配极理论在初等几何中的运用

安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文

配极理论在初等几何中的运用

作者：邵锐 指导老师：胡翔

摘要 配极理论是高等几何（射影几何）里的一个重要理论方法，它包括配极原则、配极变换等，

它在初等几何方面有着广泛的应用.初等几何是以静止的观点研究一些简单而又规则的图形,主要是在欧氏几何的基础上进行研究的.本文总结了配极理论的相关性质，利用配极原则和配极变换对初等几何中的某些命题进行了阐述与分析，讨论了它在初等几何方面的应用. 关键词 配极理论 射影几何 极点 极线 初等几何

1 引言

几何学是数学的一个基础分支，主要研究形状、大小、图形的相对位置等空间区域关系以及空间形式的度量.几何学最初是从测量土地等社会关系实践活动中产生和发展起来的.随着人类社会的不断发展，人们对物体的形状、大小和相互之间的位置关系的认识愈来愈丰富，逐渐地积累起较丰富的几何学知识.

随后，希腊数学家欧几里得对人类祖先的社会生产实践中运用的几何知识进行了总结，使之成为公理化思想，而欧几里得的《几何原本》是当时最权威的著作.但是欧几里得的著作中存在公理不足的问题，然而随着对几何学的深入学习和研究，德国数学家希尔伯特在《几何基础》中提出并完善了欧氏几何中完善的公理系统理论知识，促进了几何学的进一步传播.我们平时所说的几何学和几何定理是从它们自身相对应的公理系统来考虑的，而对于不同的公理系统可以有不同的几何学的理解.

到了十九世纪，数学领域又出现了几何学的一个新的分支——射影几何，即我们平时所说的高等几何.概括的说，射影几何是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学.配极理论是高等几何里的一个重要理论方法，它包括配极原则，配极变换等， 我们常利用这些方法研究某些初等几何问题.初等几何是以静止的观点研究一些简单而又规则的图形,主要是从欧氏几何的基础上进行研究的，高等几何则是以变动的观点研究变动的图形.相比较而言,它们虽然同属几何学科,但其观点层次的高低不同.高等几何是在初等几何乃至高等代数等课程的基础上研究几何问题的.我们通过一些具体的实例来了解一下高等几何中的相关理论在初等几何中的运用.

2 极点与极线

为了下面更好地介绍配极理论在初等几何中的运用，我们先介绍极点与极线的定义及相关定理.先讨论二阶曲线与直线的相关位置.

设两个点P,Q的坐标分别为P?p1,p2,p3?,Q?q1,q2,q3?，则直线PQ上任意点的坐标可以写为?x1,x2,x3?，其中

xi?pi??qi ?i?1,2,?3

以下先求直线PQ与二阶曲线

i,j?1?axxiji3j?0 ?aij?aji

?的交点.将xi?pi??qi代入上式得

i,j?1?a?p??q??pijii3j??qj??0

为了书写方便，我们先引入以下记号：

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3S?Sp?Sq?i,j?13?axxijii,j?13j

?aijpixj

ji,j?1?aqxiji

Spq?Sqp?i,j?13?a3ijpiqj pipj

i,j?1?aij当P?p1,p2,p3?点在二阶曲线S?0上时，P处的切线方程为：

Sp?0.

定义2.1[2] 给定二阶曲线?c?，如果两点P,Q（P不在?c?上）的连线与二阶曲线?c?交于两点M1,M2，且?M1,M2,PQ???1，则称P,Q关于二阶曲线?c?调和共轭，或点Q与P关于二阶曲线?c?互为共轭点.

定理2.1[4] 一定点关于一个二阶曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线. 证明 设点P的坐标为?p1,p2,p3?，二阶曲线?c?的方程为

3S?则P的调和共轭点的轨迹方程为

i,j?1?axxijij?0，

Sp?0.

推论[4] 不在二阶曲线?c?上的二点P?p?,Q?q?关于?c?调和共轭的充要条件是

Spq?0.

定义2.2[4] 直线Sp?0叫做P?p?关于二阶曲线?c?的极线；而点P叫做直线Sp?0的极点.

3 利用配极原则解决某些初等几何命题

某些初等几何命题，如果用初等方法求解，十分不便，而利用配极原则来求解却非常方便.为此，这里给出配极原则的相关定理、推论以及它的定义.

定理3.1[4] （配极原则）如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线也通过P点.

证明 设二阶曲线的方程为S?0，P点的坐标为?p1,p2,p3?，Q点的坐标为

?q1,q2,q3?，于是，P点关于S?0的极线为Sp?0，Q点关于S?0的极线为Sq?0，因P点的极线通过Q点，所以有

Spq?0，

但Spq?Sqp.所以有

Sqp?0

这表示Q点的极线Sq?0通过P点.

推论 3.1[2] 两点连线的极点是此二极点的交点；两直线交点的极线是此二直线极点的连线.

推论 3.2[2] 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.

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推论 3.3[2] 设PA,PB为二阶曲线的切线，若其中A,B为切点，则AB为P点的极线. 我们规定点P关于非退化二次曲线S?0的极线方程为Sr?0，并且：当点P在曲线

S?0上的时候，Sp?0就是过P的曲线S?0的切线方程；当点P在曲线S?0外的时候，

Sp?0就是过P的曲线S?0的两条切线的切点连线的方程；当点P在曲线S?0内的时候，

Sp?0就是过P的曲线S?0的弦的端点的两条切线的交点的轨迹方程.特别地，P点是二次

曲线S?0的焦点时，Sr?0就是该曲线S?0的准线的方程.

O的极线p垂直于直线OP.

证明 若点P在O外，过P作O的切线PB,PC，B,C为切点，那么OP?BC.而BC就是P关于O的极线p，故p?OP；若P在O上，过P点的极线就是过切点P的切线p，因而OP?BC；若P在O内但P于O不重合，过P作OP的垂线交O于

如果EB交CF于M，那么p即MN就是P关于O的极线，设BCE,F，EC交BF于N，

交MN于S，由完全四边形的调和性质有：点S是P关于B,C的调和共轭点，然而P是BC的中点，故S是直线BC上的无穷远点，而S又在p上，于是pBC，而OP?BC，即OP?p.

例1 一点P关于

例2 设在圆内接四边形的顶点作该圆的切线，形成一个外切四边形，则：（1）这两个四边形的对角线通过同一点，并组成调和线束.（2）两个相应的完全四边形的顶线在同一条直线上，并且互相调和分割.

STDPUCVRAWBF

图3-1

证明 设TUVW为圆内接四边形，过它的顶点的切线形成外切四边形ABCD，R,S分别是四边形TUVW两双对边的交点，P是它的对角线的交点，E,F是ABCD两双对边的交点.由于R,S的极线分别为PS和PR，故RS的极点为P.

（1）由于直线TW,UV,RS,PS通过S，则其四极点A,C,P,R共线，又直线

TU,VW,RS,PR通过同一点R，则其极点B,D,P,S共线，因此，四边形ABCD的对角线AC,BD通过点P.由于PR是点S之极线，则直线TW和PR的交点K与点S调和分割TW，所以，依次通过T,W,K,S的直线TV,UW,AC,BD形成调和线束.

（2）直线TV,UW,AC,BD通过同一点P,则极点E,F,S,R共线,点R,S调和分割线段EF,因为直线EF,AC,BD是完全四边形ABCD的对角线,而完全四边形的每一条对顶线

被其余两条对顶线调和分割,故（2）成立.

例3 设ABCD为圆外切四边形,E、F、G、H为AB、BC、CD、DA边上的切点，则AC、BD、EG、HF共点.

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XAEHDGOYBFC图3-2

证明 如图3-2，设HE交FG于M，EF交HG于N，EG交FH于O，因A、C的极线EH、FG均过M，故AC的连线为M的极线.同理BD为N的极线,于是MN为

但MN为O的极线，所以AC交BD于O，从而AC、BD、EG、FHAC,BD交点的极线，共点O.

利用配极原则，一点P（x0,y0）关于二次曲线ax?bxy?cy?dx?ey?f?0的极线（特殊时即为切线）的方程就是在曲线方程中，用x0x代x，

222

y0x?x0yx?x2代xy.y0y代y，0代22x，

y0?y代y，常数项不变所得的方程. 22例4 经过点（8,13），作抛物线y?6x的切线，求其切线方程.

2???13y?3(8?x)?x??x?96?Sp?0解 联立?，即（2/3,2），（96,24）为切点，??2??3,?2y?24????y?6x?y?6x?y?2故所求切线的方程为3x?2y?2?0或x?8y?96?0.其中Sp?0是点P（8,13）关于此抛物线的极线方程.

4 配极变换在初等几何中的若干应用 4.1 配极变换的性质在初等几何中的应用

配极变换（又称配极对应）是高等几何教学内容中一个重要的几何变换，配极变换在初

等几何中的应用比较广泛, 利用配极变换的基本性质去处理初等几何中的

1 证明线段, 角的平分问题;

2 关于某些共点, 共线问题的证明;

3 利用配极变换可以推导初等几何, 解析几何中的一些命题;

4 过圆锥曲线外一点引圆锥曲线切线的作图等, 一般来说, 比其用初等几何方法有其优越性.

为了应用方便，先给出配极变换的定义和几个性质.

定义4.1.1[2] 平面内一点与关于一个非退化二阶曲线的极线相对应，这种一一对应叫配极变换.

性质 1[2] 常态二阶曲线上一点的极线，是二阶曲线在该点的切线.

性质 2[2] 点不在二阶曲线上，若存在两条切线，则两切点的连线就是该点的极线.若不存在切线，则过该点的直线与曲线的交点处的两条切线的交点在这点的极线上.

性质 3[2] 若点y的极线通过点z，则点z的极线通过点y. 性质 4[2] 共线点的极线共点，共点线的极点共线.

性质 5[2] 一调和点列各点关于同一常态二阶曲线的极线成调和线束.

例5 过点P作圆的两条切线PA、PB（A、B为切点），且过P作一直线平行于圆上

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点Q的切线，分别交QA、QB于点E、F，证明EP?FP.

FPEQZAO

yB图4.1-1 图1 证明 点P的极线为AB，设它交于点Q的切线于Z，因为点Z在点P的极线上，所以由性质3知点P在Z的极线上，因此，点Z的极线是PQ.由极线定义知?AB,YZ???1，又因为EFQZ，直线EF截上述调和线束得?EF,PZ????1，所以点P是线段EF的中点，故EP?FP.

例6 从圆外二定点P、Q分别作切线PA、PB、QC、QD.（其中A,B,C,D是切点）设AC?BD?G,AD?CB?R.试证: P,Q,R,G四点共线.

RQDEAGBCP图4.1-2

证明 如图4.1-2，设AB?CD?E，且直线AB,CD分别是点P和点Q的极线. 点E在AB,CD上，

?由配极原则知点E的极线是PQ. ABCD为圆的内接四边形.

??GER为自配极三点形，E的极线是RG.

一点关于同圆的极线是唯一的.

?直线PQ与RG重合，故P,Q,R,G四点共线.

4.2 利用配极变换导出一些新的几何命题

利用几何学中已有的许多命题，通过配极变换都可以导出新的、更为有趣的几何命题.

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PBQCSRAD

原命题 四边形ABCD外切于圆； 四边AB、BC、CD、DA(切线)； 极点A、C、B、D； 极线AC、BD、PR、QS. 图5.4-1 配极命题 四角形PQRS内接于圆； 四顶点P、Q、R、S（切点）； 极线PS、QR、PQ、SR； 极点PS?QR、PQ?SR、AB?CD、AD?BC. 四极线AC、BD、PR、QS共点. 四极点PS?QR、PQ?SR、AB?CD、AD?BC共线.（共点线的极点必共线） 由此得到原定理的配极定理：若四角形内接于圆，则其两对对边的交点及过两对对顶点切线的交点必四点共线（如图5.4-1）.

5.5 有关作图问题

应用配极来解决相关作图问题.

例11 已知四直线a,b,c,d都不与O相切，求作O的外切四边形ABCD，使四点A,B,C,D分别落在a,b,c,d上.

分析 （如图5.5-1）（1）设O的外切四边形ABCD已作出,四边AB,BC,CD,DA的切点分别为P,Q,R,S.因为SP,PQ,QR,RS的极点ABCD分别落在直线a,b,c,d的充要条件是SP,PQ,QR,RS分别过a,b,c,d的极点A?,B?,C?,D?.而四点A?,B?,C?,D?可作出，于是只要求得O的内接四边形SPQR,使它的四边分别通过A?,B?,C?,D?,作图即可完成.

（2）设A?B和C?D交于点G，设以A?为反演中心，P,S为一双对应点的反演变换（其

'反演幂是点A对于O的幂）中，B?的反演点是E，又设以点D?为反演中心，S,R为一双对应点的反演变换（其反演幂是点D?对于O的幂）中，C?的反演点是F，四点P,B?,S,E及四点R,C?,S,F分别共圆，于是?SFC???SRC?????SPB?????SEB???SEG,故四点G,E,F,S共圆。所以点S是OGEF和O的交点，S点可求得，从而O的内接四边形SPQR可作出.

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AaPBSbQCDc'Rd

c图5.5-1

结束语

综上所述，我们对几何学有了一定的了解，并通过几何学的一个分支——射影几何，对其在初等几何中的相关应用做了阐述和分析.通过引出极线和几点的定义了解了配极理论中配极原则和配极变换在初等几何方面的实际运用，总结了配极原则和配极变换的几个定理以及它们的性质.方便以后我们更好地解决初等几何中的问题.

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Polar theory in the application of elementary geometry

Author: Shao Rui Teacher: Hu Xiang

Abstracts Polar theory of Higher Geometry (projective geometry) is an important method.It includes the principle of polar, polar transformation etc.. It is widely used in elementary geometry.In view of elementary geometry is still simple and regular pattern.It is mainly studied based on Euclidean geometry. This paper summarizes the related properties of polar theory, it describes and analyses some propositions in elementary geometry by using of the principle polar and polar transformation.and this paper discusses its application in the elementary geometry.

Key words Polar theory projective geometry Pole and polar line elementary geometry Application

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