2009年高考数学试题分类汇编_4

2009年高考数学试题分类汇编——概率

1、(湖北卷理) 3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n,则复数（m+ni ）(n-mi)为实数的概率为

A 、

13 B 、14

C 、16

D 、112 3．【答案】C

2、（江苏卷）5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ .【解析】 考查等可能事件的概率知识。 所求概率为0.2。

3、（安徽卷理）（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于

（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475

[解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这

6个点中任意选两个点连成直线，共有22661515225C C ?=?= 种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 //,//,//,AC DB AD CB AE BF //,//,//AF BE CE FD CF ED

共12对，所以所求概率为12422575

p =

=，选D 4、（福建卷）8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，

指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为

A ．0.35

B 0.25

C 0.20

D 0.15

8．【答案】：B

5、（广东卷）12．已知离散型随机变量X

的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．

【解析】由题知1211=++c b a ，061=++-c a ，1121211222=?+?+?c a ，解得125=a ，? A ? ? ? ? ? B C D

E

F

4

1=b .

6、(湖南卷) 13、一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为

128

，则总体中的个数数位 。 【答案】：40

7、（上海）7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志

愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）.

8、（重庆卷）6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ C ）

A ．

891 B ．2591 C ．4891 D ．6091

9、（重庆卷）17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为

23和12

，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：

（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；

（Ⅱ）成活的株数ξ的分布列与期望． (17)（本小题13分）

解：设k A 表示甲种大树成活k 株，k ＝0，1，2

l B 表示乙种大树成活l 株，l ＝0，1，2

则k A ，l B 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

2221()()()

33k k k k P A C -= , 2211()()()22l l l l P B C -= .

据此算得 01()9

P A =

, 14()9P A = , 24()9P A = . 01()4P B = , 11()2P B = , 21()4P B = . (Ⅰ) 所求概率为

2111412()()()929

P A B P A P B ?=?=

?= . (Ⅱ) 解法一： ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且

0000111(0)()()()9436

P P A B P A P B ξ==?=?=

?= , 011011411(1)()()92946

P P A B P A B ξ==?+?=?+?= , 021*********(2)()()()949294

P P A B P A B P A B ξ==?+?+?=?+?+? =1336

, 122141411(3)()()94923

P P A B P A B ξ==?+?=?+?= . 22411(4)()949P P A B ξ==?=?= . 综上知ξ有分布列

从而，ξ的期望为 111311012343663639E ξ=?

+?+?+?+? 73

=（株） 解法二：

分布列的求法同上

令12ξξ，分别表示甲乙两种树成活的株数，则

12ξξ::21

B(2,)，B(2,)32

故有121E E ξξ?=?=241=2=，2332

从而知1273E E E ξξξ=+= 10、（四川卷）18. （本小题满分12分）

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中

34是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23

持银卡。 （I ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（II ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ。

（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题

的能力。

解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件B 为“采访该团

3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，

事件2A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。

12()()()P B P A P A =+

121119219621333636

C C C C C C C =+ 92734170

=

+ 3685= 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685

。 …………………………………………………………6分

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3

33391(0)84C P C ξ===, 1263393(1)14

C C P C ξ=== 21633915(2)28C C P C ξ===，363915(3)21

C P C ξ===， 所以ξ的分布列为

所以0123284142821

E ξ=?+?+?+?=， ……………………12分 11、（天津卷）（18）（本小题满分12分）

在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：

（I ） 取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望；

（II ） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实

际问题的能力。满分12分。 （Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为C k 3，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C C k k -373，那

么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P(X=k)= C C C k

k 310373-,k=0,1,2,3. 所以随机变量X

的分布列是

X 的数学期望EX=10

9120134072402112470=?+?+?+? （Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1

“恰好取出2件一等品“为事件A 2，”恰好取出3件一等品”为事件A 3由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A=A 1∪A 2∪A 3而

,403)(310

23131=C C C A P P(A 2)=P(X=2)= 407,P(A3)=P(X=3)= 1201, 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为

P(A)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)= 403+407+1201=120

31 12、(浙江卷) 19．（本题满分14分）在1,2,3,,9 这9个自然数中，任取3个数．

（I ）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

（II ）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数

1,2和2,3，此时ξ的值是2）

．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ． 解析：（I ）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A ，则12453910()21C C P A C ==； （II ）随机变量ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为

所以ξ的数学期望为012122123E ξ=?

+?+?= 13、（辽宁卷）（19）（本小题满分12分）

某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。

（Ⅰ）设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；

（Ⅱ）若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P （A ）

（19）解：

（Ⅰ）依题意X 的分列为

………………6分

（Ⅱ）设A 1表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i=1，2.

B 1表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i=1，2.

依题意知P （A 1）=P(B 1)=0.1，P （A 2）=P(B 2)=0.3， 11111122A A B A B A B A B =???,

所求的概率为

11111122()()()()P A P A B P A B P A B P A B =+++（）

11111122()()())()()()P A B P A P B P

A P

B P A P B +++（ 0.1

0.90.90.10.10.10.3

0?+?+?+?= ………12分

14、（全国1）19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。 13

（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。

分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。

需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。 另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。

15、(山东卷) (19)(本小题满分12分)

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

（1） 求q 2的值； （2） 求随机变量ξ的数学期望E ξ;

（3） 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

解:（1）设该同学在A 处投中为事件A,在B 处投中为事件B,则事件A,B 相互独立,且P(A)=0.25,()0.75P A =, P(B)= q 2,2()1P B q =-.

根据分布列知: ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.03,所以210.2q -=，q 2=0.8.

（2）当ξ=2时, P 1=)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+

)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +==0.75 q 2( 21q -)×2=1.5 q 2( 21q -)=0.24

当ξ=3时, P 2 =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.01,

当ξ=4时, P 3=22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ===0.48,

当ξ=5时, P 4=()()()P ABB AB P ABB P AB +=+

222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+=0.24

所以随机变量ξ的分布列为

随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=?+?+?+?+?=

（3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++

()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=;

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大.

【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.

16、（全国卷2）20（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（II ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望。

分析：（I ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。

（II ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。

从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率1146210815

C C P C ?== （III ）ξ的可能取值为0，1，2，3

1234211056(0)75C C P C C ξ==?=，1112146342212110510528(1)75

C C C C C P C C C C ξ==?+?=， 21622110510(3)75

C C P C C ξ==?=，31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-== 分布列及期望略。

评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算(2)P ξ=时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生

应增强灵活变通的能力。

（江西卷）18．（本小题满分12分）

某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12

.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．

(1) 写出ξ的分布列； (2) 求数学期望E ξ． 解：（1）ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30

1(0)64P ξ== 3(5)32P ξ== 15(10)64P ξ== 5(15)16

P ξ== 15(20)64P ξ== 3(25)32P ξ== 1(30)64P ξ==

（2）315515315101520253015326416643264

E ξ=?

+?+?+?+?+?=. 17、(湖南卷)17.（本小题满分12分）

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。

（I ）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（II ）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求ξ 的分布列及数学期望。 解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 1A ,1B ,1C ，i=1，2，3.由题意知1A 23A A 相互独立，1B 23B B 相互独立，1C 23C C 相互独立，1A ,1B ,1C （i ，j ，k=1，2，3，且i ，j ，k 互不相同）相互独立，且P （1A ）=，P （1B ）=13，P （1C ）=16

（1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P （1A 2B 3C ）=6P （1A ）P （2B ）P （3C ）=6?12?13?16=16

(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由己已知，η-B （3，

13），且ξ=3η。 所以P （ξ=0）=P （η=3）=13C 31()3=127

， P （ξ=1）=P （η=2）= 23C 31()3 2()3= 29

P （ξ=2）=P （η=1）=13C 1()322()3=49

P （ξ=3）=P （η=0）= 03C 32()3= 827 故ξ的分布是

ξ的数学期望E ξ=0?27+1?9+2?9+3?27=2 解法2 第i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件1D ，

i=1,2,3 ，由此已知，1D ·D ，1D 相互独立，且

P （1D ）-（1A ，1C ）= P （1A ）+P （1C ）=

12+16=23 所以ξ--2(3,)3B ,既3321()()()

33K K K P K C ξ-==，0,1,2,3.k =

故ξ的分布列是

18、（福建卷）16.（13分）

从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集．．．．

中，等可能地取出一个。 （1） 记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率；

（2） 记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ

16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r ”为事件A 基本事件总数n=123555C C C +++4555

C C +=31 事件A 包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4}

事件A 包含的基本事件数m=3

所以3()31

m p A n == （II ）依题意，ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5

又155(1)3131C p ξ===， 2510(2)3131

C p ξ===， 3510(3)3131C p ξ=== 455(4)3131

C p ξ===， 551(5)3131C p ξ=== 故ξ的分布列为：

从而E 1ξ=?31+231?+331?+431?+53131?=

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