介值定理及其应用

邯郸学院本科毕业论文 题 目 学 生 指导教师年 级 专 业 二级学院 （系、部）

介值定理及其应用 姚 梅 王淑云 教授 2008级本科 数学与应用数学 数学系 邯郸学院数学系 2012年6月

郑重声明

本人的毕业论文是在指导教师王淑云的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．

毕业论文作者（签名）：

年 月 日

介值定理及其应用

摘 要

介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在《数学分析》教材中，一般应用有关实数完备性定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明．本课题通过构造辅助函数，应用区间套定理、致密性定理、柯西收敛准则、确界原理对介值定理进行证明．介值定理应用非常广泛，应用介值定理能很巧妙的解决一些问题．如利用介值定理可证明根的存在性、证明不等式、证明一些等式以及解决实际问题等．此外本文还对介值定理进行了推广，并且列举了一些具体的例题来展示推广的介值定理的应用．

关键词：介值定理 连续函数 根的存在定理 应用

I

Intermediate value theorem and its application

Yao Mei Drected by Professor Wang Shuyun

ABSTRACT

Intermediate value theorem is a continuous function on a closed interval in an important properties. In\mathematical analysis\textbook, general application about real number completeness theorem of supremum principle, the monotone bounded theorem, nested interval theorem, finite covering theorem to prove. This topic through the construction of auxiliary function, application of nested interval theorem, compact theorem, Cauchy convergence criterion, principle of supremum and infimum proves that intermediate value theorem. Intermediate value theorem is widely used and this theorem can be very cleverly to solve some problems. Such as the use of intermediate value theorem can be proof of the existence of the root, the proof of inequality, that some equation and solving practical problems. In addition to the intermediate value theorem is generalized and lists some specific examples to demonstrate the wide application of intermediate value theorem.

KEY WORDS：Intermediate value theorem Continuous function The existence theorem of root

Application

II

目 录

摘 要 ..............................................................I 外文页 .............................................................II 前 言 ..............................................................1 1 介值定理及其证明方法 ..............................................2

1.1 介值定理的内容 ..............................................2 1.2 介值定理的四种证明方法 ......................................2

1.2.1 应用确界原理 ...........................................2 1.2.2 应用区间套定理 .........................................3 1.2.3 应用致密性定理证明 .....................................4 1.2.4 应用柯西收敛准则证明 ...................................6

2 介值定理的应用 ....................................................7

2.1 利用介值定理判断方程根的存在性 ..............................7 2.2 介值定理在解不等式中的应用 ..................................9 2.3 介值定理在证明等式中的应用 .................................11 2.4 介值定理在实际问题中的应用 .................................13 3 介值定理的推广 ...................................................15

3.1 一元函数介值定理的推广 .....................................15

3.1.1 推广介值定理的内容 ....................................15 3.1.2 推广的介值定理的一个应用 ..............................16 3.2 二元函数的介值定理 ........................................19

3.2.1 二元函数介值性定理的内容 ..............................19 3.2.2 二元函数介值定理的应用 ................................20

参考文献 ...........................................................22 致 谢 .............................................................22

1

前 言

介值定理是闭区间上连续函数的一个重要性质．这一定理虽然简单，但应用却异常广泛，微积分理论中有不少定理的证明要用到该定理．介值定理（Intermediate value theorem）首先由伯纳德·波尔查诺提出和证明．对波尔查诺来说有点不幸的是：他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视，他的许多成果等到后来才被重新发现，但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了.

华东师范大学版的《数学分析》对介值定理的描述是：设函数f在闭区间?a,b?上连续，且f(a)?f(b).设?为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a)???f(b)或

f(a)???f(b)）,则至少存在一点x0?(a,b),使得f(x0)??．介值定理是闭区间上连续

函数的重要性质之一，在《数学分析》教材中一般应用有关实数完备性的6个基本定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明．在这里我们通过巧妙地构造辅助函数，应用区间套定理，致密性定理，柯西收敛准则以及确界原理来证明．介值定理在连续函数中具有广泛的应用性．比如判断方程根的存在性、求解不等式、证明一些等式、解决实际问题等．

当然还有其它许多关于介值定理的研究，他们多数都是针对介值定理的某一方面而进行的，例如叶国柄发表在陕西工学院学报的一篇文章《介值定理的推广及其应用》，一方面他把闭区间推广为任意区间，另一方面从常数f(a)和f(b)入手，f(a)和f(b)也可以为

??或??．利用推广的介值定理，得到了求一类方程绝对误差为0.1m(m?N)的近似解的一种好方法．

此外二元函数介值定理的介绍，拓宽了研究范围，加深了学习难度．使我们能够更加努力地学习．

1

1 介值定理及其证明方法

1.1 介值定理的内容

定理[1] 设函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?f(b).设?为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a)???f(b)或f(a)???f(b)）,则至少存在一点x0?(a,b),使得

f(x0)??．

这个定理表明，若f在[a,b]上连续，又不妨设f(a)?f(b)，则f在[a,b]上必能取得区间[f(a),f(b)]上的一切值，即有

[f(a),f(b)]?f([a,b])．

推论（根的存在定理） 若函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即

f(a)f(b)?0），则至少存在一点x0?(a,b)，使得

f(x0)?0．

即方程f(x)?0在(a,b)内至少有一个根．根的存在定理也就是零点定理．在下面一些问题的证明中，我们会多次应用根的存在定理也即零点定理来解决一些问题，并且借用根的存在定理证明介值定理．

1.2 介值定理的四种证明方法 1.2.1 应用确界原理[1]

不妨设f(a)?u?f(b)．令g(x)?f(x)?u，则g也是[a,b]上的连续函数，且

g(a)?0,g(b)?0．于是定理的结论转化为：存在x0?(a,b),使得g(x0)?0．这个简单的情

形即为根的存在性定理．

记E??xg(x)?0,x?[a,b]?.显然E为非空有界集(E?[a,b]且b?E),故由确界原理，E2

有下确界，记x0?infE.因由连续函数的局部保号性，存在??0,使得在[a,a??)内g(x)?0,在(b??,b]内g(x)?0,由此易见x0?a,x0?b,即x0?(a,b)．

下证g(x0)?0．倘若g(x0)?0,不妨设g(x0)?0,则又由局部保号性，存在U(x0;?)

(?(a,b)),使在

g(x)?0,特别有g(x0?)?0?x0??E．但这与x0?infE相矛盾，

22??故必有g(x0)?0．

1.2.2 应用区间套定理[1]

我们可以把问题转换为证明根的存在定理，即若函数g在[a,b]上连续g(a)?0，

g(b)?0，则存在x0?(a,b)使得g(x0)?0．

将[a,b]等分为两个子区间[a,c]与[c,b]．若g(c)?0，则c即为所求；若g(c)?0，则当g(c)?0时记[a1,b1]?[a,c]，当g(c)?0时记[a1,b1]?[c,b]．于是有g(a1)?0,g(b1)?0，且[a1,b1]?[a,b]，b1?a1?1(b?a)． 2再从区间[a1,b1]出发，重复上述过程，得到：或者在[a1,b1]的中点c1上有g(c1)?0，或者有闭区间[a2,b2]，满足g(a2)?0,g(b2)?0，且[a2,b2]?[a1,b1]，b2?a2?将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：

(1)在某一区间的中点ci上有g(ci)?0，即ci即为所求；

1(b?a)． 22(2)在任一区间的中点ci上均有g(ci)?0，则得到闭区间列{[an,bn]}，满足

g(an)?0,g(bn)?0，且

[an?1,bn?1]?[an,bn]，bn?an?1(b?a),n?1,2,?. 2n由区间套定理，存在点x0?[an,bn],n?1,2,?.下证g(x0)?0.倘若g(x0)?0,不妨设

g(x0)?0,则由局部保号性，存在U(x0;?),使在其内有g(x)?0.而由区间套定理的推论，当但这与[an,bn]选取时应满足的g(an)?0n充分大时有[an,bn]?U(x0;?),因而有g(an)?0．相矛盾，故必有g(x0)?0．

3

1.2.3 应用致密性定理证明

先证明下面两个引理

引理1[2] 设?xn?是有界数列，而且lim(xn?1?xn)?0，则?xn?的聚点的集合是[a,b]，其

n??中a?limxn,b?limxn,

n??n??证明 根据定义，a与b都是?xn?的聚点，故我们只要证明a与b之间的任意实数

x(a?x?b)都是?xn?的聚点即可．

?，必有n*?n0?存在，使得xn??x??． 先证对于任给的??0及任给的正整数n0??时，恒有xn?1?xn??． ??存在，使当n?n0事实上，由假定可知必有正整数n0?,n0???,则数列{xn}????令n0?max?n0n?n0?1 中必至少有两项xn和xn存在，使

??x,xn???x（因为否则的话，例如，无小于x的项，则必limxn?x，此与a?x矛盾）． xnn??不妨设n??n??，令满足n??n?n??，且使xn?x 的正整数n中之最大者为n*，显然

n*?n???1，且xn??x,xn?1??x，

因此n*?n0，且xn??x?xn?1??xn???．

先取?1?1,N1?1，则存在xn1(n1?1)，使xn1?x?1；

?2?12，N2?n1，则存在xn2(n2?n1)，使xn?x?12；

2又取?3?1,N3?n2，则存在xn3(n3?n2)，使xn3?x?1

33如此继续下去，得到?xn?的一个子列{xnk}，满足xnk?x?1(k?1,2,3...)，故

kxnk?x(k??)，即x是?xn?的一个聚点．

引理2[3] 设f在闭区间[a,b]连续，数列?xn??[a,b]且limf(xn)?A，证明存在点

n????[a,b]，使得f(?)?A．

证明 因为?xn??[a,b]，所以?xn?有界．由致密性定理“有界数列必有收敛子列”可

知?xn?中必有收敛子列xnk，设limxnk??．由于a?xnk?b,故??[a,b]．又limf(xn)?A,

k??n????4

故limf(xnk)?A,．由于f在闭区间[a,b]连续，因而

k??A?limf(xnk)?f(limxnk)?f(?)．

k??k??下面对根的存在性定理进行证明

证明 取[a,b]的中点，记为x1，再取[a,x1]及[x1,b]的中点，分别记为

x2,x3，且

x1?x2?x2?x3?1(b?a)． 2又取[x3,b],[x1,x3],[x2,x1],[a,x2]的中点，顺次记为x4,x5,x6,x7,且

x3?x4?xi?1?xi?1(b?a),i?4,5,6. 22然后取[a,x7],[x7,x2],[x2,x6],[x6,x1],[x1,x5],[x5,x3],[x3,x4],[x4,b]的中点，顺次 记为x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14,x15,且

x7?x8?xi?1?xi?1(b?a),i?8,9,10,?,14． 23如此继续下去可得到数列{xn}，满足：对任意的正整数n，存在正整 数k，使2k?n?1?2k?1，从而有

xn?1?xn?1(b?a)． 2k由于g(x)在闭区间[a,b]连续，所以g(x)在闭区间[a,b]上一致连续且有界，因而，对任给的??0，存在??0，及正整数N，当n,k?N时，有

xn?1?xn?1(b?a)??． 2k因而g(xn?1)?g(xn)??．即有

lim(g(xn?1)?g(xn))?0．

n??由引理2 得{g(xn)}的聚点的集合是[?,?]，其中??limg(xn),??limg(xn),

n??n??2n?12n?1显然{xn}的子列{xni}：x7,x8,x31,x32,?,x2?1,x2,?收敛于a；{xn}的子列{xni}：2n2nx3,x4,x15,x16,?,x2?1,x2,?,收敛于b．

由于g(x)在[a,b]上连续,所以有

5

m?1SD??f(x,y)d??M，

D由介值性定理存在(?,?)?D，使得

??f(x,y)d?D?f(?,?)SD．

例3.3 设f(t)在区间(a,b)内连续可导，函数

F(x,y)?f(x)?f(y)x?y(x?y),F(x,y)?f?(x)

定义在区域D?(a,b)?(a,b)内．证明：对任何c?(a,b)，有

(x,y)?(c,c)limF(x,y)?f?(c)．

证 由于f(t)在(a,b)内连续可导，当(x,y)?D且x?y时，在以x,y为端点的区间上应用拉格朗日中值定理有：

F(x,y)?f(x)?f(y)?f?(?)， ??(x,y)，

x?y又由于

F(x,y)?f?(x)，

则?(x,y)?D，???(x,y)，使得：

F(x,y)?f?(?)，

而当(x,y)?(c,c)时，??c并且f?(t)在c处连续，从而

(x,y)?(c,c)limF(x,y)?f?(c)．

本课题简单地介绍了介值定理，首先介绍了介值定理的四中证明方法，应用区间套定理证明、应用致密性定理证明、应用柯西收敛准则证明以及应用确界原理证明.然后通过一些具体的例题来展示介值定理的广泛应用性，最后本课题简单地介绍了一下推广的介值定理，以及二元函数介值定理.通过本文的介绍，我们对介值定理有了更加深刻的认识，这对于我们的学习是很有帮助的.

21

参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].上册.第3版.北京：高等教育出版社，2004 [2] 汪林数．学分析中的问题和反例[M].昆明：云南科学出版社，1999 [3] Jing Z．From ordinary fact to surprising theorem[J],Nature J．，1985,8(7) [4] 郭计敏.介值定理的证明及应用[J].职校论坛，2009（23）

[5] 谢国军，耿秀荣．介值定理在连续函数中的应用[J].柳州职业技术学院学报，2007 [6] 何厚兵.介值定理在不等式教学中的应用[J].中国科教创新导刊，2008（24） [7] 黄道增.连续函数介值定理的应用[J].长江大学学报，2010(3) [8] 叶国柄.介值定理的推广及其应用[J].陕西工学院学报，2011(4)

[9] 华东师范大学数学系.数学分析[M].下册.第3版.北京：高等教育出版社，2004 [10] 刘玉琏，傅沛仁编．数学分析讲义[M]. 北京:高等教育出版社,1999

[11] 岳贵新，邱翠萍.介值定理在解初等不等式中的应用[J].辽宁省交通高等专科学校学报，2002（4）

[12] 梁瑞光，郭强.介值定理在中学数学中的应用[J].长治学院学报，2011（2）

致 谢

在此篇毕业论文划上句号之际，我郑重地向我的指导教师王淑云老师表示我最诚挚的感谢！衷心地感谢她的关心、指导和教诲．在王老师的精心引导下，几经修改我终于完成了毕业论文，从她身上我获得了太多的文化和知识，王淑云老师追求真理、献身科学、严以律己、宽已待人的崇高品质对学生将是永远的鞭策．

我在撰写毕业论文期间的工作自始至终都是在王淑云老师的全面、具体指导下进行的．老师渊博的学识、民主而严谨的作风，使我受益匪浅．王淑云老师谦逊的学术作风和高尚的人格品德将永远激励我前行!

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最后还要感谢我的同学和朋友四年来对我的关心和帮助．

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