竖向荷载计算--分层法例题详解

例：如图1所示一个二层框架，忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移，用分层法计算框架的弯矩图，括号内的数字，表示各梁、柱杆件的线刚度值（i?EI）。 l

图1

解：1、图1所示的二层框架，可简化为两个如图2、图3所示的，只带一层横梁的框架进行分析。

图2 二层计算简图

图3 底层计算简图

2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数

采用分层法计算时，假定上、下柱的远端为固定，则与实际情况有出入。因此，除底层外，其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。底层柱的弯矩传递系数为矩传递系数，均为

1。 211，其余各层柱的弯矩传递系数为。各层梁的弯23

图4 修正后的梁柱线刚度

图5 各梁柱弯矩传递系数

3、计算各节点处的力矩分配系数

计算各节点处的力矩分配系数时，梁、柱的线刚度值均采用修正后的结果进行计算，如：

G节点处：?GH?iGH?iGH7.63??0.66 8iGH?iGD7.63?3.79iGD3.79??0.332

iGH?iGD7.63?3.79iHG7.63??0.353

iHG?iHE?iHI7.63?3.79?10.21iHI3.79??0.175

iHG?iHE?iHI7.63?3.79?10.21iHE10.21??0.472

iHG?iHE?iHI7.63?3.79?10.21?iGGj?GD?iGD??iGGjH节点处：?HG?iHG??iHHj?HI?iHI?Hj?iH?HE?iHE??iHHj同理，可计算其余各节点的力矩分配系数，计算结果见图6、图7。

图6 二层节点处力矩分配系数

图7 底层节点处力矩分配系数

4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩 （1）第二层：

①计算各梁杆端弯矩。先在G、H、I节点上加上约束，详见图8

图8 二层计算简图

计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号），写在各梁杆端下方，见图9：

MMFGHql2????13.13kN?m

12ql2????7.32kN?m

12MMFHGql2??13.13kN?m 12ql2??7.32kN?m 12FHI

FIH在节点G处，各梁杆端弯矩总和为：

FMG?MGH??13.13kN?m

在节点H处,各梁杆端弯矩总和为：

FFMH?MHG?MHI?13.13?7.32?5.81kN?m

在节点I处，各梁杆端弯矩总和为：

FMI?MIH?7.32kN?m

②各梁端节点进行弯矩分配，各两次，详见图9 第一次弯矩分配过程：

放松节点G，即节点G处施加力矩13.13kN?m，乘以相应分配系数0.668和0.332，得到梁端+8.76kN?m和柱端+4.37k?N，m+8.76kN?m按到GH梁H端；

1传2

放松节点I，即在节点I处施加力矩?7.32kN?m，乘以相应分配系数0.935和0.065，得到梁端?6.32kN?m和柱端+1.00k?N，m?6.32kN?m按到IH梁H端；

放松节点H，相应的在节点H处新加一个外力偶矩，其中包括GH梁右端弯矩、IH梁左端弯矩、GH梁和IH梁传来的弯矩。其值为

?(13.13+4.38?7.32?3.16)kN?m=?7.03kN?m，乘以分配系数，HI梁分配

1传2?3.56k?N、HGm梁分配?2.73kN?、mHE柱分配?1.32kN?，m?3.56kN?m按传到I端，?2.73kN?按m1传到G端。第一次分配过程完成。 212第二次弯矩分配过程：

重复第一次弯矩分配过程，叠加两次结果，得到杆端最终弯矩值。 ③计算各柱的杆端弯矩。二层柱的远端弯矩为各柱的近端弯矩的（即传递系数为

131），带*号的数值是各梁的固端弯矩，各杆分配系数写3在图中的长方框内

图9 二层弯矩分配传递过程

（2）第一层：

①计算各梁杆端弯矩。先在D、E、F节点上加上约束，详见图10

图10 底层计算简图

计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号），写梁杆端下方：

2MF??qlDE12??17.81kN?m

MF?ql2ED12?17.81kN?m MFFEF??ql212??8.89kN?m

MFE?ql212?8.89kN?m 在节点D处，各梁杆端弯矩总和为：

MMFD?DE??17.81kN?m

在节点E处，各梁杆端弯矩总和为：

MMFFE?ED?MEF?17.81?8.89?8.92kN?m

在节点I处，各梁杆端弯矩总和为：

MFF?MFE?8.89kN?m

在各②各梁端节点进行弯矩分配，各两次，分配以及传递过程同第二层，但弯矩传递时要注意传递系数的差别。

③计算各柱的杆端弯矩。二层柱的远端弯矩为各柱的近端弯矩的（即传递系数为

1311），底层柱的远端弯矩为近端弯矩的（即传递系数为321），带*号的数值是各梁的固端弯矩，各杆分配系数写在图中的长方框2内。

图11 底层弯矩分配传递过程

5、将二层与底层各梁、柱杆端弯矩的计算结果叠加，就得到各梁、柱的最后弯矩图，详见图12。

图12 弯矩图（单位：kN?m）

6、力矩再分配

由以上各梁、柱的杆端弯矩图可知，节点处有不平衡力矩，可以将不平衡力矩再在节点处进行一次分配，此次分配只在节点处进行，并且在各杆件上不再传递。在本题中，由于不平衡力矩相对较小，力矩可不再分配。

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