2019新人教B版必修五3.2《均值不等式》word学案

3．2 均值不等式 学案

【预习达标】

⒈正数a、b的算术平均数为 ；几何平均数为 ．

⒉均值不等式是 。其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？

⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．

⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）

a?b （ ） 2ba1（3）＋ （ ） （4）x＋ (x>0)

abx1（5）x＋ (x<0) （6）ab≤ （ ）

x（1）a+b ( ) （2）

2

2

⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．

6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x的值为___________________；． ⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x的值为___________________； ⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是 ；此时x的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x的值为___________________。 【典例解析】

例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证

例⒉（1）已知x<

111 ++≥9． abc51，求函数y=4x－2+的最大值． 44x?519?＝1，求x＋y的最小值。 xy2

2

（2）已知x>0，y>0，且

（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)+(x-b)的最小值。

【达标练习】 一．选择题：

⒈下列命题正确的是（ ）

Ａ．a+1>2a Ｂ．│x+

2

a?b14│≥2 Ｃ．≤2 Ｄ．sinx+最小值为4． xsinxab

1x2?2 ⒉以下各命题(1)x+2的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1

2x?1x?12

则（a+

11）(b+)的最小值是4，其中正确的个数是（ ） ab Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3

⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（

Ａ．

ba22

＋≥2 Ｂ．a+b≥2ab abb2a2112Ｃ．＋≥a＋b Ｄ．??2+

baaba?b ⒋设a、b?R，若a+b=2，则

＋

11

?的最小值等于（ ） ab

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 ⒌已知a?b>0，下列不等式错误的是（ ）

a2?b22ab2 Ａ．a+b≥2ab Ｂ．a? Ｃ．ab? Ｄ．ab??1

a?b2a?b?12

2

二．填空题：

⒍若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________． ⒎已知x>1.5，则函数y＝2x+

4的最小值是_________．

2x?3a2b2? ⒏已知a、b为常数且0

xx2x?3x4?9 ⒐（1）设a=，b=62，c=且x≠0，试判断a、b、c的大小。

22x （2）设ca?c的大小。 2

⒑在△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，一条直线分△ABC的面积为相等的两个部分，且夹在

AB与BC之间的线段最短，求此线段长。

参考答案：

【预习达标】

a?b；ab 2a?ba?b2．≥ab；算术平均数；几何平均数ab；圆中的相交弦定理的推论（略）。

221．

3．a，b∈R＋；a=b

4．⑴≥2ab（a,b∈R）⑵≥ab( a，b∈R＋)⑶≥2（a、b同号）或≤－2（a、b异号） ⑷≥2⑸≤－2⑹≤（5．定。

6．⑴1，1；⑵2，1；⑶【典例解析

a?b2

）（a,b∈R）； 211，；⑷－1，－1。 22111bcbaca ++）（a+b+c）＝3＋（?）＋（?）＋（?） ≥abcbbabac13＋2＋2＋2＝9当且仅当a=b=c=时取等号。

3例1．解析：原式＝（例⒉解析： （1）∵x<＝

511 ∴4x-5<0 ∴y=4x－2+=(4x-5)++3≤－2＋3＝1当且仅当4x-544x?54x?51时即4x-5＝－1，x＝1时等号成立，∴当x＝1时，取最大值是1

4x?5（2）解法一、原式＝（x＋y）（

y9x19y9x+10≥6＋10＝16当且仅当＝时等?）＝?yxyxyx号成立，又

19?＝1∴x=4,y=12时，取得最小值16。 xy解法二、由

19（x-1）(y-9)=9为定值，又依题意可知x>1，y>9∴当且仅当x-1=y-9=3?＝1得

xy时即x=4，y=12时，取最小值16。

（3）解法一、转化为二次函数求最值问题（略）

m2?n2m?n2解法二、∵≥（)∴y=(x-a)2+(x-b)2＝y=(x-a)2+(b-x)2≥

22(x?a)?(b?x)2(a?b)2a?ba?b2[]＝，当且仅当x-a=b-x即x=时，等号成立。∴当x=

2222(a?b)2时取得最小值

2【双基达标】

一、1．B解析：A中当a=1时不成立；C需要分a、b同号还是异号D中等号成立的条件是sinx=2。这是不可能的。实际上│x+

11│＝│x│＋││≥2 xx11ba）(b+)＝（a+b）+2+(?)abab2．C解析：（1）（2）正确，（3）不正确，实际上（a+≥1＋2＋2＝5，当且仅当a=b=

1时等号成立。 2a2b2b2a2 3．D解析：A、B显然正确；C中+a≥2b，+b≥2a，∴＋≥a＋b ；D中a=b=2

bbaa时就不成立。

4．B解析：原式＝（

11a?b1ba＝（2＋?）≥2 ?）

ab22ab2a?1?b?15．C解析：C、D必然有一个是错误的，实际上几何平均数ab≥调和平均数＝

2ab a?ba?b2)＝4 2447．7解析：y＝2x+＝y＝（2x－3）+＋3≥7

2x?32x?3二、6．4解析：∵ab≤(a2b21?x2x222

?8．(a?b)解析：原式＝（）[x+(1-x)]=a+b+a+b≥x1?xx1?x2a+b+2ab=(a?b)。

2

2

2xx2x?3x4?9xx三、9．解析：（1）a=为算术平均数，b=62＝23为几何平均数，c=＝

22x(2x)2?(3x)2为平方平均数。∵x≠0∴2x?3x∴c>a>b。

2（2）

a?c(a?b)?(b?c)＝≥(a?b)(b?c) 22113xysinB?xy?2253188＝xy?S?ABC＝3∴xy=10∴EF2＝x2+y2-2xycosB= x2+y2-xy?2xy?xy=4，当且仅当1025510．解析：设直线为EF，交BC于E，交AB于F，设BF＝x，BE＝y则S△BEF＝

x?y?10时等号成立，此时EF＝2。

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