2013西城(北区)高一下期末

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北京市西城区（北区）2012－2013学年下学期高一期末考试

数学试卷

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 在数列{}n a 中，12n n a a +=+，且11a =，则4a 等于（ ）

（A ）8 （B ）6 （C ）9 （D ）7

2. 将一根长为3m 的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1m 的概率是

（ ）

（A ）14 （B ）13 （C ）12 （D ）23

3. 在△ABC 中，若222a b c +<，则△ABC 的形状是（ ）

（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不能确定

4. 若0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ）

（A ）33a b > （B ）a b < （C ）11a b > （D ）11a b

< 5. 若实数x ，y 满足10,0,0,x y x y x -+≥??+≥??≤?

则2z x y =+的最小值是（ ）

（A ）12

- （B ）0 （C ）1 （D ）－1 6. 执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（

）

（A ）2

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（B ）12-

（C ）3

（D ）23

7. 已知100件产品中有5件次品，从中任意取出3件产品，设A 表示事件“3件产品全不是次品”，B 表示事件“3件产品全是次品”，C 表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（ ）

（A ）B 与C 互斥 （B ）A 与C 互斥

（C ）任意两个事件均互斥 （D ）任意两个事件均不互斥

8. 口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次。则“两次取球中有3号球”的概率为（ ）

（A ）59 （B ）49 （C ）25 （D ）12

9. 设O 为坐标原点，点A （4，3），B 是x 正半轴上一点，则△OAB 中

OB AB 的最大值为（ ） （A ）43 （B ）53 （C ）54 （D ）45

10. 对于项数为m 的数列{}n a 和{}n b ，记b k 为12,(1,2,,)k a a a k m ?=?中的最小值。给出下列判断： ①若数列{}n b 的前5项是5，5，3，3，1，则43a =；

②若数列{}n b 是递减数列，则数列{}n a 也一定是递减数列；

③数列{}n b 可能是先减后增数列；

④若1(1,2,...,)k m k b a C k m -++==，C 为常数，则(1,2,...,)i i a b i m ==。

其中，正确判断的序号是（ ）

（A ）①③ （B ）②④ （C ）②③ （D ）②

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

11. 不等式220x x -<的解集为________________。

12. 在△ABC

中，2,150b c A ===?，则a=___________。

13. 某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表。

已知在全年级学生中随机抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2。则x=_____；现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为____________。

一班 二班 三班

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女生人数

20 x y 男生人数 20 20 z

14. 甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图。已知甲、乙二人得分的平均数相等，则m=________；乙得分的方差等于____。

15. 设{}n a 是等差数列，S n 为其前n 项的和。若533,27a S =-=-，则1a =_______；

当S n 取得最小值时，n=__________。

16. 当x ∈[1，9]时，不等式22332x x x kx -++≥恒成立，则k 的取值范围是_________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分13分）

在等比数列{}n a 中，12236,12a a a a +=+=。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设{}n b 是等差数列，且b 2 =a 2，b 4=a 4。求数列{}n b 的公差，并计算1234100...b b b b b -+-+-的值。

18. （本小题满分13分）

某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下：

61 76 70 56 81 91 55 91 75 81

88 67 101 103 57 91 77 86 81 83

82 82 64 79 86 85 75 71 49 45

（Ⅰ）完成下面的频率分布表；

（Ⅱ）完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a的值；

（Ⅲ）在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内的概率。

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19. （本小题满分13分）

在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，已知c=3，3C π=。 （Ⅰ）若sinB=2sinA ，求a ，b 的值；

（Ⅱ）求a 2+b 2的最大值。

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20. （本小题满分14分）

已知函数()(1)(1)f x ax x =-+。

（Ⅰ）当a=1时，求()f x 在区间[－1，2]上的值域；

（Ⅱ）若函数()f x 在区间[)1,-+∞上是减函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）解关于x 的不等式()0f x <。

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21. （本小题满分14分） 设数列{}n a 的前n 项和为S n ，且1*1

2(),2

n n S n N -=-∈。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列(215)n n b n a =-。 （i ）求数列{}n b 的前n 项和T n ； （ii ）求b n 的最大值。

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22. （本小题满分13分）

对于数列A ：a 1，a 2，a 3（a i ∈N ，i=1，2，3），定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列B ：b 1，b 2，b 3，其中1(1,2)i i i b a a i +=-=，且331b a a =-。这种“T 变换”记作B=T （A ），继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列C ：c l ，c 2，c 3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束。

（Ⅰ）写出数列A ：2，6，4经过5次“T 变换”后得到的数列；

（Ⅱ）若a 1，a 2，a 3不全相等，判断数列A ：a 1，a 2，a 3经过不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由； （Ⅲ）设数列A ：400，2，403经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值。

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【试题答案】

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1. D

2. B

3. C

4. C

5. A

6. D

7. B

8. A

9. B 10. B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分， 11. 1|02x x ?

?<<????

12. 13. 24 9 14. 6，8.4

15. －11，6 16. (],13-∞ 注：一题两空的试题，第一空2分，第二空3分：

三、解答题：本大题共3小题，共36分，

17. 解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，

由已知，211116,12a a q a q a q +=+= …………2分

两式相除，得q=2。 …………4分

所以a 1=2， …………6分

所以数列{}n a 的通项公式2n n a =。 …………7分

（Ⅱ）设等差数列{}n b 的公差为d ，

则114,316b d b d +=+= ………………9分

解得12,6b d =-=………………11分

1234100123499100...()()...()b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-++-………………12分 50300d =-=-…………13分

18. 解：（Ⅰ）如下图所示。 ……………………4分

（Ⅱ）如下图所示。………………6分

由己知，空气质量指数在区间[71，81）的频率为

630，所以a= 0.02。……8分

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（Ⅲ）设A 表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内”，

由己知，质量指数在区间[91，101）内的有3天，

记这三天分别为a ，b ，c ，

质量指数在区间[101，111）内的有2天，

记这两天分别为d ，e ，

则选取的所有可能结果为：

（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ），（c ，e ），（d ，e ）。 基本事件数为10。………………10分

事件“至少有一天空气质量指数在区间[101，111）内”的可能结果为：

（a ，d ），（a ，e ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ），（c ，e ），（d ，e ）。

基本事件数为7， ………………12分 所以7()0.710

P A == ………………13分 19. 解：（Ⅰ）因为sin B=2sinA ，由正弦定理可得b=2a ，………………3分

由余弦定理c 2= a 2 +b 2 －2abcosC ， ………………5分

得9=a 2 +4a 2 －2a 2， ………………7分

解得a 2=3， ………………8分

所以2a b a === ………………9分

（Ⅱ）由余弦定理c 2= a 2 +b 2 －2abcosC ，得ab=a 2+b 2－9，………………10分

又a 2 +b 2≥2ab ， ………………11分

所以a 2+b 2≤18，当且仅当a=b 时，等号成立。 ………………12分

所以a 2+b 2的最大值为18。 ………………13分

20. 解：（Ⅰ）当a=l 时，2()1f x x =-，

函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减，在区间[)0,+∞上单调递增

所以，()f x 在区间[]1,2-上的最小值为(0)1f =-…………2分

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又(2)(1)f f >-。

所以()f x 在区间[]1,2-上的最大值为(2)3f =…………………3分

()f x 在区间[]1,2-上的值域为[]1,3-…………………4分

（Ⅱ）当a=0时，()1f x x =--，在区间[)1,-+∞上是减函数，符合题意……5分 当0a ≠时，若函数()f x 在区间[)1,-+∞上是减函数，

则0a <，且11a

≤-， ……………………7分 所以－1≤a<0， ……………………9分

所以a 的取值范围是[－1，0]

（Ⅲ）由已知，解不等式(1)(1)0ax x -+<。

当a=0时，x>－1。 ……………………10分

当a>0时，1()(1)0x x a -+<，解得11x a -<<

………………11分 当a<0时，1()(1)0x x a -+>， 若11a

=-，即1a =-时，1x ≠-； ………………12分 若

11a >-，即1a <-时，1x <-或1x a > ………………13分 若11a <-，即10a -<<时，1x a

<或1x >- ………………14分 综上，当a>0时，不等式的解集为1|1x x a ??-<<

????; 当a=0时，不等式的解集为{}|1x x >-；

当－1<a<0时，不等式的解集为1|1x x x a ?

?<>-????

或; 当a =－1时，不等式的解集为{}|1x x ≠-

当a<－1时，不等式的解集为1|1x x x a ?

?<->????

或 21. 解：（Ⅰ）由已知，当n=1时，111a S ==。………………1分

当2n ≥时，1n n n a S S -=- ………………2分

1211112()[2()]()222

n n n ---=---= ………………3分

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综上，1*1(),2n n a n N -=∈ ………………4分

（Ⅱ）（i ）11(215)().2n n b n -=- 所以2111113(11)(9)()...(215)()222

n n T n -=-+-+-++-………………5分 2111111(13)(11)()...(217)()(215)()22222

n n n T n n -=-+-++-+- ……6分 两式相减，得211

11111322()...2()(215)()22222

n n n T n -=-+?+?++?--…8分 211111132[()...()](215)()2222

n n n -=-++++-- 2111132()(215)()(112)()11222

n n n n n -=-+---=-- 所以11(112)()222n n T n -=-- ………………10分

（ii ）因为11111(213)()(215)()(172)()222n n n n n b b n n n -+-=---=-……11分 令10n n b b +->，得172

n < ………………12分 所以129...b b b <<<，且910...b b >>，即9b 最大， ………………13分 又8991333()2256b a ==?=

。 所以，n b 的最大值为3256

………………14分 22. 解：（Ⅰ）依题意，5次变换后得到的数列依次为

4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2…………3分

所以，数列A ：2，6，4经过5次“T 变换”后得到的数列为2，0，2，……4分 （Ⅱ）数列A 经过不断的“T 变换”不可能结束

设数列D ：d 1，d 2，d 3，E ：e 1，e 2，e 3，F ：O ，0，0，且T （D ）=E ，T （E ）=F 依题意1223310,0,0e e e e e e -=-=-=，所以123e e e ==

即非零常数列才能通过“T 变换”结束。…………①…………6分

设123e e e e ===（e 为非零自然数）。

为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能

111:,,2;D d d e d e ++111:,,;D d d e d +111111:,,;:,,2;D d d e d D d d e d e ---

而任何一种可能中，数列E的笫三项是O或2e。

即不存在数列D，使得其经过“T变换”成为非零常数列。……②……8分

由①②得，数列A经过不断的“T变换”不可能结束。

（Ⅲ）数列A经过一次“T变换”后得到数列B：398，401，3，其结构为a，a+3，3。

数列B经过6次“T变换”得到的数列分别为：3，a，a－3；a－3，3，a－6：a－6，a－9，3;3，a－12，a－9;a－15，3，a－12;a－18，a－15，3。

所以，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“a，a+3，3”的数列，变化的是，除了3之外的两项均减小18。……10分

因为398 =18×22+2，所以，数列B经过6×22 =132次“T变换”后得到的数列为2，5，3。

接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1;1，0，1，……。

至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小。……12分

所以经过1+132+3 =136次“T变换”得到的数列各项和达到最小，

即k的最小值为136。………………13分

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