2009年高考数学试题分类解析

2009年高考数学试题分类解析 ——排列、组合二项式定理

山东省教育厅教研室

济南中学数学组 张永波 王军

一、课程标准数学科（理科）考试大纲对本专题的要求 1分类加法计数原理、分步乘法计数原理

（1）理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；

（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 2排列与组合

（1）理解排列、组合的概念.

（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. （3）能解决简单的实际问题. 3二项式定理

（1）能用计数原理证明二项式定理.

（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 注：（1）课程标准的考试大纲（理科）和教学大纲的考试大纲（含文科和理科）对本专题的要求是一致的； （2）课程标准的考试大纲（文科）对这部分不做要求，因在课程标准中这部分内容是选修2系列内容； （3）课程标准的教学要求和大纲对这部分的考试要求也是一致的。 二、2009年各套高考数学试卷对本专题的考查 1考查的知识类型

表1是对2009年各套数学试题对本专题考查的统计。打*者为新课标自主命题省份。由表1我们可以得出：

本专题是传统内容，也是比较小的专题，考查的知识类型基本固定。全国19套数学试卷，计37套试题（江苏文、理一套），考查本专题的题目共计46个。16个填空题，30个选择题。本专题主要考查的知识类型及题目的个数：排列（5个）、组合（13个）、排列组合（9个）、二项展开式及通项公式（13个）、二项式系数（5个）、二项式定理应用（1个）。由以上统计可以看出：考查组合知识和二项展开式及通项公式较多，单纯的排列问题及二项式系数问题比较淡化，对二项式定理的应用考查得很少。

表1：2009 年各套数学试题对排列、组合、二项式定理考查的统计 卷别 *安徽卷（理） *安徽卷（文） 北京卷（理） 北京卷（文） *福建卷（理） *福建卷（文） *广东卷（理） *广东卷（文） *海南卷（理） 湖北卷（理） 湖北卷（文） 湖南卷（理） 湖南卷（文） 江西卷（理） 江西卷（文） 题号 10 10 6 7 3 5 7 15 5 6 4 11 5 10 5 11 7 6 题型 选择題 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 填空题 选择题 选择题 选择题 填空题 选择题 填空题 选择题 填空题 选择题 选择题 交汇内容 概率 概率 极限 考查的知识 组合问题 组合问题 二项式展开式 排列问题 二项展开式 排列问题 排列组合问题 排列组合问题 排列组合问题 二项定理的系数 排列组合问题 二项式定理的系数 组合问题 二项展开式 组合问题 二项式展开式的通项 二项式展开式的系数 二项式定理应用（整除问题）

*辽宁卷（理） *辽宁卷（文） 全国卷（理1） 全国卷（文1） 全国卷（理2） 全国卷（文2） *山东卷（理） *山东卷（文） 陕西卷（理） 5 5 13 7 13 10 13 10 14 6 9 6 9 7 11 11 13 11 14 16 4 16 3 6 13 3 8 13 选择题 选择题 填空题 选择题 填空题 选择题 填空题 选择题 填空题 选择题 选择题 选择题 选择题 填空题 填空题 选择题 填空题 选择题 填空题 填空题 选择题 填空题 选择题 选择题 填空题 选择题 选择题 填空题 组合问题 组合问题 二项展开式 组合问题 二项展开式 组合问题 二项展开式 组合问题 二项式展开式 二项展开式的系数问题 排列组合问题 二项展开式的系数问题 排列组合问题 组合问题 排列问题 二项展开式的通项 排列问题 二项展开式的通项 排列问题 二项式展开式的通项 排列组合问题 二项展开式的通项 组合问题 排列组合问题 二项式展开式的通项 组合问题 排列组合问题 陕西卷（文） 上海卷（理） 上海卷（文） 四川卷（理） 四川卷（文） *天津卷（理） *天津卷（文） *浙江卷（理） *浙江卷（文） 重庆卷（理） 概率分布列 组合问题 概率 重庆卷（文） *江苏卷 2命题特点和趋势

（1）命题特点：分析近几年和2009年各地高考试题，对本专题的考查一是突出“稳”字，二是“近”字 。“稳”表现在：①题型、分值“稳”，本专题的考查主要题型是选择题和填空题，个别试卷在概率大题中用到本专题知识，并且在大纲试卷中多是两个题目，一般8——10分，在新课标理科试卷中，多为一个题目，一般4——5分，新课标的文科试卷没有；②难度“稳”，本专题考查的题目重在考查基本知识、基本技能和基本方法，没有难题和大运算的题目，综合性也不强，一般不超过两个知识点，属于低档容易题。“近”在这里有两层含义，①贴近大纲和课程标准，严格按照大纲和课程标准的规定出题，没有知识的太多综合，只出比较简单的问题；②贴近学生的实际生活，本专题的实际问题都是每个学生熟知的事物，对每个学生都是公平的，正如课程标准中所要求的使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。

在大纲版的试题中，虽然文、理的要求是一致的，但在各套试卷中，文科试题都比理科试题简单，体现文理的差别。 （2）命题趋势

2008年全国19套（37份）数学试卷考查本专题51个题目，2009年全国19套（37份）数学试卷考查本专题46个题目，且难度有所降低。随着课程标准的推广，由于文科对本专题不做要求，将来考查的题目还将减少，且更趋于考查基本概念、基本方法和基本技能，试题也将更贴近学生的实际生活和学生熟悉的社会生活。但绝不等于说不考、不重视了，因这部分内容有其独特的特点，是联系初等数学和高等数学的纽带和桥梁，也是离散数学的基础。

三、2009年高考数学试卷的亮点扫描 1 注重基础，考查常规知识

高考对二项式定理的考查基本成为固定模式，主要考查二项展开式、通项公式、二项系数的性质，题型也相对固定，基本是选择题和填空题。2009年的高考试题不回避基础、不回避常规。如

4例1（2009浙江卷理）在二项式(x?)的展开式中，含x的项的系数是( ) . 21x5A．?10 B．10 C．?5 D．5 答案：B

解析：对于Tr?1?C5(x)r25?r1r2(?)r???1?C5rx10?3r，对于10?3r?4,?r?2，则x4的项的系数是C5(?1)2?10 x评析：本题考查通项公式的直接应用，是考查基本知识的常规题目。2009年直接考查通项公式的还有：重庆文3、理3，湖南文11，全国I文13，四川文14、理13，全国II文14、理13等试题。

例2（2009北京卷理）若(1?2)5?a?b2(a,b为有理数），则a?b? （ ） A．45 B．55 C．70 D．80

解析 ∵1?2??5?C05?2?0?C15?2??C?2?1252?C35?2??C?2?3454?C55?2?

5 ?1?52?20?202?20?42?41?292，

由已知，得41?292?a?b2，∴a?b?41?29?70.故选C.

评析：本题考查二项展开式，是对基础知识、基本运算的考查。2009年各地试卷中，直接考查二项展开式的还有：北京卷文3，湖南卷理10，湖北卷文11等题目。 2 注重思维，考查通性通法

排列、组合和二项式定理这部分内容有独特的处理问题的方法和思考方法，比如：两个基本原理中的分类、分步的问题；排列问题中的相邻问题用捆绑法、不相邻问题利用插空法，特殊元素、特殊位置优先考虑 ，某些特定元素的“定序”问题； 组合问题中的至多、至少问题，不同元素的分组问题，分配问题（包括平均和不平均），相同元素的分组问题，分配问题；二项式定理中的特定项问题，系数问题，特殊赋值等。这些都形成这部分内容的规律，是通性通法。2009 年的高考试题既注重考查学生的思维方式方法，又不回避通性通法的考查，题目不偏、不怪，题目入口较宽，又有思维深度。 例

3

：

.(2009

湖

北

卷

理

)

设（2?x)2n?a0?a1x?a2x2?...?a2n?1x2n?1?a2nx2n2，则

lim[(a0?a2?a4?...?a2n)2?(a1?a3?a5?...?a2n?1)2]?

n??A.?1 B.0 C.1 D.解析1：令x?0得a0?(令x?1时(22n1)?n 222 22?1)2n?a0?a1?a2?????a2n 22?1)2n?a0?a1?a2?????a2n 2令x??1时(

(两式相加得：a0?a2?????a2n?(22?1)2n?(?1)2n22

222?1)2n?(?1)2n22

2两式相减得：a1?a3?????a2n?1?代入极限式可得，故选B 解析2：令x?1时(令x??1时(2?1)2n?a0?a1?a2?????a2n 22?1)2n?a0?a1?a2?????a2n 2lim[(a0?a2?a4?...?a2n)2?(a1?a3?a5?...?a2n?1)2]?

n??limn??(a0?a1???a2n)(a0?a1?a2???a2n)?lim[(n??22?1)(?1)]2n?0 22评析：处理多项式的系数问题经常利用特殊赋值法，从而得到关于系数的代数式，这是通法，它源于1999年全国高考题（8），本题又综合了极限的求法，还属于对通性通法的考查。

例4 （2009年四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生

相邻，则不同排法的种数是

A. 60 B. 48 C. 42 D. 36

22【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3，剩下一名女生记作B，A2?6种不同排法）

两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

22解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C3，剩下一名女生记作B，A2?6种不同排法）

两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：

第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A2A2=24种排法；

第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A2＝12种排法 第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。

此时共有6A2＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。

2222评析：本题既考查了相邻问题、不相邻问题，又考查了分类、分步的思想，是考查排列的通性通法的比较综合的题目。2009年的试卷中四川理11，北京文5、理7，等题目。

例5：8（2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种

112解析: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有C5?C3?C6?225种选法;

211 (2) 乙组中选出一名女生有C5?C6?C2?120种选法.故共有345种选法.选D

评析：本题考查分类思想和组合问题的基本问题，也是比较简单的典型小题。考查这类组合问题的还有：2009全国卷Ⅱ文10，2009全国卷Ⅱ理10，2009湖南卷文5，2009辽宁卷理5， 2009全国卷Ⅰ文7，2009湖南卷理5等题目。 例6：16（2009重庆卷理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种

（用数字作答）．

211C4?C2?C1解析：分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配到3个2A2211C4?C2?C13?A3?362A2

乡镇，其分法有A33所以满足条件得分配的方案有

评析：本题是利用排列组合知识进行不同元素的分配问题，先考虑将4名大学生分成3组，其中有两组是平均分配的，

然后再考虑三组分到不同的位置，是典型的排列组合的综合应用题——分配问题，虽然开始学生不太容易理解，但经过高考总复习，学生对这类问题还是能够掌握好的，是对常规方法考查。2009年考查排列组合综合应用的常规方法的还有：2009年重庆文8，2009广东卷理7，2009湖北卷理5，2009天津卷理16，2009陕西卷文9，2009宁夏海南卷理15，2009湖北卷文4等题目。 3探究开放，考查推理能力

思维是数学的灵魂，推理是数学的核心，数学离不开思维和推理。数学的每一个分支都是建立在某些公理之上的思维和推理的产物。同时，思维和推理能力也是一个人综合素质的体现，继续学习能力的体现。高考就是要把素质高，继续学习能力强的人选拔出来。下面的例7是以组合知识为载体，考查学生归的纳推理能力。 例7（2009浙江卷理）观察下列等式：

1 C5?C55?23?2，

159C9?C9?C9?27?23， 15913C13?C13?C13?C13?211?25， 1593 C1C1?7?C1?7C?171C717?27?125， 1………

由以上等式推测到一个一般的结论：

1594n?1对于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1? ．

*答案：24n?1???1?22n?1

nn【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有??1?，二项指数分别为2*1594n?124n?1???1?22n?1 对于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?n4n?1,22n?1，因此

评析：本题以组合数公式为载体，考查学生的思维水平。关键是根据前面所给式子观察分析等式右边的特点，右边有两项，且第二项正负交叉，肯定是（-1）n这种形式，再就是观察次数，第一项的次数是公差为4的等差数列，第二项的次数是公差为2的等差数列，本题就迎刃而解了。2009江西卷理7也是考查学生观察能力和思维深度的好题。 4 灵活新颖，考查创新能力

创新是一个民族的灵魂。课程标准要求培养学生的创新能力，平时的教学也要求学生举一反三，触类旁通，也要求

学生注意知识的横向结合，注意知识的正负迁移，目的就是要提高学生的创新能力。课程标准的要求及平时的教学怎样在高考中体现呢？

例8（2009陕西卷文）若(1?2x)（A）2 答案:C.

2009?a0?a1x???a2009x2009(x?R),则

（C）?1

(D) ?2aa1a2?2???2009的值为2222009 （B）0

解析:由题意容易发现a1

12008?C2009(?2)1??2?2009 , a2008?C2009(?2)2008?(?2)2008?2009,则

aa3a2006a1a1a2008a2a2007??2009,2008?2009,即+=0+=0+2006=0……… , 同理可以得出,20082008220073222222222009(?2)2009a2009a2009C2009a1a2??1 故选C. 亦即前2008项和为0, 则原式=?2???2009=2009?200922222评析：本题以组合数的性质为背景，构造多项式的系数，又以倒序相加思想为依托，考查学生对知识方法的理解以及数

学思想的应用，考查学生的创新意识和创新能力，是一个比较好的题目。陕西理6也是这个题目。 5 贴近生活，考查应用意识

应用是学习的目的和落脚点。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。课程标准规定：高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。考试大纲要求：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题。 例9.（2009重庆卷理）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）

A．

8254860 B． C． D． 91919191【答案】C

4【解析】因为总的滔法C15,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；

1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为

11211211C6?C5?C4?C6?C52?C4?C6?C5?C448 ?4C1591评析：本题以学生熟知的生活事例为背景，考查学生应用组合和概率知识的能力，考查学生的应用意识和应用能力，使

学生体会数学来源于现实，而又服务于现实。题目简单易懂、小巧轻灵，而立意深刻，是考查应用的好题。鉴于这部分的特点，这样的小题在2009年的高考题中是很多的，如2009年上海卷理7等，这里就不一一列举了。 6 横向结合，考查综合能力

排列组合问题实质上是一种计数的方法，其本身内部蕴含着丰富的内涵和魅力，是概率论的基础，也与其它分支有着必然的联系和交叉。很多问题能考查学生综合利用数学知识的综合能力。

例10（2009年安徽理10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于

高考资源网（A）

1234 （B） （C） （D） 75757575[解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这

226个点中任意选两个点连成直线，共有C6?C6?15?15?225

?B

C

?

?F

?D

种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有

? E ? A

AC//DB,AD//CB,AE//BF,AF//BE,CE//FD,CF//ED共12对，所以所求概率为p?w.w.w..s.5.u.c.o.m

124?，选D 22575评析：本题以正方体为实例，综合考查学生的组合知识、概率知识及空间的线面关系和空间想象能力，是一小型综合题。安徽的文科10也有异曲同工之妙。 四、复习建议

1 落实好基础知识和基本技能

本专题的课标要求和考试大纲要求前面第一部分已经阐明。

排列 排列数公式 两个基本原理组合 组合数公式、性质 应用 二项式定理 杨辉三角 本专题知识结构如下图：

两个基本原理是本专题的基础，它们的使用贯穿整个专题，排列和组合的意义、排列数公式、组合数公式、二项式定理是重点，本专题的难点是如何利用两个基本原理和相关的公式解决实际应用问题。

两个基本原理是从现实中总结归纳出的研究“完成一件事”的方法数重要工具。复习时一定让学生理解这两个基本原理。理解“完成一件事”的含义，知道“完成一件事”的目的和方式。“分类完成这件事”是指做这件事可分成若干类方法，每类方法都能完成，各类方法相互独立，“分类”时一定做到“不重”、“不漏”，用集合语言说也就是各类之间的交集一定是空集，各类的并集一定是全集；“分步完成一件事”是指完成这件事要分成若干步骤，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了这件事才算完成，任何一个步骤都不能独立地完成这件事。“分步”时首先根据问题的特点确定一个可行的标准（任何一种方法都需分成这些步骤），其次，步骤的设置要满足完成这件事必须且只需连续完成这些步骤后，这件事才算完成。

排列组合是两个基本原理之后的两个基本概念，判断一个具体问题是排列问题还是组合问题，就要看从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素是有序还是无序，有序是排列问题，无序则是组合问题，判断是有序还是无序的方法是改变元素的相对位置看是否影响计数的结果，影响则有序，不影响则无序。

排列和排列数是两个不同的概念，一个排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，它不是一个数，而是一个具体的排列（或者说是具体的一件事）。排列数是指指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，它一定是一个正整数。组合和组合数是两个不同的概念，一个组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，合成一组，它不是一个数，而是一个具体的组合（或者说是具体的一件事）。组合数是指指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，它一定是一个正整数。对于排列数公式、组合数公式要注意两种形式——连乘式和阶乘式，要分清什么情况下用什么公式；对于组合数的两个性质要注意从实际意义和公式的形式上理解。

二项式定理是用组合理论研究n 个二项式相乘的问题，复习时要让学生能够利用组合理论给予证明，记准其形式，特别是通项公式，注意项数比b的次数大1，能够利用通项公式求某些指定的项（如常数项、有理项等）及某些变形问题；注意二项式系数和某项的系数的区别和联系，二项式系数的性质实质是组合数性质的应用，复习时使学生掌握这些性质的由来，并能利用二项式系数的性质和特殊赋值法解决一些有关多项式系数的一些问题。 2掌握好通性通法并注意数学思想的提炼

本专题内容是高中数学中，相对独立的一部分，也是联系实际较强的一部分，具有概念性强、灵活性强、抽象性强、思维方法新颖等特点，但也有一些相对固定的规律和通性通法，复习时一定让学生掌握理解好这些通性通法。本专题常用的相对固定的规律和方法有：

（1）两个基本原理是解决排列组合的理论基础，分类和分步的依据在于能否“一次性”完成，若能“一次性”完成，则不需分步只需分类，否则，需分步处理。当然，分类必须遵守“不重不漏”的原则。

（2）在解决排列问题时经常用到①特殊元素（位置）优先考虑法②相邻问题捆绑法③不相邻问题插控法④某些特定元素的定序问题，可先不考虑顺序限制，最后再根据定序限制的实情除以某个常数。

（3）在解决组合问题时，按元素性质分类、按事件发生的过程分步是基本的方法，同时一定要注意“有放回”和“无放回”，“至多”和“至少”等限制词的含义

（3）在解决排列组合综合题时一般是“先取后排”，或充分利用元素性质分类、分步，再利用两个基本原理求解。对于常见“分配问题”“分组问题”“相同元素”“不同元素”要掌握好各自不同的处理方法。

（4）在解决二项定理问题时，除了前面所说的基本公式外，常用的方法就是列方程法和特殊赋值法。

数学思想在本专题主要体现是化归思想，分类讨论思想，建模思想，集合论中的整体思想，方程思想以及特殊化思想。在复习的过程中，使学生逐渐体会和升华，从而使学生的数学素养有进一步的提升。

3适当控制难度

由于高考题常常将这部分内容的考查放在选择题和填空题中，所以，在复习中一定要准确定位，控制好难度，一般控制在中低档题即可，使学生做熟、做对、做好。不要无限拔高，搞些偏题、难题，白白浪费宝贵的复习时间。

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