初三第二轮综合复习 - 《证明二》

初三总复习_《证明二》

一、知识点归纳

1、一般三角形的性质 (1) 角与角的关系：

三个内角的和等于180°；

一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。 (2) 边与边的关系：

三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3) 边与角的大小对应关系：

在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。

2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 3、三角形全等的判定方法：

（1）一般三角形全等的判定方法：①SSS；②SAS；③ASA；④AAS。 （3）直角三角形全等的判定方法：①SSS；②SAS；③ASA；④AAS；⑤HL。 4、三角形相似的判定方法：

（1）一般三角形相似的判定方法：①SSS；②SAS；③AA； （3）直角三角形相似的判定方法：①SSS；②SAS；③AA；④HL。 5、特殊三角形的性质和判定 （1）等腰三角形

性质：①等腰三角形的两个底角相等；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 （2）等边三角形

性质：①具有等腰三角形的所有性质；

②等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60° 判定：①有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）直角三角形

性质：①勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

②直角三角形中，若一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

1

判定：①勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形就是直角三角形。

②若一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

6、线段的垂直平分线的定理及其逆定理：

（1）定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

（2）逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （3）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 7、角平分线的定理及其逆定理：

（1）定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）逆定理：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这条角的平分线上。 （3）三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

二、典型例题

例1 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分

成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

例2 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一A 点，且CF?D

△ABE∽△1?CD，下列结论：①?BAE?30，②4A，③EAE?EF，④△ADF∽△ECF．其中

Ｃ．3

Ｄ．4

正确的个数为（ ）

Ａ．1 Ｂ．2

F

B

E

C

例3 如图，在等腰三角形ACB中，AC?BC?5，AB?8，D为底边AB上一动点（不

与点A，B重合），DE?AC，DF?BC，垂足分别为E，F，求DE?DF的长．

2

CEFD

AB例4 如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点， （1）若AD?BE?CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD?BE?CF成立吗？试证明你的结论．

A

F

D B C E

例5 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒.解答下列问题：

（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；

（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？ （3）当t为何值时PQ∥BC？

C

Q

A B P

例6 如图，在△ABC中，?BAC?90，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF?AB，EG?AC，垂足分别为F，G．

?EGCG?； ADCD（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB?AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由．

（1）求证：

A F B

G D E

C

3

三、巩固练习

1. 如果三角形内的一点到三边的距离相等，则这点是（ ）.

（A）三角形三条边垂直平分线的交点 （B）三角形三条边中线的交点 （C）三角形三个内角平分线的交点 （D）三角形三条边上高的交点

2. 如图，△ABC中，∠ACB=90o，∠B=30o，AD是角平分线，DE⊥AB于E，AD、CE相交于点H，则图中的等腰三角形有（ ）

（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个

A H C D E B

3. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等.其中正确的是（ ）.

（A）仅①② （B）仅③④ （C）仅①②③ （D）①②③④

4. 如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在

（A）在AC、BC两边高线的交点 （B）在AC、BC两边中线的交点处

（C）在AC、BC两边垂直平分线的交点处 （D）在∠A、∠B两内角平分线的交点处

5. 如图，已知AC平分∠PAQ，点B、B′分别在边AP、AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，下列条件中哪个可能无法推出AB=AB′（ ）

（A）BB′⊥AC （B）BC=B′C （C）∠ACB=∠ACB′ （D）∠ABC=∠AB′C

4

6. 已知△ABC，

⑴如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°?1∠A； 21∠A。 2⑵如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A； ⑶如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°－

上述说法下确的个数是（ ）. （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个

7. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（ ）

（A）4cm （B）6cm （C）8 cm （D）10cm

8. 如图，l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）

（A）一处 （B）二处 （C）三处 （D）四处

9.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，斜边BC的中点与AB的垂直平分线交于D点，若BC=a，则D点到△ABC的三个顶点的距离的和是_______________. 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，∠A=50o，则∠EFC的度数为 。

A D F E B C

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