03 第三节 向量组的线性相关性

第三节 向量组的线性相关性

内容分布图示

★ 线性相关与线性无关 ★ 证明线性无关的一种方法

线性相关性的判定

★ 定理1 ★ 例3 ★ 例4 ★ 定理3 ★ 定理5

★ 内容小结 ★ 习题3-3 ★ 返回

★ 例1

★ 例2

★ 定理2 ★ 例5 ★ 定理4 ★ 例7

★ 课堂练习

★ 例6

内容要点：

一、线性相关性概念

定义1 给定向量组A:?1,?2,?,?s, 如果存在不全为零的数k1,k2,?,ks, 使

k1?1?k2?2???ks?s?0, (1)

则称向量组A线性相关, 否则称为线性无关.

注: ① 当且仅当k1?k2???ks?0时，(1)式成立, 向量组?1,?2,?,?s线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;

③ 向量组只含有一个向量?时，则

（1）??0的充分必要条件是?是线性无关的； （2）??0的充分必要条件是?是线性相关的；

④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.

二、线性相关性的判定

定理1 向量组?1,?2,?,?s(s?2)线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余s?1个向量线性表示.

?a1j???a?2j?,(j?1,2,?,s), 则向量组?1,?2,?,?s线性相关的充要定理2 设有列向量组?j???????anj???条件是: 是矩阵A?(?1,?2,?,?s)的秩小于向量的个数s.

推论1 n个n维列向量组?1,?2,?,?n线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵A?(?1,?2,?,?n) 的秩等于（小于）向量的个数n.

推论2 n个n维列向量组?1,?2,?,?n线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵A?(?1,?2,?,?n) 的行列式不等于（等于）零.

注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.

推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.

定理4 若向量组?1,?,?s,?线性相关, 而向量组?1,?2,?,?s线性无关, 则向量?可由?1,?2,?,?s线性表示且表示法唯一.

定理5 设有两向量组

A:?1,?2,?,?s;B:?1,?2,?,?t,

向量组B能由向量组A线性表示, 若s?t, 则向量组B线性相关.

推论5 向量组B能由向量组A线性表示, 若向量组B线性无关, 则s?t.

推论6 设向量组A与B可以相互线性表示, 若A与B都是线性无关的, 则s?t.

例题选讲：

例1 设有3个向量(列向量):

?1???1??1??????? ?1??0?,?2??2?,?2??2?,

?1??2??4???????不难验证2?1??2??3?0, 因此?1,?2,?3是3个线性相关的3维向量.

例2 设有二个2维向量:e1???0??,e2???1??, 如果它们线性相关, 那么存在不全为零的数

?????1,?2, 使

?1??0? ?1e1??2e2?0,

?1??0????也就是 ?1?2??0??1???0, ??????1??0???1?即 ??0???????????????0.

???2??2?于是?1?0,?2?0, 这同?1,?2不全为零的假定是矛盾的. 因此e1,e2是线性无关的二个向量.

例3(讲义例1) n维向量组

?1?(1,0,?,0)T,?2?(0,1?,0)T,?,?n?(0,0,?,1)T

称为n维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.

?1??0??2???????例4 (讲义例2) 已知a1??1?, a2??2?, a3??4?, 试讨论向量组a1,a2,a3及a1,a2的线

?1??5??7???????性相关性.

例5 判断下列向量组是否线性相关:

?1??2??4???????2?1?????3? ?1???,?2???,?3???.

?11?1???????5??1??11???????例6 证明：若向量组?,?,?线性无关, 则向量组???,???,???亦线性无关. 例7 (讲义例3) 设向量组a1,a2,a3线性相关, 向量组a2,a3,a4线性无关, 证明 (1) a1能由a2,a3线性表示; (2) a4不能由a1,a2,a3线性表示.

课堂练习

1. 试证明:

(1) 一个向量?线性相关的充要条件是??0; (2) 一个向量?线性无关的充分条件是??0;

(3) 两个向量?,?线性相关的充要条件是??k?或者??k?, 两式不一定同时成立. 2. 判断向量组

?1?(1,2,0,1)T,?2?(1,3,0,?1)T,?3?(?1,?1,1,0)T

是否线性相关.

3. 判断向量组

?1?(1,2,?1,5)T,?2?(2,?1,1,1)T,?3?(4,3,?1,11)T

是否线性相关.

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