自动控制原理习题答案3

第三章 线性系统的时域分析与校正

习题及答案

3-1 已知系统脉冲响应

k(t)?0.0125e?1.25t

试求系统闭环传递函数?(s)。

解 ?(s)?Lk(t)?0.012/5(s?1.25) 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程

Tc(t)?c(t)??r(t)?r(t)

近似描述，其中，0?(T??)?1。试证系统的动态性能指标为 td??0.693?ln??????T??????T

?T?? tr?2.2T ts??3?ln(T??T???)?T ?1 s解 设单位阶跃输入R(s)?当初始条件为0时有：

C(s)?s?1? R(s)Ts?11T???

Ts?1ssTs?1T???t/TC(t)?h(t)?1?e

T1) 当 t?td 时

T???td/te h(t)?0.5?1?T ?C(s)??s?11??

1T???td/T?T???td?e ; ?ln2?ln??? 2T?T?T??T????td?T?ln2?ln???

T???? ? 26

2) 求tr（即c(t)从0.1到0.9所需时间)

T??T???t2/T)?ln0.1] e; t2?T[ln(TTT??T???t1/T)?ln0.9] e 当 h(t)?0.1?1?; t1?T[ln(TT0.9?2.2T 则 tr?t2?t1?Tln0.13) 求 ts

T???ts/Te h(ts)?0.95?1? TT??T??T???ts?T[ln?ln0.05]?T[ln?ln20]?T[3?ln]

TTT 当 h(t)?0.9?1?3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。要求系统闭环增益K??2，调节时间ts?0.4s，试确定参数K1,K2的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数

1K1K1K2s?(s)???

K1K2s?K1K2s?11?K1K2s令闭环增益K??1?2， 得：K2?0.5 K23?0.4，得：K1?15。 K1K2令调节时间ts?3T?3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图3-46（a）和（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。

27

（1） 若r(t)?1(t)，n(t)?0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时

间？

（2） 当有阶跃扰动n(t)?0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。

解 （1）对（a）系统： Ga(s)?K1?， 时间常数 T?10

10s?110s?1? h(T)?0.632 （a）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；

10010100对（a）系统：?b(s)? ?101， 时间常数 T?1010110s?101s?1101? h(T)?0.632 （b）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。

（2）对（a）系统： Gn(s)?C(s)?1 N(s)n(t)?0.1时，该扰动影响将一直保持。

对（b）系统： ?n(s)?C(s)?N(s)110s?1? 10010s?1011?10s?11?0.001。 101n(t)?0.1时，最终扰动影响为0.1?3-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（如图3-47）和所测数据,并假设传递函数为

G(s)?可求得K和a的值。

?(s)K? V(s)s(s?a)若实测结果是：加10V电压可得1200rmin的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s，试求电机传递函数。

提示：注意

d??(s)K?，其中?(t)?dtV(s)s?a，单位是rads

28

解 依题意有： v(t)?10 （伏） ?(?)?1200?2??40? （弧度/秒） （1）

60 ?(1.2)?0.5?(?)?20? （弧度/秒） （2） 设系统传递函数 G0(s)??(s)K ?V(s)s?as?0应有 ?(?)?limsG0(s)?V(s)?lims?s?010K10K???40? （3） ss?aa ?(t)?L?1?G0(s)?V(s)??L?1?由式（2），（3） ?(1.2)??10K?10K?1?11?10K?at ?L??1?e???aa?ss?a??s(s?a)???10K1?e?1.2a?40?1?e?1.2a?20? a????得 1?e解出 a??1.2a?0.5

?ln0.5?0.5776 （4） 1.2将式（4）代入式（3）得 K?4?a?7.2586

3-6 单位反馈系统的开环传递函数G(s)?4，求单位阶跃响应h(t)和调节时间

s(s?5)ts 。

解：依题，系统闭环传递函数

?(s)?44??2s?5s?4(s?1)(s?4)4(s?11)(s?)T1T2 ??T1?1

?T2?0.25C(s)??(s)R(s)?CCC4?0?1?2

s(s?1)(s?4)ss?1s?44?1

s?0(s?1)(s?4)44??

s(s?4)3 C0?lims?(s)R(s)?lims?0 C1?lim(s?1)?(s)R(s)?lims??1s?0 29

C2?lim(s?4)?(s)R(s)?lims??4s?041?

s(s?1)341h(t)?1?e?t?e?4t

33?

?ts?T1??4， ?ts????T1?3.3T1?3.3。 T2T?1?3-7 设角速度指示随动系统结构图如图3-48所示。若要求系统单位阶跃响应无超调，

且调节时间尽可能短，问开环增益K应取何值，调节时间ts是多少？

解 依题意应取 ??1，这时可设闭环极点为

?1,2??1T0。

写出系统闭环传递函数

?(s)?闭环特征多项式

10K 2s?10s?10K?12s? D(s)?s?10s?10K???T0???1?22????s?s???? TT0??0?22?2?T?10?T0?0.20?比较系数有 ? 联立求解得 ? 2??1K?2.5?????10K?????T0?因此有 ts?4.75T0?0.95???1??

3-8 给定典型二阶系统的设计指标：超调量

?%?5%，调节时间 ts?3s，峰值时间tp?1s，

试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。

解 依题

?%?5%， ???0.707(??45?)；

30

ts?3.5??n?3， ???n?1.17；

tp??1??2?n?1， ?1??2?n?3.14

综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图解3-8所示。

3-9 电子心脏起博器心律控制系统结构图如题3-49图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。

（1） 若??0.5对应最佳响应，问起博器增益K应取多大？

（2） 若期望心速为60次/min，并突然接通起博器，问1s钟后实际心速为多少？瞬时最大

心速多大？

解 依题，系统传递函数为

K2?n0.05 ?(s)??221Ks?2??ns??ns2?s?0.050.05?K?20令 ??0.5可解 ?

??20?n将 t?1s代入二阶系统阶跃响应公式

?K????n0.05 ?1????0.05?2?n?h(t)?1?e???nt1??2sin1??2?nt??

??次s?60.00145次min 可得 h(1)?1.000024??0.5时，系统超调量 ?%?16.3%，最大心速为

h(tp）?1?0.163?1.163次s?69.78次min

31

3-10 机器人控制系统结构图如图3-50所示。试确定参数K1,K2值，使系统阶跃响应的峰值时间tp?0.5s，超调量?%?2%。

解 依题，系统传递函数为

K12K??nK1s(s?1)?? ?(s)? 2K1(K2s?1)s2?(1?K1K2)s?K1s2?2??ns??n1?s(s?1)??o?e???1??2?0.02?o?由 ? 联立求解得

tp??0.5?1??2?n?比较?(s)分母系数得

???0.78 ???10?n?K1??n2?100?2??n?1 ? K2??0.146?K1?3-11 某典型二阶系统的单位阶跃响应如图3-51所示。试确定系统的闭环传递函数。

解 依题，系统闭环传递函数形式应为

K??.2n ?(s)?22s?2??ns??n由阶跃响应曲线有：

h(?）?lims?(s)R(s)?lims?(s)?s?0s?01?K??2 s 32

??t??2p?2??n1?? ? ??o?e???1??2?2.5?2?25ooo?2????0.404联立求解得 ?

??1.717?n2?1.71725.9?所以有 ?(s)?2

s?2?0.404?1.717s?1.7172s2?1.39s?2.953-12 设单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?12.5

s(0.2s?1)?(0)?1作用下的时间响应。 试求系统在误差初条件e(0)?10,e解 依题意，系统闭环传递函数为 ?(s)?C(s)G(s)62.5??2 R(s)1?G(s)s?5s?62.5当r(t)?0时，系统微分方程为 c??(t)?5c?(t)?62.5c(t)?0 考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换

?整理得 ?s

s2C(s)?sc(0)?c?(0)?5?sC(s)?c(0)??62.5C(s)?0

?5s?62.5C(s)??s?5?c(0)?c?(0) （1）

对单位反馈系统有 e(t)?r(t)?c(t)， 所以

2??c(0)?r(0)?e(0）?0?10??10

c?(0)?r?(0)?e?(0)?0?1??1将初始条件代入式（1）得 C(s)??10s?5110(s?2.5)?26?? 222s?5s?62.5(s?2.5)?7.5(s?2.5)7.5?3.47

(s?2.5)2?7.52(s?2.5)2?7.52 ??10 c(t)??10e?2.5tcos7.5t?3.47e?2.5tsin7.5t??10.6e?2.5tsin(7.5t?70.8?)

33

3-13 设图3-52（a）所示系统的单位阶跃响应如图3-52（b）所示。试确定系统参数

K1,K2和a。

解 由系统阶跃响应曲线有

?h(?)?3? ?tp?0.1

?o??o?(4?3)3?33.3oo系统闭环传递函数为

2K2?nK1K2 ?(s)?2 （1） ?22s?as?K1s?2??ns??n??t??0.1???0.33?p2由 ? 联立求解得 ? 1???n??33.28?n?o???1??2o??e?33.3o?o2?K1??n?1108由式（1）?

?a?2??n?22另外 h(?)?lims?(s)?s?0KK1?lim212?K2?3 3-14 图3-53所示是电压测ss?0s?as?K1量系统，输入电压et(t)伏，输出位移y(t)厘米，放大器增益K?10，丝杠每转螺距1mm，电位计滑臂每移动1厘米电压增量为0.4V。当对电机加10V阶跃电压时（带负载）稳态转速为1000rmin，达到该值63.2%需要0.5s。画出系统方框图，求出传递函数Y(s)/E(s)，并求系统单位阶跃响应的峰值时

34

间tp、超调量?oo、调节时间ts和稳态值h(?)。

解 依题意可列出环节传递函数如下 比较点： E(s)?Et(s)?F(s) V 放大器：

Ua(s)?K?10 E(s)1000Km53?(s)??10?60?电动机： r/s/V

Ua(s)Tms?10.5s?10.5s?1丝杠：

Y(s)?K1?0.1 cm/r ?(s)F(s)?K2?0.4 V/cm Y(s)电位器：

画出系统结构图如图解3-14所示

系统传递函数为

2???n?Y(s)?33?(s)?? ?

24Et(s)????0.866s2?2s??2?n?310? tp? ?o?1???n?e???1??22?5.44??

o?0.433oo

ts?3.5??n?3.5??

35

h(?)?lims?(s)?s?01?2.5 s3-15 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s平面根的个数及纯虚根。

（1）D(s)?s5?2s4?2s3?4s2?11s?10?0 （2）D(s)?s5?3s4?12s3?24s2?32s?48?0 （3）D(s)?s5?2s4?s?2?0

（4）D(s)?s5?2s4?24s3?48s2?25s?50?0

解（1）D(s)?s5?2s4?2s3?4s2?11s?10=0

Routh： S5 1 2 11 S4 2 4 10 S3

? 6

S2 4??12? 10

S 6 S0 10

第一列元素变号两次，有2个正根。

（2）D(s)?s?3s?12s?24s?32s?48=0 Routh： S5 1 12 32

S4 3 24 48

54323?12?2432?3?48?4 ?16 0

334?24?3?162 ?12 48 S

412?16?4?48 S ?0 0 辅助方程 12s2?48?0,

12 S 24 辅助方程求导：24s?0

S3

S0 48

系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s1,2??j2。 （3）D(s)?s?2s?s?2?0

Routh： S5 1 0 -1

54 36

S4 2 0 -2 辅助方程 2s4?2?0

3 S3 8 0 辅助方程求导 8s?0

S2

? -2

S 16?

S0 -2

第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程2s?2?0可解出： 2s4?2?2(s?1)(s?1)(s?j)(s?j)

D(s)?s5?2s4?s?2?(s?2)(s?1)(s?1)(s?j)(s?j) （4）D(s)?s5?2s4?24s3?48s2?25s?50?0 Routh： S5 1 24 -25

S4 2 48 -50 辅助方程 2s4?48s2?50?0

3 S3 8 96 辅助方程求导 8s?96s?0

4 S2 24 -50 S 338/3

S0 -50

第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程2s?48s?50?0可解出： 2s?48s?50?2(s?1)(s?1)(s?j5)(s?j5)

4242D(s)?s5?2s4?24s3?48s2?25s?50?(s?2)(s?1)(s?1)(s?j5)(s?j5)

3-16 图3-54是某垂直起降飞机的高度控制系统结构图，试确定使系统稳定的K值范围。

解 由结构图，系统开环传递函数为：

K(4s2?2s?1) G(s)?32

s(s?s?4)5432?开环增益Kk?K4 ??系统型别v?3 D(s)?s?s?4s?4Ks?2Ks?K?0 Routh： S5 1 4 2K

37

S4 1 4K K

S3 ?4(1?K) K ? S2 (15?16K)K K ?K?1

4(1?K)K?1615?1.067

2?32K?47K?16 S ?0.536?K?0.933

4(1?K) S0 K ?K?0

?使系统稳定的K值范围是： 0.536?K?0.933。

3-17 单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?K

s(s?3)(s?5)要求系统特征根的实部不大于?1，试确定开环增益的取值范围。

解 系统开环增益 Kk?K15。特征方程为： D(s)?s3?8s2?15s?K?0 做代换 s?s??1 有：

D(s?)?(s??1)3?8(s?1)2?15(s??1)?K?s?3?5s?2?2s??(K?8)?0

Routh ： S3 1 2 S2 5 K-8 S 18?K ?5K?18

S0 K?8 ?使系统稳定的开环增益范围为：

K?8

8K18?Kk?? 。 1515153-18 单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?K(s?1)

s(Ts?1)(2s?1)试在满足 T?0,K?1的条件下，确定使系统稳定的T和K的取值范围，并以T和K为坐标画出使系统稳定的参数区域图。

解 特征方程为：

38

D(s)?2Ts3?(2?T)s2?(1?K)s?K?0 Routh ： S3 2T 1?K ?T?0 S2 2?T K ?T??2 S 1?K?2TK ?T?2?2?T4 K?1S0 K ?综合所得条件，当K?1 时，使系统稳定的参数取值 范围如图解3-18中阴影部所示。

K?0

3-19 图3-55是核反应堆石墨棒位置控制闭环系统，其目的在于获得希望的辐射水平，增益4.4就是石墨棒位置和辐射水平的变换系数，辐射传感器的时间常数为0.1秒，直流增益为1，设控制器传递函数Gc(s)?1。

（1） 求使系统稳定的功率放大器增益K的取值范围； （2） 设K?20，传感器的传递函数H(s)?的取值范围。

解 （1）当控制器传递函数Gc(s)?1时 ?(s)?1（?不一定是0.1），求使系统稳定的??s?1C(s)2.64K(0.1s?1)? R(s)s(s?6)(0.1s?1)?2.64K 39

D(s)?s(s?6)(s?10)?26.4K?s3?16s2?60s?26.4K?0

Routh:s3s2s1s0116960?26.4K1626.4K6026.4K0?K?36.36?K?0

? 0?K?36.36

（2）K?20，H(s)? ?(s)?

1时 ?s?1C(s)52.8(?s?1)? R(s)s(s?6)(?s?1)?52.8D(s)?s(s?6)(?s?1)?52.8??s3?(6??1)s2?6s?52.8?0

Routh:s3s2s1s0?6??16?16.8?6??152.8652.80????0.167???0.357

? 0???0.357

3-20 图3-56是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。

（1） 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数

?(s)MN(s)；

（2） 为保证MN为单位阶跃时倾斜角?的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求K2、

K1和K3应满足的方程；

（3） 取K2=1时，确定满足（2）中指标的K1和K3值。

40

解 （1）

0.52?(s)0.5s?0.2s?1 ??20.5KKs0.5KKMN(s)s?(0.2?0.5K2K3)s?(1?0.5K1K2)231a1?2?2s?0.2s?1s?0.2s?1（2）令：

?(?)?limsMN(s)?s?01?(s)0.5?lims????0.1 s?0MN(s)sMN(s)1?0.5K1K2?(s)??n?1?0.5K1K3?得 K1K2?8。 由 有： ?， 可得 0.2?0.5K2K3???0.5MN(s)?2?n??(s)0.2?0.25K2K3?1?0.5K1K2

（3）K2?1 时，K1?8，0.2?0.25K3?5，可解出 K3?4.072。

3-21 温度计的传递函数为

1，用其测量容器内的水温，1min才能显示出该温度的Ts?198%的数值。若加热容器使水温按10oC/min的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？

解法一 依题意，温度计闭环传递函数

?(s)?1 Ts?1由一阶系统阶跃响应特性可知：h(4T)?98oo，因此有 4T?1min，得出 T?0.25min。 视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为

G(s)??K?1T?(s)1? ?

1??(s)Tsv?1?10?10T?2.5?C。 K用静态误差系数法，当r(t)?10?t 时，ess?解法二 依题意，系统误差定义为 e(t)?r(t)?c(t)，应有 ?e(s)?E(s)C(s)1Ts?1??1?? R(s)R(s)Ts?1Ts?1s?0 ess?lims?e(s)R(s)?limss?0Ts10?2?10T?2.5?C Ts?1s 41

3-22 系统结构图如图3-57所示。试求局部反馈加入前、后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。

解 局部反馈加入前，系统开环传递函数为

G(s)?10(2s?1) 2s(s?1)Kp?limG(s)??

s??Kv?limsG(s)??

s?0Ka?lims2G(s)?10

s?0局部反馈加入后，系统开环传递函数为

102s?1s(s?110(2s?1)）?? G(s)?

20ss(s2?s?20)1?（s?1）Kp?limG(s)??

s?0Kv?limsG(s)?0.5

s?0Ka?lims2G(s)?0

s?03-23 已知单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?7(s?1) 2s(s?4)(s?2s?2)2试分别求出当输入信号r(t)?1(t),t和t时系统的稳态误差[e(t)?r(t)?c(t)]。

解 G(s)??K?787(s?1) ?s(s?4)(s2?2s?2)?v?1由静态误差系数法

r(t)?1(t)时， ess?0

A8??1.14 r(t)?t时， ess?K7r(t)?t2时， ess??

42

3-24 系统结构图如图3-58所示。已知

r(t)?n1(t)?n2(t)?1(t)，试分别计算

r(t),n1(t)和n2(t)作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下的

稳态误差的影响。

解 G(s)?K

s(T1s?1)(T2s?1)?K ?v?1?r(t)?1(t)时， essr?0；

1s(T2s?1)?(T1s?1)E(s)?en1(s)???

KN1(s)s(T1s?1)(T2s?1)?K1?s(T1s?1)(T2s?1)?n1(t)?1(t)时， essn1?lims?en1(s)N1(s)?lims?en1(s)s?0s?011?? sK1(T2s?1)?s(T1s?1)E(s)?en2(s)???

KN2(s)s(T1s?1)(T2s?1)?K1?s(T1s?1)(T2s?1)?n2(t)?1(t)时， essn2?lims?en1(s)N2(s)?lims?en2(s)s?0s?01?0 s在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节，可以同时减小由输入和干扰因引起的稳态误差。

3-25 系统结构图如图3-59所示，要使系统对r(t)而言是II型的，试确定参数K0和?的

值。

43

K(?s?1)(T1s?1)(T2s?1)K(?s?1)解 G(s)? ?K0K(?s?1)(T1s?1)(T2s?1)?K0K(?s?1)1?(T1s?1)(T2s?1) ?K(?s?1) 2T1T2s?(T1?T2?K0K?)s?(1?K0K)?K0?1K ???T?T12?依题意应有：??1?K0K?0 联立求解得

?T1?T2?K0K??0K(T1?T2)s?K 2T1T2s此时系统开环传递函数为 G(s)?考虑系统的稳定性，系统特征方程为

D(s)?T1T2s2?K(T1?T2)s?K?0

当 T1，T2，K?0时，系统稳定。

3-26 宇航员机动控制系统结构图如图3-60所示。其中控制器可以用增益K2来表示；

宇航员及其装备的总转动惯量I?25kg?m2。

（1） 当输入为斜坡信号r(t)?tm时，试确定K3的取值，使系统稳态误差ess?1cm； （2） 采用（1）中的K3值，试确定K1,K2的取值，使系统超调量?%限制在10%以内。

解 （1）系统开环传递函数为

K1K2K1K2C(s)I G(s)? ??KKKE(s)s(Is?K1K2K3)s(s?123)I1??K?K3 ???v?1 44

r(t)?t时，令 ess?1?K3?0.01， 可取 K3?0.01。 K（2）系统闭环传递函数为

K1K2C(s)I ?(s)? ?KKKKKR(s)s2?123s?12II由 ?oo?K1K2???n?I ?KKK12???3?2I??e???1??2?10oo，可解出 ??0.592。取 ??0.6进行设计。

将I?25，K3?0.01代入?? K1K2?360000

K3K1K22I?0.6表达式，可得

3-27 大型天线伺服系统结构图如图3-61所示，其中?=0.707，?n=15，?=0.15s。

（1） 当干扰n(t)?10?1(t)，输入r(t)?0时，为保证系统的稳态误差小于0.01o，试确定Ka的取值；

（2） 当系统开环工作（Ka=0），且输入r(t)?0时，确定由干扰n(t)?10?1(t)引起的系

统响应稳态值。

解 （1）干扰作用下系统的误差传递函数为

2??n(?s?1)E(s) ?en(s)? ?222N(s)s(?s?1)(s?2??ns??n)?Ka?nn(t)?10?1(t)时， 令

45

essn?lims?N(s)??en(s)?lims?s?0s?01010?0.01 ??en(s)?sKa得： Ka?1000

（2）此时有

22??n?10?n E(s)??C(s)? ?N(s)?22222s(s?2??ns??n)s(s?2??ns??n) ess?e(?)?limsE(s)???

s?03-28 单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)?25

s(s?5)2（1） 求各静态误差系数和r(t)?1?2t?0.5t时的稳态误差ess； （2） 当输入作用10s时的动态误差是多少？

解 （1）G(s)??K?525 ?

s(s?5)?v?125??

s(s?5) Kp?limG(s)?lims?0s?0Kv?limsG(s)?lim25?5

s?0s?0s?525sKa?lims2G(s)?lim?0

s?0s?0s?5 r1(t)?1(t)时， ess1?1?0

1?KpA2??0.4 Kv5A1??? Ka0 r2(t)?2t时， ess2?r3(t)?0.5t2时，ess3? 46

由叠加原理 ess?ess1?ess2?ess3?? （2） 题意有

?e(s)?1s(s?5) ?21?G(s)s?5s?25用长除法可得 ?e(s)?C0?C1s?C2s2?C3s3???0.2s?0.008s3??

C0C1C2C3r(t)?1?2t?0.5t2?0r?(t)?2?t?0.2 r??(t)?1 ?0?0.008r???(t)?0??? es(t)?C0r(t)?C1r?(t)?C2r??(t)?C3r???(t)???0.4?0.2t

? es(10)?2.4

3-29 已知单位反馈系统的闭环传递函数为

?(s)?5s?200 320.01s?0.502s?6s?200输入r(t)?5?20t?10t2，求动态误差表达式。

解 依题意

0.01s3?0.502s2?s ?e(s)?1??(s)? 320.01s?0.502s?6s?200用长除法可得

?e(s)?C0?C1s?C2s2?C3s3???0.05s?0.00236s?0.0000335s??23

? es(t)?0.005(20?20t)?0.00236?20?0.1t?0.1472。

3-30 控制系统结构图如图3-62所示。其中K1，K2?0，??0。试分析： （1）?值变化(增大)对系统稳定性的影响；

（2）?值变化(增大)对动态性能（?%，ts）的影响； （3）?值变化(增大)对r(t)?at作用下稳态误差的影响。

解 系统开环传递函数为

47

G(s)?K1K2K1K2?K?K1?1 ? ??s??K2ss(s??K2)?v?1K2

K1??n?K1K2K1K2? ?(s)?2 ??K2????s??K2s?K1K2?22K1K2? D(s)?s2??K2s?K1K2

（1）由 D(s) 表达式可知，当??0时系统不稳定，??0时系统总是稳定的。

?????oo?1K2?3.57? 可知， ???（2）由 ?? (0???1) t???2K1s???n?K2?（3）???ess?aa??? KK13-31 设复合控制系统结构图如题3-31图所示。确定KC，使系统在r(t)?t作用下无稳态误差。

解 系统误差传递函数为

K2K3KK)?4Cs?(s?K2K3)(Ts?1)?K4KC?E(s)ss(Ts?1) ?e(s)???32KKKKKR(s)Ts?(1?TK2K3)s?K2K3s?K1K2K41?23?2124ss(Ts?1)(1?由劳斯判据，当 T、K1、K2、K3和K4均大于零，且(1?TK2K3)K3?TK1K4时，系统稳定。

令 ess?lims?e(s)?s?01K2K3?K4KC??0 2K1K2K4s得 KC?K2K3 K43-32 已知控制系统结构图如图3-64所示，试

48

求：

（1） 按不加虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数?n(s)； （2） 当干扰n(t)???1(t)时，系统的稳态输出；

（3） 若加入虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数，并求n(t)对输出c(t)稳态值影响最小的适合K值。

解 （1）无顺馈时，系统误差传递函数为 ?n(s)?C(s)s?5s?5??2 N(s)(s?1)(s?5)?20s?6s?25s?0s?0（2）cn(?)?lims?n(s)?N(s)?lims?n(s)?（3）有顺馈时，系统误差传递函数为

??? s51?20K?1?C(s)s?1?s?25????s?5?20K

? ?n(s)?20N(s)s2?6s?251?(s?1)(s?5)令 cn(?)?lims?n(s)?N(s)?lims?n(s)?s?0s?0??5?20K?????=0 s?25?得 K?0.25

3-33 设复合校正控制系统结构图如图3-65所示，其中N(s)为可量测扰动。若要求系统输出C(s)完全不受N(s)的影响，且跟踪阶跃指令的稳态误差为零，试确定前馈补偿装置Gc1(s)和串联校正装置Gc2(s)。

解 （1）求Gc1(s)。令

K2?K?K1K2Gc1(s)?1?1??K2?s?K1?K1Gc1(s)?s?s(Ts?1)C(s)Ts?1??n(s)????0K1K1K2Gc2(s)N(s)s(Ts?1)?K1(Ts?1)?K1K2Gc2(s)1??ss(Ts?1)得： Gc1(s)?s?K1。 K1 49

（2）求Gc2(s)。令

K1(s?K1)(Ts?1）E(s)s?e(s)???

KKG(s)KR(s)s(Ts?1)?K1(Ts?1)?K1K2Gc2(s)1?1?12c2ss(Ts?1)1?当r(t)?1(t)作用时，令 ess?lims?e(s)?s?0K11?lim?0 s?0sK1?K1K2Gc2(s)明显地，取 Gc2(s)?1 可以达到目的。 s3-34 已知控制系统结构图如图3-66（a）所示，其单位阶跃响应如图3-66（b）所示，系统的稳态位置误差ess?0。试确定K,v和T的值。

解 G(s)?s?a vs(Ts?1)?KK?a ??v待定由 r(t)?1(t)时，ess?0，可以判定：v?1

K(s?a)K(s?a)sv(Ts?1)?v ?(s)?

s?as(Ts?1)?s?a1?vs(Ts?1)D(s)?Tsv?1?sv?s?a

系统单位阶跃响应收敛，系统稳定，因此必有： v?2。 根据单位阶跃响应曲线，有

50

h(?)?lims?(s)?R(s)?lims?s?0s?01K(s?a)?v?K?10 ss(Ts?1)?s?asK(s?a)Ks2?aKs h?(0)?k(0)?lims?(s)?limv?limv?1?10 vs??s??s(Ts?1)?s?as??Ts?s?s?a当T?0时，有

k(0)?lim当T?0时，有

Kss??Tsv?12?K?10??10 可得 ?v?1

?T?1??K?10Ks?k(0)?limv?10 可得 ?v?2

s??s?T?0?23-35 复合控制系统结构图如图3-67所示，图中K1，K2，T1，T2均为大于零的常数。 （1） 确定当闭环系统稳定时，参数K1，K2，T1，T2应满足的条件； （2） 当输入r(t)?V0t时，选择校正装置GC(s)，使得系统无稳态误差。

解 （1）系统误差传递函数

K2Gc(s)s(T1s?1)(T2s?1)?K2Gc(s)(T1s?1)s(T2s?1)E(s)?? ?e(s)?

KKR(s)s(T1s?1)(T2s?1)?K1K2121?s(T1s?1)(T2s?1)1? D(s)?T1T2s?(T1?T2)s?s?K1K2 列劳斯表

32 51

s3s2

T1T2T1?T2T1?T2?T1T2K1K2T1?T2K1K21K1K20

s1s0因 K1、K2、T1、T2 均大于零，所以只要 T1?T2?T1T2K1K2 即可满足稳定条件。 （2）令 ess?lims?e(s)?R(s)?lims?s?0s?0V0s(T1s?1)(T2s?1)?K2Gc(s)(T1s?1) ?2s(T1s?1)(T2s?1)?K1K2s?lims?0V0K1K2Gc(s)??1?K2???0 s??可得 Gc(s)?sK2

3-36 设复合控制系统结构图如图3-68所示。图中Gc1(s)为前馈补偿装置的传递函数，

Gc2(s)?Kt?s为测速发电机及分压电位器的传递函数，G1(s)和G2(s)为前向通路环节的传

递函数，N(s)为可量测扰动。 如果G1(s)?K1,G2(s)?1s2，试确定

Gc1(s)、Gc2(s)和Ｋ1，使系统输出量完全

不受扰动的影响，且单位阶跃响应的超调量

?%?25%，峰值时间tp?2s。

解 （1）确定Gc1(s)。由梅逊公式

2C(s)(1?G1G2Gc2)?Gc1G2s?K1Gc2(s)?Gc1(s)?n(s)????0 2N(s)1?G1G2Gc2?G1G2s?K1Gc2(s)?K1解得 Gc1(s)??s?K1Gc2(s)??s(s?K1Kt?)

（2）确定Kt?。由梅逊公式 ?(s)??2?G1G2C(s) ?R(s)1?G1G2Gc2?G1G22?nK1 ?2?2s?K1Kt?s?K1s2?2??ns??n 52

??o?e???1??2?0.25?K1???o?比较有 ? 由题目要求 ?

t??2??K1Kt?2??n?p?1??2n?2n2?K1??n?2.946???0.403?2??n可解得 ? ? ?K??0.47??1.72?n?tK1?有 Gc2(s)?Kt?s?0.47s

Gc1(s)??s(s?K1Kt?)??s(s?1.386)

3-37 已知系统结构图如图3-69所示。

（1） 求引起闭环系统临界稳定的K值和对应的振荡频率?；

（2） 当r(t)?t2时，要使系统稳态误差ess?0.5，试确定满足要求的K值范围。 解 （1）由系统结构图

2sE(s)s2(s?1)s(s?2)?e(s)???

2KR(s)s(s?1)(s?2)?2K1?s(s?1)(s?2)1?D(s)?s3?3s2?2s?2K

系统稳定时有 D(j?)?0

?Re?D(j?)???3?2?2K?0令 ? 联立解出 3?Im?D(j?)?????2??02（2）当 r(t)?t 时，R(s)??K?3 ????22 3s2s2(s?1)1ess?lims?R(s)??e(s)?lims?3??

s?0s?0ss(s?1)(s?2)?2KK 53

令 ess?

1，有 K?2，综合系统稳定性要求，得：2?K?3。 K?53-38 系统结构图如图3-70所示。已知系统单位阶跃响应的超调量?%?16.3%，峰值时间tp?1s。

（1） 求系统的开环传递函数G(s)； （2） 求系统的闭环传递函数?(s)；

（3） 根据已知的性能指标?%、tp确定系统参

数K及?；

（4） 计算等速输入r(t)?1.5t(?)s时系统的稳态误差。

1010Ks(s?1)? 解 （1） G(s)?K

10?ss(s?10??1)1?s(s?1)（2）

?n2G(s)10K?(s)??2?21?G(s)s?(10??1)s?10Ks?2??ns??n2???0.5???3.63 ?n????0.263

??o?e???1??2?16.3oo?o?（3）由 ? 联立解出

tp??1??n1??2?2由（2） 10K??n?3.632?13.18，得出 K?1.318。

（4）

Kv?limsG(s)?s?010K13.18??3.63

10??110?0.263?1

ess?A1.5??0.413 Kv3.633-39 系统结构图如图3-71所示。 （1） 为确保系统稳定，如何取K值？

（2） 为使系统特征根全部位于s平面s??1的左

54

侧，K应取何值？

（3） 若r(t)?2t?2时，要求系统稳态误差ess?0.25，K应取何值？ 解 G(s)?50K

s(s?10)(s?5)?K ?v?1?（1） D(s)?s3?15s2?50s?50K

s3s2Routh：

s1s01501550K50(15?K)1550K?K?15?K?0

系统稳定范围： 0?K?15

（2）在D(s)中做平移变换：s?s??1

D(s?)?(s??1)?15(s??1)?50(s??1)?50K

32?s?3?12s?2?23s??(50K?36) s?3s?2Routh： s?1112312?50K1250K?362350K?36?K?312?6.24 5036?K??0.7250s?0满足要求的范围是： 0.72?K?6.24 （3）由静态误差系数法

当 r(t)?2t?2 时，令 ess?2?0.25 K得 K?8。

综合考虑稳定性与稳态误差要求可得： 8?K?15

55

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