五年级奥数 计数综合 容斥原理（ABC级）.学生版

容斥原理

知识结构

一、两量重叠问题

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A的意思；符号“

B?A?B?AB(其中符号“

”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”

”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容

B，B，

斥原理．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A即阴影面积．

1．先包含——A?B

重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A?B?AB

把多加了1次的重叠部分AB减去．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A?B(意思是把A、B的一切元素都“包含”

进来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C?AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下：

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图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．

1．先包含：A?B?C

重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A?B?C?AB?BC?AC

重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行A?B?C?AB?BC?AC计算时都被减掉了．

A?B?C?AB?BC?AC?ABC． 3．再包含：

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

例题精讲

【例 1】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两

个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

ACB

【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画

画的分别有多少人？

ACB

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【例 2】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这

个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？

【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加

了．一班有多少人两项比赛都没有参加？

【例 3】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不

会的有9人．这个班一共有多少人？

会游泳的两项会打都会篮球的的两项都不会的

【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛

都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？

两项比赛都参加的只参加象棋比赛的A只参加围棋比赛的B

【例 4】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，

两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？

语文95分以上的A两门95分以上的数学95分以上的B两门都不在95分以上的

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【巩固】 有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语

又懂俄语的有多少人？

【例 5】 一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学

作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？

【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老

师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？

【例 6】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的

共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？

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17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，

4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既

爱打篮球又爱打排球的有几人？

【例 7】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小

组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．

【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人

参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．

【例 8】 在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个

人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问： ⑴ 三种都带了的有几人？ ⑵ 只带了一种的有几个？

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【巩固】 盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁

的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．

【例 9】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘

米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？

A10BC

【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，

8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．

【例 10】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积

总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？

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【巩固】 如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，

露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？

BCA

【例 11】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?

【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．

【例 12】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至

少有多少学生这三项运动都会？

【巩固】 某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，

每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．

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课堂检测

【随练1】 四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，

语文数学都没写完的有6人． ⑴问语文数学都写完的有多少人？ ⑵只写完语文作业的有多少人？

【随练2】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，

参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？

【随练3】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是

一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．

家庭作业

【作业1】 四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又

会拉小提琴的至少有人。

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【作业2】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的

有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？

【作业3】 科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时

清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？

【作业4】 五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语

文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？

【作业5】 如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边

长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．

【作业6】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．

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教学反馈

学生对本次课的评价 ○特别满意 ○满意 ○一般 家长意见及建议 家长签字：

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