2.2.3_线面平行的性质定理

2.2.3 线面平行的性质定理

必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

复习1:直线和平面的位置关系1、直线和平面有哪几种位置关系？ 平行、相交、直线在平面内 2、反映直线和平面三种位置关系的依据是什么？ 公共点的个数 1.直线在平面内——有无数个公共点； 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点； 3.直线与平面平行——没有公共点。

复习2:面面平行的判定定理判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该 直线与此平面平行.(线线平行，线面平行)

具备的条件是: 一线在平面外,一线在平面内;两直线互相平行。必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

思考：如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这平面内的所有直线都 平行？a c

b

那么直线a会与平面 内那些线平行呢？必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

思考： 教室内日光灯管所在直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯 管所在的直线平行？ 怎样作平行 线？

l

a

a

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直 线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 试用文字语言将上述原理表述成一个命题. 平行.必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

探研新知

已知：如图，a∥α , a β ,α ∩β =b。 求证：a∥b。

a b

证明：∵α ∩β =b,∴b α ∵ a∥α ,∴a与b无公共点， ∵a β ,b β ,∴a∥b。

我们可以把这个结论作定理来用.必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

线面平行的性质定理定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。 a图形 α符号语言:

β

b

a // , a , b

a // b.

判定直线与直线平行的重要依据。 作用： 关键：寻找平面与平面的交线。 简述：线面平行，则线线平行必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

1.如果一条直线和一个平面平行，则这条直线( D )

A 只和这个平面内一条直线平行；B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。

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点、直线、平面之间的位置关系

2.判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由， 若不正确，请给出反例.(1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的 任何平面；( ) (2)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α , b ∥ α ,那么a ∥ b ;( )

(3)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ b,a ∥ α ,b α , 那么 b ∥ α ;( )(4)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.(必修2 第二章 点、直线、

平面之间的位置关系

)

定理的应用例3:有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1) 要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木 料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关 系？

解：(1)过点P作EF∥B’C’, 分别交棱A’B’,C’D’于点E, F。连接BE,CF,则 EF,BE,CF就是应画的线。A1

D1 P

E

C1

FD

B1C B

A必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

例题示范

例3:有一块木料如图，已知棱BC平 行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一 点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面 AC有什么关系？

(2)因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与平面A'C' 交于B'C',所以BC∥B'C',由(1)知，EF∥B'C', 所以，EF∥BC,因此，EF//BC, EF 平面AC,BC 平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

定理的应用例4:已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个 平面，求证：另一条也平行于这个平面。 第一步:将原题改写成数学符号 语言 如图,已知直线a,b,平面α,且 a//b,a//α ,a,b都在平面α 外. 求证:b//α. 第二步:分析：怎样进行平行的 转化？→如何作辅助平面？

第三步:书写证明过程必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

定理的应用例4 如图,已知直线a,b,平 面α,且a//b,a//α ,a,b都在 平面α 外.求证:b//α.证明:过a作平面β ,使它与 平面α相交,交线为c. 因为a//α,a β ,α Çβ =c, 所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c α, b α, 所以 b// α。必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

线面平行性质定理的简单应用 如图所示，四边形 ABCD 是矩形，P 平 面 ABCD,过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于 E,交 DP 于 F.求证：四边形 BCFE 是梯形.

证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD, 而AD 平面PAD, ∴BC∥平面PAD. 又∵过BC的平面FEBC与平面PAD 的交线为EF, ∴BC∥EF,显然EF≠BC, ∴四边形BCFE是梯形.

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2、已知：如图，AB//平面 ,AC//BD,且AC、BD与 分别相 交于点C, D. 求证：AC=BDAC//BD 证明： AC与BD 确定一个平面ADAB//平面 AB 平面AD 平面 平面AD CD

巩固练习:

AB // CD

AC // BD

平行四边形

ABCD为

AC BD必修2 第二章

点、直线、平面之间的位置关系

巩固练习:3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,H分别 为棱A1B1,D1C1上的点，且EH∥A1D1,过EH 的平 面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F,G, 求证：FG∥平面ADD1A1.

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点、直线、平面之间的位置关系

证明： 因为EH∥A1D1,EH 平面BCC1B1, FG 平面BCC1B1, 所以EH∥平面BCC1B

1, 又平面FGHE∩平面BCC1B1=FG, 所以EH∥FG, 即FG∥EH∥A1D1, 又FG 平面ADD1A1,A1D1 平面ADD1A1, 所以FG∥平面ADD1A1.

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点、直线、平面之间的位置关系

巩固练习:长方体ABCD -A1 B1C1 D1中，点P BB (异于 B、B1) 4、 1 PA BA1 M , PC BC 1 N , 求证：MN // 平面ABCDA1 D1 C1 B1

P M D N C

A

B

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点、直线、平面之间的位置关系

证明:连结AC、A1C1 长方体中A1 A//C1C A1C1 // AC AC 面A1C1 A1C1 面A1C1 AC // 面A1C1 B AC 面ACPA A1

D1

C1

B1 P M D N C

B

A1 B PA M 面ACP 面A1C1 B MN PC BC 1 N

AC // MN

MN 面ABCD AC 面ABCD必修2 第二章

MN // 面ABCD点、直线、平面之间的位置关系

证法2

(略写)A1

D1

C1

利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质PM PB PBM∽ AA1 M MA AA1 PN PB PBN ∽ CC 1 N NC CC 1

B1

P M D N C

A

B

PM PN AC // MN MA NC

CC 1 AA1

MN 面ABCD AC 面ABCD

MN // 面ABCD

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