 ?AC?2AC?AB?AB?AC?2AC?ABcosA?AB

?b?2bccosA?c[来源:学科网]

即 a?b?c?2bccosA 同理可证 b?c?a?2cacosB， c?a?b?2abcosC

（证法二）已知?ABC中，A,B,C所对边分别为a,b,c,，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(bcosA,bsinA),B(c,0)，

∴a?|BC|?(bcosA?c)?(bsinA)?bcosA?2bccosA?c?bsinA

22222222222222222222第 - 16 - 页 共 23 页

?b2?c2?2bccosA，

即 a?b?c?2bccosA 同理可证 b?c?a?2cacosB， c?a?b?2abcosC 陕西文6.方程x?cosx在???,???内 （ ） (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D）有无穷多个根

【分析】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断．

【解】选C 构造两个函数y?|x|和y?cosx，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．

222222222

上海理[来源:学,科,网Z,X,X,K]

6.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若?CAB?75,?CBA?60，则A、B两点之间的距离为 千米. 8.函数y?sin???6 2?3?????? ?x?cos??x?的最大值为 .

4?2??6?上海文4、函数y?2sinx?cosx的最大值为 5 008、在相距2千米的A,B两点处测量目标C，若?CAB?75,?CBA?60，则A,C两点之间的距离 是 千米

6

17.若三角方程sinx?0与sin2x?0的解集分别为E,F，则（ ）A （A）E?F （B）EùF （C）E?F （D）E?F??

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四川理

6．在△ABC中，sin2A?sin2B?sin2C?sinBsinC，则A的取值范围是

（A）(0,]

6

答案：C

2?

（B）[,?)

622?（C）(0,]

3

222?

（D）[,?)

3?b2?c2?a21解析：由sinA?sinB?sinC?sinBsinC得a?b?c?bc，即?，

2bc21?∴cosA?，∵0?A??，故0?A?，选C．

3217．（本小题共l2分）

7?3?已知函数f(x)?sin(x?)?cos(x?)，x?R．

44（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最小值；

44?（Ⅱ）已知cos(???)?，cos(???)??，0?????，求证：[f(?)]2?2?0．

552本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．

7?7?3?3?（Ⅰ）解析：f(x)?sinxcos ?cosxsin?cosxcos?sinxsin4444?2sinx?2cosx?2sin(x?)，∴f(x)的最小正周期T?2?，最小值f(x)min??2． 444（Ⅱ）证明：由已知得cos?cos??sin?sin??，cos?cos??sin?sin???

55?两式相加得2cos?cos??0，∵0?????∴[f(?)]2?2?4sin2四川文没有新题

天津理

?2，∴cos??0，则???2．

?4?2?0．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

227．在?ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a?b?3bc，

． sinC?23sinB，则A?（ ）

Ａ．30? B．60? C．120? D．150?

【解】由sinC?23sinB及正弦定理得c?23b，代入a?b?3bc得

222 a?b?3b?23b?6b，即a?7b，又c?12b，

222222b2?c2?a2b2?12b2?7b263由余弦定理cosA?， ???22bc243b43所以A?30?．故选Ａ．

17．（本小题满分12分）已知函数f?x??23sinxcosx?2cos2x?1?x?R?． （Ⅰ）求函数f?x?的最小正周期及在区间?0,

???

上的最大值和最小值． ?2??

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（Ⅱ）若f?x0??6????，x0??,?．求cos2x0的值． 5?42?【解】（Ⅰ）由f?x??23sinxcosx?2cos2x?1得

???f?x??3?2sinxcosx???2cos2x?1??3sin2x?cos2x?2sin?2x??．

6??所以函数的最小正周期为T?2????7???????．因为x??0,?，所以2x???,?． 26?66??2?所以2x???????????????,?，即x??0,?时，函数f?x?为增函数，而在x??,?时，6?62??6??62?函数f?x?为减函数，所以f?小值．

?????2sin?2为最大值，f?2?6???6?7?????2sin???1为最??6?2?（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f?x0??2sin?2x0???又由已知f?x0???，

6??3?，则n si2?x0???．565??因为x0??????2?7???????,?，则2x0???,?，因此cos?2x0???0，

6?6?36???42?所以cos?2x0?????4??????，于是??cos2x?cos2x?0???06??6?，

6?5????43313?43????????． ????cos?2x0??cos?sin?2x0??sin???5252106666????天津文

8．右图是函数y?Asin??x????x?R?在区间????5??,??66?上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y?sinx?x?R?的图象上的所有的点（ ）．

Ａ．向左平移来的

?个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原31倍，纵坐标不变 2Ｂ．向左平移

?个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 3第 - 19 - 页 共 23 页

?1个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

26?Ｄ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

6????【解】解法1．如图，平移需满足?????，解得??．因此首先将

?263?y?sinx?x?R?的图象上的所有的点向左平移个单位长度，

3Ｃ．向左平移

又因为该函数的周期为T?2?的所有的点横坐标缩短到原来的

?????????????，于是再需把y?sinx?x?R?的图象上?3?6??1倍．故选Ａ． 2????????????0,????6?解法2．由已知图象得?解得??2,??，又A?1，

3????????,?3?所以图中函数的解析式是y?sin?2x??????， 3?因此该函数的图象是将y?sinx?x?R?的图象上的所有的点向左平移所得各点的横坐标缩短到原来的

?个单位长度，再把31倍，纵坐标不变得到的．故选Ａ． 2ACcosB?17．（本小题满分12分）在?ABC中，． ABcosC（Ⅰ）证明：B?C．

（Ⅱ）若cosA??1???．求sin?4B??的值． 33??ACcosBsinBcosB??及正弦定理得， ABcosCsinCcosC【解】（Ⅰ）在?ABC中，由

于是sinBcosC?cosBsinC?0，即sin?B?C??0， 因为0?B??，0?C??，则???B?C??，

因此B?C?0，所以B?C．

C?和（Ⅰ）（Ⅱ）由A?B??得

A???2B，所以

coB?s2???c??Bos?1?A2， 3?cos又由B?C知0?2B??，所以sin2B?2242．sin4B?2sin2Bcos2B?． 39第 - 20 - 页 共 23 页

7cos4B?cos22B?sin22B??．

9所以sin?4B???????sin4Bcos?cos4Bsin?3?33??42?73．

18浙江理9．设函数f(x)?4sin(2x?1)?x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是 ．A．??4,?2? B．??2,0? C．?0,2? D．?2,4? A

13．已知函数f(x)?f'()cosx?sinx,则f()的值为 ▲ . 1

??4418．（本小题满分14分）

?ππ??2?π已知函数f(x)?2sin??x??3cos2x，x??,?．ks**5u

?42??4? （Ⅰ）求f(x)的最大值和最小值；

（Ⅱ）若不等式f(x)?m?2在x??,?上恒成立，求实数m的取值范围

42解：（Ⅰ）∵f(x)??1?cos??2x???3cos2x?1?sin2x?3cos2x

???π?2?????ππ???π???1?2sin?2x??． ……………………………………………………3分

3??π?ππ2π?ππ??又∵x??,?，∴≤2x?≤，即2≤1?2sin?2x??≤3，

6333??42??∴f(x)max?3,f(x)min?2．……………………………………………………………7分

?ππ?（Ⅱ）∵f(x)?m?2?f(x)?2?m?f(x)?2，x??,?，……………………………9分

?42?∴m?f(x)max?2且m?f(x)min?2，∴1?m?4，即m的取值范围是(1,4)．……14分

浙江文（5）在?ABC中，角A,B,C所对的边分a,b,c．若acosA?bsinB，则

sinAcoAs? D

A．-

2coBs?

1 2B．

1 2C． -1 D．1

（18）（本题满分14分）已知函数f(x)?Asin(?3x??)，x?R，A?0，

0????2．y?f(x)的部分图像，如图所示，P、Q分别为该图像的最高点和最低点，

第 - 21 - 页 共 23 页

点P的坐标为(1,A)．

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及?的值； （Ⅱ）若点R的坐标为(1,0)，?PRQ?2?，求A的3值．

（1）本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基

础知识。满分14分。 （Ⅰ）解：由题意得，T?2??3?6.

因为P(,A)在y?Asin(所以sin(?3x??)的图象上，

?3,??)?1.又因为0????2，所以???6

（Ⅱ）解：设点Q的坐标为(x0,?A)，由题意可知

连接PQ，在?PRQ中,?PRQ??3x0??6?3?，得x0?4,所以Q4,()A?2

2?，由余弦定理得 3RP2?RQ2?PQ2A2?9?A2?(9?4A2)1cos?PRQ????.

2RP?RQ22A?9?A2解得A?3.

2

又A?0,所以A?3.

22（a?b）?c?4，且C=60°，重庆理（6）若?ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足

则

A （A）

ab

的

值

为

42 （B）8?43 (C) 1 (D) 331????cos?，且???0,?，则2?2?（14）已知sin??cos2?14的值为__________? ??2?sin????4??(16) (本小题满分13分)

设a?R，f?x??cosx?asinx?cosx??cos?2?????x?满足f(?)?f(0)，求函数f(x)3?2?在???11??上的最大值和最小值 ???424?第 - 22 - 页 共 23 页

解：（1）f(x)?2sin(2x?（2）当x?[?6)；

,]时，2x??[,]，函数f(x)递增；

43632?11???3?]时，2x??[,]，函数f(x)递减； 当x?[,324624?11??]上的最大值为f()?2 所以f(x)在x?[,4243?11??11?11?)?2，所以f(x)在x?[,]上的最小值为f()?2。 又f()?3,f(42442424重庆文(8)若

?????的内角、、满足,则 D

(A) (B)

(C) (D)

4 3(12)若，且，则＝ .

(18) (本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)

设函数 .[来源:学科网]

(Ⅰ)求的最小正周期;

(Ⅱ)若函数的图象按,平移后得到函数的图象,求在

,上的最大值.

解：(Ⅰ)f(x)?sin(2x??3)?3，所以函数f(x)的最小正周期为?； 2(Ⅱ)g(x)?f(x?由x?[0,?4)?3??sin(2x?)?3 26?4]?2x??6?[???,]，g(x)为增函数，所以g(x)在[0,]上的最大值为

634??33g()?。 42第 - 23 - 页 共 23 页

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