泰勒公式及其应用

目 录

摘要 ??????????????????????????????1 英文摘要 ????????????????????????????2 第一章 绪论??????????????????????????3 第二章 泰勒公式????????????????????????5 1.1泰勒公式的意义 ????????????????????????5 1.2泰勒公式余项的类型???????????????????????5 1.3泰勒公式 ???????????????????????????6

第三章 泰勒公式的实际应用 ??????????????????7 2.1利用泰勒公式求极限 ??????????????????????7 2.2利用泰勒公式进行近似计算 ???????????????????8 2.3在不等式证明中的应用 ?????????????????????9 2.4泰勒公式在外推上的应用 ????????????????????10 2.5求曲线的渐近线方程 ??????????????????????11 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用????????????13 2.7在广义积分敛散性中的应用 ???????????????????14 2.8泰勒公式在关于界的估计 ????????????????????15 2.9泰勒公式展开的唯一性问题???????????????????15 结束语??????????????????????????????16 致谢???????????????????????????????17 参考文献????????????????????????????18

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第一章 绪论

近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f，设它在点x0存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个n次多项式

f?(x0)f??(x0)f(n)(x0)2Tn(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n,

1!2!n!称为函数f在点x0处的泰勒多项式，若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)?Tn(x)??((x?x0)n),即

f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)??((x?x0)n).

2!n!称为泰勒公式.

众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证

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明等方面.

关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.

泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.

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第二章 泰勒公式

1.1泰勒公式的意义

泰勒公式的意义是，用一个n次多项式来逼近函数f.而多项式具有形式简单，易于计算等优点.

泰勒公式由f(x)的n次泰勒多项式Pn(x)和余项Rn(x)?o[(x?x0)n]组成，我们来详细讨论它们. 当n=1时，有

?P1(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)，

是y?f(x)的曲线在点(x0,f(x0))处的切线（方程），称为曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n=2时，有

P2(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)(x?x0)2， 2!是曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))的“二次切线”，也称曲线y?f(x)在点

(x0,f(x0))的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线

要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.

1.2泰勒公式余项的类型

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泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项o((x?x0)n)，仅表示余项是比(x?x0)n（当x?x0时）高阶的无穷小.如

x3x33sinx?x??o(x)，表示当x?0时，sinx用x?近似，误差（余项）

66是比x3高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项

1f(n?1)(?)(x?x0)n?1（?也可以写成x0??(x?x0)）、柯西余项（如在(n?1)!某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究. 1.3泰勒公式的定义

（1）带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式

如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有n阶导数, 则对此邻域内的点x,有

f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)??((x?x0)n).

2!n!当x0?0时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin)公式.即

f??(0)2f(n)(0)nf(n?1)(?0)n?1f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x?x(0???1)

2!n!(n?1)!

（2）带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式

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故?4f(x)dx收敛，从而?4(x?3?x?3?2x)dx. 2.9泰勒公式关于界的估计

我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上节，而有的有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计.

例1 设f(x)在[0,1]上有二阶导数，0?x?1时f(x)?1，f??(x)?2.试证：当0?x?1时，f?(x)?3.

证： f(1)?f(x)?f?(x)(1?x)?f??(?)(1?x)2

f(0)?f(x)?f?(x)(?x)?1f??(?)(?x)2 212????所以

11f??(?)(1?x)2?f??(?)x2 2211 f?(x)?f(1)?f(0)?f??(?)(1?x)2?f??(?)x2

22f(1)?f(0)?f?(x)??2?(1?x)2?x2?2?1?3

2.10泰勒公式展开的唯一性问题

泰勒公式的展开式有多种，常见的如带有佩亚诺型余项的泰勒展开式，带有拉格朗日型余项的泰勒展开式，而最为常用的是麦克劳林展开式，它是当x0?0时的特殊的泰勒公式展开式，现在我们来探讨泰勒公式展开式的唯一性.

例1 设f(x)是连续的n阶导数，f(x)在x?x0处有展开式：

f(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n?Rn(x) （1）

且余项Rn(x)满足

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xlim?xRn(x)?0 （2） n0(x?x)0f(k)(x0)(k?1,2,?,n) （3） 则必有 ak?k!其中f(0)(x)?f(x).

证： 根据泰勒公式，f(x)在x?x0处可以展开成

f(x)??i?0nf(i)(x0)(x?x0)i?o((x?x0)n) （4） i!让（1）式与（4）式联立可得

?a(x?x)i0i?0ni?Rn(x)??i?0nf(i)(x0)(x?x0)i?o((x?x0)n) i!此式令x?x0取极限，得a0?f(x0).两边消去首项，再同时除以(x?x0)，然后令x?x0取极限，又得a1?f?(x0).继续这样下去则顺次可得式（3）. 注1 该例具有重要理论意义，它表明：不论用何种途径、何种方式得

到形如（1）式的展开式，只要余项满足条件（2）式，则此展开式的系数必是唯一确定的，它们是（3）式给出的泰勒系数. 注2 该结论x0?0的情况自然也成立.由此可知，对于任何多项式

P(x)?a0?a1x???anxn而言，必有

P(k)(x0)ak?(k?0,1,2,?,n)且P(0)(x)?P(x).

k!结束语

文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有

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很重要的地位.

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致 谢

此文得以完成，凝聚了许许多多老师、同事、朋友，亲人的心血和关爱！在

我即将完成学业之际，谨向四年来给与我无私帮助、支持，关心和呵护过我的所

有老师、同事、朋友、亲人致以最诚挚的谢意！

感谢河南城建学院的李华老师，李老师作为我的论文指导老师在本文的撰写过程中给予我大量的指导和帮助，花费了很多心血.尤其是在课题设计、研究方法、论文撰写等各个环节给予我的指导和帮助.

还衷心感谢徐刚老师、兰奇逊老师、刘常胜老师、屈鹏展教授等老师四年来在学业上对我的辛勤培养、指导以及学习上给予的诸多帮助和支持.老师们严谨的学习与工作态度使我受益匪浅，也将是我一生的表率.在此也感谢指导老师对我的指导和关心.相信在以后的学习和实践中我们会更加努力，使泰勒公式在各个领域得到更充分的利用.谢谢！

衷心感谢我的亲人在我四年的大学生涯中给予我的理解、支持和无私援助，是你们的鼓励让我完成了学业.在此也感谢指导老师对我的指导和关心.

再一次感谢所有关心、支持和帮助过我的老师、同学、朋友和亲人们.

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参 考 文 献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高教出版社 2001 [2] 裴礼文编. 数学分析中的典型问题[M]. 北京:高教出版社 1993 [3]陈纪修；於崇华；金路.数学分析第二版上册[M].高等教育出版社，2004

[4]孙清华；孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].华中科技大学出版社，2003

[5]朱永生; 刘莉.基于泰勒公式应用的几个问题[J].长春师范学院学报, 2006(08):4-25

[6]王三宝.泰勒公式的应用例举[J].高等函授学报(自然科学版) , 2005(03)：3-19

[7]冯平; 石永廷. 泰勒公式在求解高等数学问题中的应用[J]. 新疆职业大学学报, 2003(04):4-11

[8]唐清干. 泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用[J]. 桂林电子工业学院学报,2002(02) :3-22

[9]严振祥；沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用[J]. 重庆交通大学学报(自然科学版)，2007（8）：4-26

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