直角三角形教案

教 学 设 计

月 日 课题 教 学目 标 直角三角形 课时 2 课型 新授 知识技能： 了解勾股定理及其逆定理的证明方法、逆命题的概念。 过程方法： 经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感， 发展抽象思维． 情感与价值观： 在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题．知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 教学难点 1．勾股定理及其逆定理的证明方法． 2．对不是“如果??那么??”形式的逆命题的叙述． 教学方法 引导、探索法 重点难点分析 及 突破措 施 教具准 备 板书设 计 投影片 §1．2．1 直角三角形(一) 1．勾股定理及其逆定理利用公理及由其推导出的定理的证明方法． 2．互逆命题和互逆定理 § 1．2．2 直角三角形(二) 1．质疑： 问题：(1)两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗? (2)如果其中一边的对角是直角呢? 2．“HL”定理

教 学 过 程 （包括导引新课、依表导学、异步训练、达标测试、作业设计等） 第一课时： I．创设情境，引入新课 [问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC＝30°，AB＝10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少?B1C1呢? 生答 [师]很好，我们上节课证明了含30°角的直角三角形的性质，但对一般的直角三角形具有什么样的性质呢? Ⅱ．讲述新课 1．勾股定理及其逆定理的证明． [师生共析]这里我们先看其中的一种证明方法，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读． 已知：如图，在△ABC中， ∠C＝90°，BC＝a，AC=b，AB＝c. 222 求证：a+b=c． 证明：延长CB至D，使BD ＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c， 连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED． ∴∠BDE=90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． ∴四边形ACDE是直角梯形． ∴S梯形ACDE＝112 (a+b)(a+b)＝ (a+b)． 22 ∴∠ABE＝180°-∠ABC-∠EBD ＝180°-90°＝90°， AB＝BE． ∴S△ABE=12c． 21211c+ab+ab， 222 ∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED， ∴ (a+b)2＝12

即1211a+ab+b2＝c2+ab． 222 ∴a2+b2＝c2． 2．互逆命题和互逆定理． [师]观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗? [生]上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件． [生]我们在前面也曾遇到过这样的情况．例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”． [生]例如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”这样的命题，我们上节课曾证明此命题为真命题． ?? [师]很好!同学们已注意到，在数学上存在很多这种关系的命题，其中生活中也有这样的命题.下面我们再来看几组命题，(出示投影片§ 1．2．1 B) 议一议：观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等． 如果两个角相等，那么它们是对顶角． 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧． 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎． 三角形中相等的边所对的角相等． 三角形中相等的角所对的边相等． 课时小结 这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了学生的演绎推理能力． 随堂练习 写出命题的逆命题,判断其真假． 备课资料 参考例题 课后作业 习题1．4第1、3题 Ⅵ．活动与探究 222 若△ABC的三边a、b、c满足条件a+b+c+338＝10a+24b+26c．判断△ABC的形状． [过程]需将已知条件变形，寻找a、b、c的关系，然后判断△ABC的形状．

第二课时： Ⅰ．提问、质疑，引入新课 [师]我们曾在第一节运用公理证明过等腰三角形的性质，同学们还曾记得如何证明吗? [生]我们从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线．运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”． [师]我们能否通过作等腰三角形底边上的高来证明“等边对等角”． [生]可以，过程如下： 已知：在△ABC中， AB＝AC． 求证：∠B＝∠C． Ⅱ．引入新课 1．“HL”定理． [师生共析]已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB＝A′B′， BC=B′C′． 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′． 证明：在Rt△ABC中，AC＝AB2?BC2(勾股定理)． 在Rt△A′B′C′中，A′C′=A?B?2?B?C?2 (勾股定理)． 又∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，∴AC=A′C′． ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS)． 判断下列命题的真假，并说明理由： (1)两个锐角对应相等的两个直角三角形相等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； (4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． [生](1)是假命题， 2．做一做 问题 你能用三角尺平分一个已知角吗? (用多媒体演示) [师]请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组内交流，用自己的语言清楚表达自己的想法． [生]用三角尺可以作已知角的平分线：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．

[师]同学们表现都很棒．你能说明这样做的理由吗?也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗? [生]可以．已知：如上图，由作图步骤可知ON＝OM，MP⊥OA，NP⊥OB，M、N分别为垂足． 求证：∠AOP＝∠BOP. 证明：∵MP⊥OA，NP⊥OB， ∴∠OMP＝∠ONP＝90°． 在Rt△OMP和Rt△ONP中， ∵OP=OP，OM=ON， ∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL定理)． ∴∠AOP=∠BOP(全等三角形的对应角相等)． 3．议一议 教师用多媒体演示： Ⅲ．课时小结 本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力，同学们这一节课的表现，很值得继续发扬光大. Ⅳ．课后作业 习题1．5第1、2题

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月 日 课题 教 学目 标 线段的垂直平分线 课时 2 课型 新授 知识技能： 1、能够运用公理所学过的定理证明线段垂直平分线的性质和判定定理． 2、能够证明三角形三边垂直平分线交于一点 过程方法： 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 情感与价值观： 1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点 1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论． 2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 3．已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形． 教学难点 1、写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题． 2、证明三线共点． 教学方法 探索——交流——合作法 重点难点分析 及 突破措 施 教具准 备 板书设 计 多媒体演示 § 1．3．1 线段的垂直平分线(一) 一、线段垂直平分线的性质定理． 二、线段垂直平分线的判定定理． 三、用尺规作线段的垂直平分线． §1．3．2 线段的垂直平分线(二) 定理： 证明

教 学 过 程 （包括导引新课、依表导学、异步训练、达标测试、作业设计等） 第一课时： Ⅰ．创设现实情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”三次闪烁，强调这几个字在题中有很重要的作用． [生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上。 Ⅱ．讲述新课 [师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它，现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程，遇到困难，请同学们大胆提出来，我会给你启示． [生]我有一个问题，要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?何况不可能呢． [师]谁有办法来解决此问题呢？ [生]我觉得一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表． [师]我觉得这位同学的做法很好，我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质． 已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足是C，且 AC＝BC，P是MN上的点． 求证：PA＝PB． 分析：要想证明 PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°. ∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌PCB(SAS)． ∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)． 教师用多媒体完整演示证明过程，同时，用多媒体呈现：

想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? [生]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 学生讨论多种证明方法。 做一做 用尺规作线段的垂直平分线. [师]要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线． 下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据． 随堂练习 课本P25 课时小结 本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线． 课后作业 习题1．6第1、3题 Ⅵ．活动与探究 (1)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40°，求∠NMB的大小； (2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小． (3)你发现了什么样的规律?试证明之； (4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改

第二课时： Ⅰ．提出问题，引入新课。 [师]习题1．6的第1题：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么?(教师可用多媒体演示作图过程) [生]我们发现三角形三边的垂直平分线交于一点． [生]这一点到三角形三个顶点的距离相等． 2．讲述新课 [师]现在我们就来从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，这是我们没有遇到过的，不妨我们再来看一下演示过程，或许你能从中受到启示． 1．分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置． 2．已知：△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O． 求证；OA＝OB=OC． 解：1．如图所示： 可以发现，锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外． 2．证明：∵AB＝AC， AD是BC的中线， ∴AD垂直平分BC (等腰三角形底边上的 中线垂直于底边)． 又∵AB的垂直平分线与AD交于点O， ∴OB＝OC＝OA(三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)． 多媒体演示： 议一议 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 以上问题演示时依次出现． [生](1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下图： 已知：三角形的一条边a和这边上的高h． 求作：△ABC，使BC＝a，BC边上的高为h．

从上图我们会发现，先作已知线段BC＝a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定，我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD＝A1D＝h，连接AB，AC(或△A1B，A1C)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等． [生]这样的△ABC应有两个，为什么不作出另一个呢? [师]他的这个问题提得很好，这里需要说明的是，作图分“定位作图”和“活位作图”， 前者则对所求作的图形必须作在指定的位置，而后者则对所求作图形的位置没有硬性限制．如“作已知线段的垂直平分线”属定位作图，而“以已知正方形的一边为边作等边三角形”“已知两边及其夹角作三角形”都属于活位作图． 对于定位作图，能作出多少个满足条件的图形，就说这个作图题有多少个“解”．对于活位作图，如果所作出的图形彼此全等，那么不论能作出多少个图形，都说这个作图题有一个“解”；如果所作出的图形不都全等，那么不全等的才算不同的“解”． “已知底边及底边上，的高，求作等腰三角形．”属活位作图，虽然满足条件的三角形可作出两个，但因它们全等，故只有一解．从这个意义上说，满足这一条件的等腰三角形是唯一确定的． 课时小结 本节课通过折纸，推理证明了“到三角形三个顶点距离的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”． 课后作业 习题1．7第1、2题 Ⅴ．活动与探究 求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段．

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月 日 课题 教 学 目 标 角平分线 课时 2 课型 新授 知识技能： 1．知道角平分线的性质、判定定理的证明． 2 会用尺规作已知角的角平分线． 过程方法： 1．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力． 2．体验解决问题策略的多样性，提高实践能力． 情感与价值观： 1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 重点难点 及 突破措 施 教具准 备 板书设 计 教学重点 1．角平分线的性质和判定定理的证明． 2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由． 教学难点 1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题． 2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明． 教学方法 探索——引导法 一张纸，直尺，圆规 角平分线(一) (一)角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． (二)用尺规作角平分线． 角平分线(二) 1．定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 2．[例]在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD＝4cm，求AC的长； (2)求证：AB＝AC+CD．

教 学 过 程 （包括导引新课、依表导学、异步训练、达标测试、作业设计等） 第一课时： Ⅰ．设置情境问题，搭建探究平台 问题 ： 还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的? [生]我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质。 [师]你能证明它吗? Ⅱ．展示思维空间，构建活动空间 [师]我们从折纸过程中得到了角平分线上的点的性质，我们还需运用所学的公理和已证的定理证明它，请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流． [生]已知：如图， OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD＝PE． 证明：∵∠1＝∠2，OP＝OP, ∠PDO＝∠PEO＝90°， ∵△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) [师]我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论，我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题。 [生]如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上． [生]我觉得这个命题是假命题，角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． [师)这位同学思 考问题很仔细．事实 上，从同一点出发的 两条射线一般组成两 个角，而“角的内部” 通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部，如上图所示，到∠AOB两边距离 相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件． 谁再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题呢? [生]在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． [师]它是真命题吗? [生]没有加“在角的内部”时，是假命题．但根据题意我觉得应加上“在角的内部”

这一条件，因此角平分线性质定理的逆命题是真命题． [师]你能证明它吗? (由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) Ⅲ．随堂练习 如图，AD、AE分 别是△ABC中∠A内内 角平分线和外角平分 线，它们有什么关系? 解：∵AD平分∠CAB， ∴∠1、∠2= 1∠CAB． 21∠CAF． 2 又∵AE平分∠CAF， ∴∠3＝∠4＝ ∵∠CAB+∠CAF＝180°， ∴∠1+∠3＝11 (∠CAB+∠CAF)＝×180°＝90°，即AD⊥AE． 22 Ⅳ．课时小结 这节课我们在折纸的基础上，证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学习了用尺规作一个已知角的角平分线，进一步发展学生的推理证明意识和能力． Ⅴ．课后作业 1．习题1．8第1，2，3题． 2．阅读“读一读”，使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三大几何难题”，开阔他们的视野，体会数学家坚忍不拔的科学探索精神．

第二课时： Ⅰ．设置情境问题，搭建探究平台 问题1 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?(教师可用多媒体演示尺规作图过程)． [生]三角形的三个内角的角平分线交于一点. [生]根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等． [师]你还可以用什么方法说明上述结论呢? [生]利用折纸．在纸板上画一个三角形并剪下来，折叠，作出三角形三个内角的角平分线交于一点． [师]如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明它呢?可以类比我们学过的知识解决吗? Ⅱ．展示思维过程，构建探究平台 [师生共析]已知： 如图，设△ABC的角平 分线BM、CN相交于点P， 证明：P点在∠BAC 的角平分线上． 证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理，PE＝PF． ∴PD＝PF． ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)， ∴△ABC的三条角平分线相交于点P． [师]在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还证明了什么呢? [生]还证明了PD＝PE＝PF，即这个交点到三角形三边的距离相等． [师]于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即 定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等； 下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三 角 形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 交点性质 三边垂直平分线 交于三角 形内一点 交于三角 形外一点 交于斜边的中点 到三角形三个 顶点的距离相等 到三角形边 的距离相等 三条角平分线 交于三角 形内一点 [师]下面我们来看问题2(多媒体演示) 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处?

[生]有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处． [师]你如何发现的? [生]因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等，这一点刚好符合． [生]我找到四处．(同学们很吃惊) [师]你是如何找到的? [生]除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P2；∠BAC、∠CBA的外角的角平分线的交点P3，因此满足条件的点共4个，分别是P、P1、P2、P3． Ⅲ．例题讲解 学生分析小组讨论，学生板演讲解。 Ⅳ．课时小结 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等,并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题． Ⅴ．课后作业 习题1．9第1、2题 Ⅵ．活动与探究 如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、C．已知△ABC的周长为2004，BC的边长为704，求△ADE的周长．

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