权回归模型中最小二乘估计的相对效率
更新时间:2023-06-10 08:48:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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权回归模型中最小二乘估计的相对效率
导师 答辩人 专业
数学与应用数学
前言针对权回归模型中最小二乘估计的相对效率,本 文给出了两种效率:参数的最佳线性无偏估计与最小 二乘估计协方差行列式的比值、最佳线性无偏估计与 最小二乘估计的各分量方差之和的比值。并解决了参 数的下界问题。通过对两种效率的对比,选出了更为 优良的相对效率。本次ppt演示,通过提出问题、分析问题、解决 问题三部分,诠释了这篇论文。
一、提出问题本文题目为权回归模型中最小二乘估计的相对效 率,要解决这篇论文,我们从题目中提炼出几个问题: 权回归模型、最小二乘估计、相对效率。 要解决以上问题,我们还需要求证效率下界及两 种效率的关系。
二、分析问题
要解决一下问题,我们的一般步骤应该是: 首先、建立权回归模型,
其次、求出参数相对效率再次、求出两种效率的下界 最后、求出两种效率的关系
三、解决问题3.1 建立权回归模型考虑模型Q Q
0
cov 22
这里 为n 1 观测向量,X为n p 列满秩设计阵, 为 p 1未 知参数向量, 为 n 1 随机误差向量, 0为常数, 为 一正定矩阵, 记 Q diag ( q , q , , q ) q i 1, 2 , , n ,为常 数。显然, 当 Q I 时, 该模型即为一般Gauss-Markov模型。1 2 n
i
3.2 相对效率当已知时,权回归模型中 的最佳线性无偏估计(The Best Linear Unbiased Estimate,以下简称为BLU估计)为: Q 1 Q Q
1
Q Q
1
它的协方差阵为:cov
Q 2
1 Q Q
1
无论 是否已知, 的最小二乘估计(The Least Square Estimate,以下简称LS估计)为: Q Q 2 Q 2 1
其协方差阵为: cov
Q
Q 2 2
1
Q Q Q 2
1
如果n很大, 1 的计算非常复杂,或 未知, 此时人们 往往用LS估计代替BLU估计,根据Gauss-Markov定理,有 1 1 1 2 2 2 1 cov( ) cov( ),即 Q Q Q Q Q Q Q Q
因此,当用 代替 时,估计的精度就要蒙受一些 损失。为了度量这种损失的大小,一些作者研究了LS估 计相对于BLU估计的相对效率(以下简称效率),其中 较重要的一种是 与 的协方差阵的行列式之比,即 Q
Q
Q
Q
e0 ( Q )
cov( Q ) cov( Q )
但是 e ( ) 的一个明显缺点是它依赖于设计阵x的程度太 低。本文提出另一
种推广,考虑两种估计的各分量方差 之和的比值,即定义LS估计相对于BLU估计的效率为0 Q
e ( Q )
tr cov( Q ) tr cov( Q )
3.3 效率 e ( ) 的下界Q
定理: 记 特征根,则有1
n
0
和 e( ) Q
1
1
p
0
,分别是 和
x' x 的
i 1 i p 1 i 1 i
p
n p i
i
定理的证明需要下面的引理。 引理 :记 diag ( , , ) , U 的矩阵,若U满足 U 则1 p1
p
0
,
n n
0
,U为 n p
(1) (2)
U U
max tr (U ' AU ) i ( A ) ii 1
p
U U
min tr U U
1
p i 1 i 1 i 1
p
1
由引理及 UU ' ,得: e Q
2 tr Q
tr Q Q 1
1
Q Q Q 1 1 2
1
tr U U
tr U U
1
1 1
1
U U U U
min tr U U
1
1
max tr U U
1
1
U U
min tr U UU U
1
1
max tr U U
i 1
i n p ii 1
p
1
i
p
1 i
,则定理得证。
段清堂(《权回归模型中最小二乘估计的相对效率》) 老师给出了 e ( ) 的下界:0 Q
e0 Q
min( p , n p )
i 1
i n i 1
4 i n i 1
2
这个下界与设计阵X无关。而定理所得出的 e ( ) 的下界 除了含有 之外,还依赖于 的特征根 。Q
1
n
1
p
3.4 两种效率的关系 一个感兴趣的问题是两种效率 e ( ) 和 e ( ) 的关系。 关于这一点,我们有如下定理。Q0 Q
记
Q 2Q
1
Q Q Q 20
1
, Q 1Q 1 。
e 定理: ( 的特征根。
)
e (
)Q
,且等号成立当且仅当A、B有相同
证明:记 1 p 为A的特征根, u 征根。则 e( ) tr tr Q 1 1
1
u 为B的特p
p p
e ( 0
) Q
1 1
p p
对P进行归纳法,当P=1时,命题显然成立。对P=2时,e(
) Q
e ( 0
)Q
,即为:
(1)
1 1
2 2
1 1i
2 2
因 0, 0, ,所以, 则:
i
0
。所以(1)成立。
且等号成立,则1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2
2
01 1 2 2 2 2 1 1
1
, 1
2
2
假设命题对P成立,则
1 2
1 2
p 1 p 1
1 2
1 2
3 3
p 1 p 1
公式 (1 )
1 1
2 2
p 1 p 1
定理得证。 这个定理表明,一般来说,我们总有 e ( ) e ( ) 。 即本文定义的效率要高一些。我们认为 e ( ) 的值更能确 切的度量LS估计的优劣程度。Q 0 QQ
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