同济大学 - 结构力学课后答案 - 第6章 - - 力法1

习 题

6-1 试确定图示结构的超静定次数。

(a)

(b)

(c) (d)

(e) I (f)

(g) 所有结点均为全铰结点

2次超静定

6次超静定

4次超静定

3次超静定

I 去掉复铰，可减去2（4-1）=6个约束，沿I-I

截面断开，减去三个约束，故为9次超静定

沿图示各截面断开，为21次超静定

I 刚片I与大地组成静定结构，刚片II只需通过一根链杆和一个铰与I连接即可，故为4次超静定

II 6- 37

(h)

6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？ 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出M、FQ图。

题目有错误，为可变体系。

(a) 解： 6- 38

FP A 2EI EI C B 223

l 3 l 3lFp

Fp 上图=

+

l

X1=1

M1 Mp

?11X1??1p?0

其中：

2?11?1?EI?1?l?l3?l3?2?l3??3??2?l?l?2?l?l?l?l?2?14l3?23?2?6EI?333???81EI2l3????2?2lF?l?2lF?l??7Fpl1p?36EI?2 ?3p3p3???81EI14l3381EIX7Fpl1?81EI?0

X11?2Fp

M?M1X1?Mp

16Fpl

M图

16Fpl

Q?Q1X1?Qp

12Fp

? Q图

12Fp

(b) FP A B E C D EI=常数 F l 2 l 2

l 2

l 2

l 解：

FP 基本结构为：

X1 X2 l

l3

l

12Fpl

FP

13Fpl

????11X1??12X2??1p?0???

21X1??22X2??2p?0M?M1X1?M2X2?Mp

Q?Q1X1?Q2X2?Qp

6-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力图。

(a)

M1

M2

Mp

6- 39

20kN/m B 1.75EI C D EI m 6 A 6m

3m 解：基本结构为：

20kN/m

X1 6 1 6 810

810 ?11X1??1p?0 M?M1X1?Mp

(b) E a2 q C D a EI=常数 4 A B

4a 4a 解：基本结构为：

6- 40

M1

Mp

X1

计算M1，由对称性知，可考虑半结构。 1 12a

1

2 2

M1 计算Mp：荷载分为对称和反对称。

对称荷载时：

q2a

q2 qa2 qa2 6qa2 6qa2 6qa2

反对称荷载时：

q2a qa2 q qa2 qa22 8qa2 8qa2 8qa2 2qa2 14qa2 2qa2 Mp

6- 41

?11X1??1p?0 M?M1X1?Mp

6-5 试用力法计算图示结构，并绘出M图。 (a)

C EI m 11kN 6 B D EI 2EI m 6 A 3m 3m 解：基本结构为：

X1 11KN X2

1 6 1

12 6 M1 M2 用图乘法求出?11,?12,?22,?1p,?2p

???11X1??12X2??1p?0??X ??21X1??222??2p?0 (b)

6- 42

11KN 33 33 Mp

E D EI=常数 20kN/m 6m B 6m A 6m

C 解：基本结构为：

X1 X1 20kN/m X2 X2 6 1 1 3 3

150 1 1 3 26 M1 M

30 180

90 150

Mp M

?11? ?12? ?22?

66EI66EI66EI?2?3?3?2?3?3?2?6?6???2?3?3?2?3?3??0 ?2?3?3?2?3?3?2?6?6??108EI

108EI

?1p?1?122312?2700?12???6?180?3???6??20?6???6?180?3???????EI?2338223EI???1?122312?540?12???6?180?3???6??20?6???6?180?3?? ?????EI?2333?EI?8?22?2p?6- 43

2700?108X??01??X1??25?EIEI ????X2??5?108X?540?01?EI?EIMCA?180?3?25?5?3?90KN?m MCB?180?3?25?5?3?120KN?m MCD?6???5???30KN?m

(c)

C I 10kN·m

解：基本结构为：

10kN·m 10kN·m 10kN·m 5I A 12m B 10kN·m 6m 5I EA=∞ D I 3m

X1 1 ? 1 3 3 10kN·m 10kN·m 9 9 10 10 N1 M1 Mp

?11???1?3?6558????2?3?3?2?3?3?2?9?9?2?3?9?2? ???5EI?6E?5I?EI?6?6144?? ?2?10?3?2?9?10?9?10?3?10???2???1p???6E?5IEI???11X1??1p?0?X1?1.29

MAC?9?1.29?10?1.61KN?m

6- 44

MDA?3?1.29?10??6.13KN?m

MDC?3?1.29?3.87KN?m

3.87 1.61 6.13 6.13 3.87

M (d)

D 10kN/m I 5I A

解：基本结构为：

10kN/m

EA=∞ E I F 5I B 3m G 6m C EA=∞ 2I

1.61 X2

X1 1

3 1 3 9 9 6 26

M1 M

45 405

p M

?11?36EI?2?3?3??2?66E?5I?2?3?3?2?9?9?2?3?9??2?111.6EI

6- 45

?12??66E?5I6?2?6?9?3?6??66E?2I?25.2EI

?22?

?1p?6E?5I?2?6?6???2?6?6??50.4EI

1?13?61?2?1721.25?2?3?45?2?9?405?3?405?45?9????3?45?3?????6?45?6??EI?34?6E?5I5EI?3EI??2p?0

25.21721.25?111.6X?X??012??X1??17.39?EIEIEI ????X2??8.69??25.2X?50.4X?012?EI?EIMAD?405?9?17.39?248.49KN?m

MBF?6???8.69??9?17.39?104.37KN?m MFE?3???17.39???52.17KN?m

MCG?6???8.69???52.14KN?m

52.17 M 248.49 104.37 52.14

6-6 试用力法求解图示超静定桁架，并计算1、2杆的内力。设各杆的EA均相同。

(a) (b)

a

2 1.5m

1 2 FP a FP a 题6-6图

6-7 试用力法计算图示组合结构，求出链杆轴力并绘出M图。

(a)

2m 2m a 1 30kN

6- 46

FP A B kθ= 12EI EI l EA= 2EI l l2 C l l

解：基本结构为： FP 1

2l Fpl FP

1

M1 Mp

?l2l311?EA?6EI?2?2l?2l??2lk2l?7l?2EI

3?1p?l6EI?2?Fpl?2l?FFplpl?l??k2l?Fpl?2EI

?211X1??1p?0?X1??7Fp

MA?Fpl?27Fp?2l?37Fpl

37Fpl

27Fpl M

(b) q qa E F G a EA C EA=EI/a2 D aA EI=常数 B a a

6- 47

6-8 试利用对称性计算图示结构，并绘出M图。

(a)

解：

原结构=

① ② ①中无弯矩。 ②取半结构：

基本结构为：

2FpFp2FP D EA=∞ E EI A 6m Fp EA=∞ F 2EI EI C 6m

Fp2B 9m Fp2 2 +

Fp2 Fp 2

X1 1 Fp2 9 9 92Fp p M1 M

?11?2?243?2?1 ???9?9?9???EI?23?EI92?243?1???9?Fp?9???Fp EI?223?2EI14Fp

2?1p?1?11X1??1p?0?X1??

6- 48

99 9F 9 9 p 4p4Fp4Fp4F2Fp M图 整体结构M图

(b) 60kN

C D EI=常数

m3A B 4m 5m 4m

(c) q

C

D EI=常数

l A B q

l

解：根据对称性，考虑1/4结构： q

基本结构为：

q X1 1

q8l2

1 M1 Mp ??11?1EI?1?l?l2?1?2?? ??EI??1?1lql2lql2?21pEI?????1???1?ql?32828???12EI 6- 49

?11X1??1p?0?X1??M?M1X1?Mp

ql212

ql224

ql224 ql2ql224

ql2

212

12ql

ql2122 (d)

解：取1/4结构： q

基本结构为： q

X2 l

A B q l

D

E q

ql24

24 M

F

EI=常数

C l X1 1 q

l 1

1 M1 1 M6- 50

2q2l22 Mp

l

2

?1?23 ?11EI?l2?l??2?l?3????3EI ??1?12?2?l12EI??l?1? ?2???2EI?1?22?EI?l?1?1?l?1?1?3l ?2???2EI???1?EI?1?3?l?ql241p2?l?3?4???ql ???8EI2?2p?1?EI?1??l?ql?1??ql3?32?? ?6EI?l324??X1?lXql?52??0?X1?ql?3EI2EI8EI??23??12 ???l2EIX3lql?1?X?1ql22EIX2?6EI?0??2362 ql2ql 9 ql2936 ql236 ql2ql 2 36 9 2

ql236

ql36(e) ql29

50kN E 2I F I I mql26 9 C 2I D I I m6 A B 9m

M

6- 51

(f)

4FP G H I 2a D E F 2a

A a 取1/2结构：

B a a a C ( BEH杆弯曲刚度为2EI，其余各杆为EI )

2FpFp FFp

Fp FFp F = +

2FpFp Fp Fp Fp

① F ②F ②中弯矩为0。

Fp2考虑①：反对称荷载作用下，取半结构如下：

Fp2

Fp2 Fp2 = +

Fp

Fp 22 ④ ④中无弯矩。 F ③F22FpFp Fp Fp 考虑③：

pFFp22Fp2 ? Fp2Fp2a

Fp2Fp aFpa 2弯矩图如下：

Fp2aFp2a Fp2Fp2Fp2a 2a pF 2 aaaFpa a Fpa2a FpFp2a

a pF 2Fpa FpFp222Fp Fp2Fpaa

Fp2aa Fp2a6- 52

2a

(g)

k= 34 EI a3 k

E F a FP C G D a A EI=常数 B a a 解：

原结构= + Fp Fp 2

2 ① ①弯矩为0。 反对称荷载下： Fp 2

基本结构为：

X1 Fp 2

1 Fp 2

Fp 2a 2a M1 F p

2a Mp3??1?11EI?12?8a2?2a?2a?2a?3?? ??3EIFp Fp22 ②

6- 53

?1pFpFp?5Fpaa???2?2a??a?a?a????12EI 6EI?22??X1k?8a33?11X1??1p??M图如下：

(h)

l A I C 2I 4FP B I D 724Fp5483EIX1?5Fp12EIa??34a33EIX1?X1?548Fp

Fpa 548Fpa

a724Fpa F I 2I E l

l

l

I 2I I I h 6-9 试回答：用力法求解超静定结构时应如何恰当地选取基本结构？ 6-10 试绘出图示结构因支座移动产生的弯矩图。设各杆EI相同。

(a)

(b)

4a

4a 题6-10图

6-11 试绘出图示结构因温度变化产生的M图。已知各杆截面为矩形，EI=常数，截面高度h=l/10，材料线膨胀系数为α。

(a) (b)

-15℃ C B -10℃ +25℃ A +15℃ -15℃ B -10℃ +15℃ 4a A EI=常数

B B′

l A B C EI=常数 l 2 C l 2

D 3a D E ? l

?

? 2 l 6- 54

A l

l

C +15℃ D +5℃ l

l

题6-11图

6-12 图示平面链杆系各杆l及EA均相同，杆AB的制作长度短了拼装就位，试求该杆轴力和长度。

A l 题6-12图 题6-13图

6-13 刚架各杆正交于结点，荷载垂直于结构平面，各杆为相同圆形截面，G= 0.4 E，试作弯矩图和扭矩图。

6-14 试求题6-11a所示结构铰B处两截面间的相对转角Δ?B。 6-15 试判断下列超静定结构的弯矩图形是否正确，并说明理由。

(d)

题6-15图

6-16 试求图示等截面半圆形两铰拱的支座水平推力，并画出M图。设EI=常数，并只考虑弯曲变形对位移的影响。

A R

题6-16图

R B C R FP q FP (a) (b) (c)

q FP FP B A B D FP C ?，现将其拉伸（在弹性范围内）

6- 55

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