专题37三角形全等

专题37：三角形全等

一、选择题

1．（广西百色3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE，②△BAD≌△BCD，③△BDA≌△CEA， ④△BOE≌△COD，⑤△ACE≌△BCE。上述结论一定正确的是

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③⑤ D. ①③④ 【答案】D。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】根据全等三角形的判定定理，可知①由ASA可证△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD不一定成立；③由AAS可证△BDA≌△CEA；④由AAS可证△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE不一定成立。故选D。 2.（广西南宁3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠A＝15o，AB＝8，则AC·BC的值为

A．14 B．163 C．415 D．16 【答案】D。

【考点】全等三角形的判定和性质，锐角三角函数。

【分析】延长BC到点D，使CD＝CB，连接AD，过点D作DE⊥AB，垂足为点E。则知△ACD≌△ACB，从而由已知得∠CAD＝∠A＝15o，AD＝AB。因此，在Rt△ADE中，AD＝8，∠BAD＝30o，∴DE＝AD·sin30o＝4。从而S△ADE

111·AB·DE＝16，又S△ADE＝·BD·AC＝·2BC·AC＝AC·BC，即AC·BC＝16。 2223.（江苏宿迁3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 ．．．

＝

A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠ BDA＝∠CDA 【答案】B。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】条件A构成SAS，条件C构成AAS，条件D构成ASA，根据全等三角形的判定定理，它们都能使△ABD≌△ACD。而条件B构成SSA，它不一定能使△ABD≌△ACD。故选B。 4.（山东济南3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90o，AC＞BC，分别以AB、 BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、

1

ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确 的是

A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3 C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1 【答案】A。

【考点】正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】过点D作DQ⊥MN交CB的延长线于点P，交MN的延长线于点Q； 过点E作ER⊥GF交CA的延长线于点S，交GF的延长线于点R。 易证△CGM≌△CAB（SAS），即S2＝S△ABC；

易证△PBD≌△CAB（AAS），∴BP=AC，即S3的底为BN=BC，高为BP=AC，∴S2＝S△ABC；

易证△SEA≌△CAB（AAS），∴AS=BC，即S1的底为FA=CA，高为AS=BC，∴S2＝S△ABC。 ∴S1＝S2＝S3＝S△ABC。故选A。

5.（山东威海3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC 的中点，点F在BC边上，连接DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后， 仍无法判定△BFD与△EDF全等

A．EF∥AB

B．BF=CF

C．∠A=∠DFE

D．∠B=∠DEF 【答案】C。

【考点】全等三角形的判定，平行的性质，三角形中位线的性质。

【分析】 A．添加EF∥AB后，由平行的性质和E是边AC的中点知F也是边BC的中点，由三角形 中位线等于第三边一半的性质，可由SSS证出△BFD≌△EDF；B．添加BF=CF后，直接由三角形中 位线等于第三边一半的性质，可由SSS证出△BFD≌△EDF；D．添加∠B=∠DEF后，可由AAS证出 △BFD≌△EDF。所以只有添加∠A=∠DFE仍无法判定△BFD与△EDF全等 。故选C。 6.（广东台山3分）如图，已知AB∥CD，AB=CD，AE=FD，则图中的全等三角形有

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 【答案】C。

【考点】全等三角形的判定。

2

【分析】①∵AB∥CD，∴∠A=∠D。又∵AB=CD，AE=FD，∴?ABE≌?DCF（SAS）。②∵AE=FD，∴AF=DE。又∵AB=CD，∠A=∠D，∴?ABF≌?DCE（SAS）。③∵?ABE≌?DCF，∴BE=CF。∵?ABF≌?DCE，∴BF=CE。又∵EF=FE，∴?BEF≌?CFE（SSS）。故选C。

7.（广东台山3分）如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是

Ba?58C50?c72?bA50?甲a　乙ca50?50?72?丙a A、甲乙 B、甲丙 C、乙丙 D、乙 【答案】C。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】根据全等三角形SAS和AAS的判定，乙、丙两个三角形和△ABC全等。故选C。 8. （江西省A卷3分）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是 ．．A.BD=DC， AB=AC B.∠ADB=∠ADC，BD=DC C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C，BD=DC 【答案】D。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】.∵AD=AD，A、当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABC≌△ACD，正确；B、当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABC≌△ACD，正确；

C、当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABC≌△ACD，正确；D、当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABC≌△ACD，错误。故选D。

9.（湖北十堰3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合。过角尺顶点C作射线OC。由做法得△MOC≌△NOC的依据是

A．AAS B.SAS C.ASA D.SSS 【答案】D。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】∵OM=ON，CM=CN，OC为公共边，∴△MOC≌△NOC（SSS）。故选D。

3

10.（湖北恩施3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为

A、11 【答案】B。

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定和性质。 【分析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，

∵DE=DG，∴DM=DE。

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DE=DN。 ∴△DEF≌△DNM（HL），

∵△ADG和△AED的面积分别为50和39， ∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMG=590﹣39=11。 S△DNM=S△DEF=

故选B。

11.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，△ACB≌△A1CB1, ∠BCB1=30°，则∠ACA1的度数为 A． 20° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B。

【考点】全等三角形的性质。

【分析】根据全等三角形对应角相等的性质，得∠ACB=∠A1CB1，所以∠ACB－∠BCA1=∠A1CB1－∠BCA1，即 ∠ACA1=∠BCB1=35°。故选B。 二、填空题

1.（湖南郴州3分）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有 ▲ 对全等三角形． 【答案】3。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】根据题意，结合图形，可得知△AEB≌△ADC（AAS），△BED≌△CDE（HL），△BOD≌△COE（AAS）。故答案为3。

2. （湖北随州4分）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= ▲ ．

B、5.5 C、7

D、3.5

11S△MDG=×11=5.5。 22 4

【答案】50°。

【考点】角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质三角形全等的判定和性质。 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案：

延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD=x°，

∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN。 ∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN。∴PF=PM。 ∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=（x﹣40）°。

∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°。 ∴∠CAF=100°。

在Rt△PFA和Rt△PMA中，∵PA=PA，PM=PF，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）。 ∴∠FAP=∠PAC=50°。

3.（四川资阳3分） 如图，在△ABC中，若AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，且AD与BE相交于点F，BF=AC，则∠ABC= ▲ °． 【答案】45。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。 【分析】由已知，根据AAS可证明△BDF≌△ADC，从而根据全等三角形对应边相等的性质得BD=AD，因此根据等腰三角形等边对等角的性质和AD⊥BC得∠ABC=45°。 三. 解答题

1.（北京5分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC． 【答案】证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D。

??ABE??D? 在△ABC和△FDC中?AB?FD， ∴△ABC≌△FDC（ASA）。

??A??F? ∴AE=FC．

【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】利用平行线同位角相等的性质可得∠ABE=∠D，由已知用ASA判定△ABC≌△FDC，再由全等三角形对应边相等的性质证得AE=FC。 2.（重庆６分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别

5

在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF． 【答案】证明：∵AF=DC，∴AC=DF。

又∵AB=DE，∠A=∠D，

∴△ACB≌△DEF（SAS）。∴∠ACB=∠DFE，。 ∴BC∥EF。

【考点】全等三角形的判定与性质，平行线的判定。

【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行的判定，即可证明BC∥EF。

3.（浙江温州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点．

求证：△ADM≌△BCM．

【答案】证明：在等腰梯形ABCD中，

∵AB∥CD，∴AD=BC，∠A=∠B。

∵点M是AB的中点，∴MA=MB。∴△ADM≌△BCM（SAS）。

【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定。

【分析】由等腰梯形得到AD=BC，∠A=∠B，根据SAS即可判断△ADM≌△BCM。 4.（浙江台州8分）如图，分别延长?ABCD的边BA、DC到点E、H，使 得AE＝AB，CH＝CD，连接EH，分别交AD、BC于点F、G．

求证：△AEF≌△CHG．

【答案】证：在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD ，

∴∠E＝∠H，∠EAF＝∠D 。

∵AD∥BC，∴∠HCG＝∠D。∴∠EAF＝∠HCG 。 ∵AE＝AB，CH＝CD。∴AE＝CH。 ∴△AEF≌△CHG（ASA）。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定。

【分析】根据平行四边形的性质可得出AE=CH，再根据平行线的性质及等角代换的原理可得出∠E=∠H，∠EAF=∠D，从而利用ASA可作出证明。

5.（浙江义乌6分）如图，已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，

6

DF⊥AC. （1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等三角形（不再添加辅助线）． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD， AB∥CD ，

∴∠BAE=∠FCD。

又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB=∠CFD=90°。 ∴△ABE≌△CDF （AAS）。

（2）①△ABC≌△CDA ， ②△BCE≌△DAF。

【考点】平行四边形的性质，垂线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定。

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出∠BAE=∠FCD，根据垂直的定义得到∠AEB=∠CFD=90°，根据AAS即可证得。

（2）根据SSS得到△ABC≌△CDA，根据SAS得到△BCE≌△DAF。

6.（广西柳州6分））如图，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，

求证：△AFB≌△AEC

【答案】证明：∵点E、F分别是AB、AC的中点，

11

∴AE＝AB，AF＝AC。

22∵AB＝AC，∴AE＝AF。

又∵∠A＝∠A，∴△AFB≌△AEC（SAS）。

【考点】全等三角形的判定。

11

【分析】据中点的定义可知AE＝AB，AF＝AC，从而由已知AB＝AC 得AE＝AF，因此根据SAS即可证

22明△AFB≌△AEC。

7.（广西钦州6分）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点， BE∥DF．求证：BE＝DF．

【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD， BC∥AD 。

∴∠ACB＝DAC。

又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠AFD 。∴△CBE≌△ADF（AAS）。∴BE＝DF。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】要证BE＝DF，只要证△CBE≌△ADF即可。它可由平行四边形对边平行且相等的性质和平行线内错角相等的性质证得。

7

8.（湖南常德7分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形。 （1）求证：△MEF∽△MBA；

（2）若AF、BE分别是∠DAB、∠CBA的平分线， 求证：DF=EC。

【答案】解：（1）证：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。 ∴∠EFM=∠MAB，∠FEM=∠MBA。∴△MEF∽△MBA。

（2）∵AB∥CD，∴∠DFA=∠FAB，

∵AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，∴∠DAF=∠FAB。 ∴∠DAF=∠DFA，∴DA=DF。 同理得出CE=CB，∴DF=EC。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，相似三角形的判定。

【分析】（1）由平行四边形的性质得出角相等，再根据相似三角形的判定得出答案。

（2）由AB∥CD，得∠DFA=∠FAB，再由角平分线的定义得出∠DAF=∠FAB，从而得出∠DAF=∠DFA，即DA=DF，同理得出CE=CB，由平行四边形的性质得出DF=EC。

9.（湖南衡阳6分）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF． 【答案】证明：∵D是BC边上的中点，∴BD=CD，

又∵分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF， ∴CF∥BE，∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD。 ∴△BDE≌△CFD（ASA）。∴CF=BE。

【考点】全等三角形的判定和性质，平行的判定和性质。

【分析】利用CF∥BE和D是BC边的中点可以由ASA证明△BDE≌△CDF，从而得出结论。 10.(湖南湘西6分)如图，已知AC平分?BAD，AB=AD。求证：△ABC≌△ADC 【答案】证明：∵AC平分?BAD，∴?BAC=?DAC,

又∵AB=AC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）。 【考点】全等三角形的判定。

【分析】首先根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，便可利用SAS证得。

11.（江苏苏州6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A

8

＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E． (1)求证：△ABD≌△ECB；

(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．

【答案】解： (1)证明：∵ AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC。

??A??BEC=900? ∵ 在△ABD和△ECB中 ?BD=CB，∴△ABD≌△ECB（ASA）。

??ADB＝?EBC? （2）∵BC＝BD，∠DBC＝50°，∴∠BCD＝65°。 又∵∠BEC＝90°，∴∠BCE＝40°。

∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝65°－40°＝25°。

【考点】平行线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等量代换。 【分析】(1)要证明△ABD≌△ECB，已知有－对直角和－组对边相等，只要再证－组对角相等即可。 而由于AD∥BC，根据两直线平行内错角相等的性质，有∠ADB＝∠EBC，从而得证。

(2)由等腰三角形等边对等角的性质和直角三角形两锐角互余的性质经过等量代换和变形可求 得。

12.（江苏常州、镇江5分）已知：如图，在△ABC是，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC 求证：AB=AC

【答案】证：∵AD平分∠EDC，∴∠EDA＝∠CDA。 在△AED和△AED中，

∵DE＝CD，∠EDA＝∠CDA，AD＝AD，∴△AED≌△AED（SAS）。，∴∠C＝∠E。 又∵∠E＝∠B，∴∠B＝∠C。∴AB＝AC

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。

【分析】要证AB＝AC，由等腰三角形等角对等腰的判定即要∠B＝∠C，由于已知∠E＝∠B，而∠C和∠E是全等三角形△AED和△AED的对应角，从而得证。

13.（江苏淮安8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，EF分别是BC、AD上的点，∠1＝∠2.求证：△ABE≌△CDF.

【答案】证明∵四边形ABCD是平行四边形，

9

∴∠B＝∠D，AB＝DC。

又∵∠1＝∠2，∴△ABE≌△CDF（ASA）。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。

【分析】利用平行四边形的性质和∠1＝∠2的条件可以用ASA证明两三角形全等。

14.（江苏连云港6分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？

【答案】解：不重叠的两部分全等。理由如下：

∵三角形纸板ABC和DEF完全相同，∴AB＝DB，BC＝BF，∠A＝∠D。 ∴AB－BF＝BD－CD，即AF＝CD。∴△AOF≌△DOC（AAS）

【考点】全等三角形的判定。

【分析】根据全等三角形AAS的判定定理，得出结果。

15.（山东德州8分）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．

（1）求证AD=AE；

（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由． 【答案】解：（1）证明：在△ACD与△ABE中，

∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC， ∴△ACD≌△ABE（AAS）。∴AD=AE。

（2）在Rt△ADO与Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，

∴△ADO≌△AEO（HL）。∴∠DAO=∠EAO。 即OA是∠BAC的平分线。 又∵AB=AC，∴OA⊥BC。

【考点】全等三角形的判定和性质

【分析】（1）根据全等三角形AAS的判定方法，证明△ACD≌△ABE，即可得出AD=AE。

（2）根据已知条件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判断出OA是∠BAC的平分线，

即OA⊥BC。

16.（山东菏泽6分）已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB=DC．

10

【答案】证明： ∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，∠ABC=∠DCB，

∴∠BCA=∠DBC。

在△ABC与△DCB中，∠ABC=∠DCB，BC=-CB，∠BCA=∠DBC， ∴△ABC≌△DCB（ASA）。∴AB=DC。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】结合题意，根据全等三角形SAS的判定定理，即可进行全等的判断，然后得出结论。 17. （广东省6分）已知：如图，E，F在AC上，AD//CB且AD=CB，∠D=∠B．

求证：AE=CF．

【答案】证：∵AD//CB，∴∠A=∠C。 又∵AD=CB，∠D=∠B．

∴△ADF≌△CBE（ASA）。 ∴AF =CE 。 ∴ AF＋FE =CE＋FE，即AE=CF。 【考点】全等三角形的判定和性质，等量变换。

【分析】要证AE=CF，只要AF =CE经过等量变换即可得。而要证AF =CE，只要证△ADF≌△CBE即可，△ADF≌△CBE由已知条件易证。

18.（广东广州9分）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF． 求证：△ACE≌△ACF．

【答案】证明：∵AC是菱形ABCD的对角线， ∴∠FAC＝∠EAC， ∵AC=AC，AE=AF， ∴△ACE≌△ACF（SAS）。 【考点】菱形的性质；全等三角形的判定。

【分析】根据菱形对角线的性质，可知一条对角线平分一组对角，即∠FAC＝∠EAC，再根据SAS即可证明△ACE≌△ACF。

19. （湖北武汉6分）如图，D，E，分 别 是 AB，AC 上 的 点 ，且AB=AC，AD=AE.求证∠B=∠C. 【答案】证明：在△ABE和△ACD中，

AB＝AC ∠A＝∠A AE＝AD，

B

C F E A D

11

∴△ABE≌△ACD（SAS） 。∴∠B=∠C。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】根据AB=AC，AD=AE，∠A为公共角，由SAS可得出△ABE≌△ACD，即可得出∠B=∠C。

20.（四川自贡10分） 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于点O，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F为垂足．设DC=m，AB=n． (1)求证：△ACB≌△BDA； (2)求四边形DEFC的周长．

【答案】解：(1)证明：∵AB∥CD，∠CDB=∠CAB， ∴∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA。

∴OA=OB，OC=OD，从而AC=BD。

在△ACB与△BDA中，∵AB=AB，∠CAB=∠DBA．AC=BD， ∴△ACB≌△BDA（SAS）。

(2)过点C作CG∥BD，交AB延长线于G， ∵DC∥AG．CG∥BD，

∴四边形DBGC为平行四边形。 ∵△ACB≌△BDA。

∴AD=BC．即梯形ABCD为等腰梯形。

∵AC=BD=CG，∴AC⊥BD，即AC⊥CG，又CF⊥AG。 ∴CF=

1AG。 21(m?n)。 2m?n)?3m?n。 2又AG=AB+BG=m?n，∴CF=

又四边形DEFC为矩形，故其周长为2(DC+CF)=2(m?【考点】平行的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质。

【分析】(1) 由已知得到AC=BD，∠CAB=∠DBA，从而SAS证得△ACB≌△BDA。 （2）过点C作CG∥BD，交AB延长线于G，由(1)的结论，求出CF的长即可。

12

21.（四川雅安9分）如图，在?ABCD中，E，F分别是BC，AD中点． （1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当BC=2AB=4，且△ABE的面积为3，求证：四边形AECF是菱形． 【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D。 ∵E，F分别是BC，AD中点，∴DF=∴△ABE≌△CDF（SAS）。 （2）证明：过A作AH⊥BC于H， ∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为3， ∴BE=AB=2，∴sinB=11DA，BE=CB。∴DF=BE。 221×EB×AH=3。∴AH=3。 23。∴∠B=60°。∴AB=BE=AE。 2∵E，F分别是BC，AD中点，∴AF=CE=AE。 ∵△ABE≌△CDF，∴CF=AE。

∴AE=CE=CF=AF。∴四边形AECF是菱形。

【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，菱形的判定

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，推出DF=BE，根据SAS即可得出答案。

（2）过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积求出AH，根据锐角三角函数求出∠B，得出等边三

角形AEB，推出AE=BE=AB，从而AF=CF=CE=AE得证。

22. （新疆乌鲁木齐8分）如入，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D。 求证：△BEC≌△CDA

【答案】证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，

∴∠BEC=∠CDA=90°。

在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°， 在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠CBE=∠ACD。

13

在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC， ∴△BEC≌△CDA（AAS）。

【考点】垂直的定义，直角三角形两锐角的关系，互为余角的定义，全等三角形的判定。

【分析】根据垂直的定义以及等量代换可知∠CBE=∠ACD，根据已知条件∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，根据全等三角形的判定AAS即可证明△DEC≌△CDA。

23. （陕西省6分）在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：△ADF≌△BAE．

【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=AB，∠1+∠2=90°。

又∵BE⊥AG，DF⊥AG，

∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°。 ∴∠2=∠3，∠1=∠4。 ∴△ADF≌△BAE（ASA）。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定。

【分析】根据正方形的性质，可以证得DA=AB，再根据同角的余角相等即可证得∠2=∠3，∠1=∠4，根据ASA即可证得两个三角形全等。

24.（福建福州8分）如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC=DC．求证：AB=ED．

【答案】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC=∠D=90°。

在△ABC和△EDC中，∵∠ABC=∠D ，BC=DC，∠ACB=∠ECD， ∴△ABC≌△EDC（ASA）。∴AB=ED。

【考点】全等三角形的判定和性质。

【分析】根据已知条件可判断出△ABC≌△EDC，根据全等三角形的性质即可得出AB=ED。

25.（福建泉州9分）如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF。

∵BE=CF，∴BC=EF。

∵∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）。

【考点】平行线的性质，全等三角形的判定。

14

【分析】根据平行线的性质可知由∠B=∠DEF．BE=CF，∠ACB=∠F，根据ASA定理可知△ABC≌△DEF。 26.（福建漳州8分）如图，∠B＝∠D，请在不增加辅助线的情况下，添 加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，并证明． （1）添加的条件是_ ▲ ； （2）证明：

【答案】解1：（1）添加的条件是：AB＝AD 。

（2）证明：在△ABC和△ADE中，

∵∠B＝∠D，AB＝AD，∠A＝∠A ∴△ABC≌△ADE（ASA）。

解2：（1）添加的条件是：AC＝AE 。

（2）证明：在△ABC和△ADE中，

∵∠B＝∠D，∠A＝∠A，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE（AAS）。

解3：（1）添加的条件是：BC＝DE。

（2）证明：在△ABC和△ADE中，∠B＝∠D，∠A＝∠A，BC＝DE。

∴△ABC≌△ADE（AAS）。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，由此可添加的条件有：①AB=AD，②BC=DE，③AC=AE。 27.（福建三明10分）如图，AC=AD，∠BAC=∠BAD，点E在AB上． （1）你能找出 对全等的三角形； （2）请写出一对全等三角形，并证明． 【答案】解：（1）3。

（2）△ABC≌△ABD。证明如下：

CAEDB（第18题）??AC＝AD

在△ABC和△ABD中，?∠BAC＝∠BAD，

? AB＝AB?

∴△ABC≌△ABD（SAS）。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】（1）△ABC≌△ABD（SAS），△BCE≌△BED（SAS），△ACE≌ADE（ASA），故有3对。

15

（2）直接由SAS可判定△ABC≌△ABD。

28.（福建宁德8分）

已知：如图，点E，C在线段BF上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． 求证：AC＝DF.

【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC。

∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF。 又∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（SAS）。∴AC＝DF。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由同位角相等的平行性质可得∠B＝∠DEC，由等量代换可得BC＝EF，从而由SAS可证△ABC≌△DEF，从而得证。

29.（重庆江津10分）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．

（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．

【答案】解：（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，

在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE=CF，AB=BC ， ∴Rt△ABE≌△Rt△CBF（HL）。

（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，

又∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°。 由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°。 ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质。

【分析】（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF。

（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由

Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案。 30.（海南10分）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ． （1）求证：△BDQ≌△ADP；

B

E

C

F

A D 16

（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=

1∠ABC，AD∥BC。 2∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°。 ∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°。 ∵AP=BQ，∴△BDQ≌△ADP（SAS）。

（2）过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E， ∵△BDQ≌△ADP，∴BQ=AP=2。 ∵AD∥BC，∴∠QBE=60°。 ∴QE=QB?sin60°=2×31?3，BE=QB?cos60°=2×=1。 22∵AB=AD=3，∴PB=AB﹣AP=3－2=1。∴PE=PB+BE=2。 ∴在Rt△PQE中，PQ=PE+QE?2?∴cos∠BPQ=

222?3?2?7。

PE22??7。 PQ77【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数。 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，可证得AD=AB，∠ABD=∠CBD=易得△ABD是等边三角形，然后由SAS即可证得△BDQ≌△ADP。

（2）首先构造直角三角形，过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得cos∠BPQ的值。

1∠ABC，AD∥BC，又由∠A=60°，2 17

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gns.html