泰勒公式及泰勒级数的应用

摘 要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。

本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。

关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用

目录

目 录

1 引 言 ················································································································································ 3 2 预备知识········································································································································· 4

2.1 泰勒公式 ······················································································································· 4 2.2 泰勒级数和泰勒展开式 ···················································································· 4 2.3 常见函数的展开式 ································································································ 6

3 泰勒公式与泰勒级数的应用······················································································· 7

3.1 用泰勒公式进行近似计算 ·············································································· 7 3.2 利用泰勒公式进行极限计算 ········································································ 7 3.3 求函数的极值和不等式的证明 ·································································· 8 3.4 判断或证明级数的敛散性 ·············································································· 9 3.5 用泰勒公式求行列式的值 ·············································································· 9 3.6 泰勒公式在经济学中的应用 ····································································· 10 3.7 用泰勒级数解微分方程 ················································································· 11

4 结 论 ············································································································································ 14 参考文献 ·········································································································································· 15

致 谢 ················································································································································· 14

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1引 言

泰勒公式是高等数学中非常重要的内容，它将一些复杂的函数近似表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的方法，使它成为分析和研究其他数学的有力杠杆，并且在经济学上有一定的应用。泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了解决。

泰勒级数使得幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。而实际应用中，我们需要把泰勒级数截断，只取有限项，泰勒定理可以用于估算这种近似的误差。

泰勒公式中含有有限多项, 泰勒级数中含有无限多项, 泰勒公式不是泰勒级数, 泰勒级数也不是泰勒公式。当f(x)的各阶导数都存在时，f(x)的泰勒级数在收敛情况下一定等于f(x)；但不论f(x)的泰勒级数是否收敛,只要f(x)有n?1 阶导数, 就有泰勒公式成立。可见泰勒级数收敛时,与泰勒公式结果一致,都是f(x)。

泰勒公式在理论研究和数值计算中具有广泛的应用, 泰勒级数是函数项级数的特例, 泰勒公式和泰勒级数在解决实际问题中有某些的相似性, 但是它们引入不同, 因此还是有一定的差异性。泰勒公式是通过重复运用柯西中值定理得来的, 过程比较复杂；泰勒级数属于函数项级数中的幂级数。千万不要把泰勒公式和泰勒级数混为一谈。

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2 预备知识

2.1 泰勒公式

2.1.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)?Tn(x)??((x?x0)n)，即

f''(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?2!'f(n)(x0)?(x?x0)n??((x?x0)n)n!nx?((x?x))的余项称为佩亚诺型余项，所以f00称为函数在处的泰勒公式。形如

该式有称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。

当x0?0时, 上式称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林公式。即

f??(0)2?f(x)?f(0)?f(0)x?x?2!f'(0)f''(0)2x?f(x)=f(0)?x?

1!2!f(n)(0)nf(n?1)(?)n?1?x?x(0???1)

n!(n?1)!f(n)(0)nx?o(xn) ?n!2.1.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式

泰勒定理：若函数f在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数，在(a,b)上存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的x，x0?[a,b]，至少存在一点??(a,b)，使

f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??1''12nf?x0??x?x0??????f?n??x0??x?x0??Rn?x?2!n!f(n?1)(?)其中Rn(x)?（ ??x0??(x?x0) (0???1)）称为拉格朗日(x?x0)(n?1)

(n?1)!型余项。所以上式有称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。

当x0?0时, 上式称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林公式.即

f??(0)2f(x)?f(0)?f?(0)x?x?2!f(n)(0)nf(n?1)(?x)n?1?x?x(0???1)

n!(n?1)!2.2 泰勒级数和泰勒展开式

2.2.1 泰勒级数

在前面的泰勒定理中曾指出，若函数f在点x0的某邻域上存在直至n+1阶的连续导数，则

f''(x)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?2!'fn(x0)?(x?x0)n?Rn(x) (1)

n! 3

这里Rn(x)为拉格朗日型余项

f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1

(n?1)!其中?在x与x0之间，称(1)为f在x0处的泰勒公式。

如果在(1)中抹去余项Rn(x)，那么在点x0附近f可用(1)式右边的多项式来近似代替，如果函数f在x0处存在任意阶的导数，这时称级数

f''(x)f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?2!'fn(x0)?(x?x0)n?n!

为函数f在x0处的泰勒级数。

定理（充要条件）设f在点x0具有任意阶导数，那么f在区间（x0?r,x0?r）上等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对于一切满足不等式|x?x0|?r的

x，有

limRn(x)?0

n??这里Rn(x)是f在x0处的泰勒公式余项。 2.2.2 泰勒展开式

若在点x0的某邻域内函数f(x)的Taylor级数（Taylor公式仅有有限项时）用多项式逼近函数。项数无限增多时，得

f??(x0)f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)2?2! ?f(n)(x0)??(x?x0)nn!n?0f(n)(x0)?(x?x0)n?n!

称此级数为函数f(x)在点x0的Taylor级数.只要函数f(x)在点x0无限次可导，就可写出其Taylor级数。 称x0=0时的Taylor级数为麦克劳林级数， 即级数

?n?0?f(n)(0)n 则称函数f(x)在点x0可展开成Taylor级数（自x收敛且和恰为f(x)，n!然要附带展开区间），称此时的Taylor级数为函数f(x)在点x0的Taylor展开式或幂级数展开式。简称函数f(x)在点x0可展为幂级数。 当x0=0 时，称Taylor展开式为麦克劳林展开式。 2.2.3 可展条件

定理(必要条件) 若函数f(x)在点x0可展，则必有f(x)在点x0有任意阶导数。

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定理(充要条件) 设函数f(x)在点x0有任意阶导数, 则f(x)在区间

(x0?r , x0?r ) ( r?0 )内等于其Taylor级数(即可展)的充要条件是：对?x?U(x0 , r)，有limRn(x)?0. 其中Rn(x)是Taylor公式中的余项。

n??定理(充分条件) 设函数f(x)在点x0有任意阶导数，且导函数所成函数列

{f(n)(x)}一致有界，则函数f(x)可展。

2.3 常见函数的展开式

ex?1?11x?x2?1!2!?1nx?n!n?1

x3x5sinx?x???3!5!x2x4cosx?1???2!4!?(?1)x2n?1?(2n?1)!

xn?n

x2n?(?1)?(2n)!nx2x3x4ln(1?x)?x????234(1?x)m?1?mx?

?(?1)

n?1

m(m?1)2x?2! 5

3 泰勒公式与泰勒级数的应用

3.1 用泰勒公式进行近似计算

一元函数的泰勒公式可以按任意给定的精度要求来近似表达这个函数。由拉格朗日型余项Rn?x??f?n?1?????n?1?!?x?x0?n?1n?1，如果f???x??M， M为一定数，则

其余项不会超过差。

Mn?1由此可以精确地计算某些数值并估计它们的误x?x0。

?n?1?!例 3.1 求ln1.2的近似值，使误差不超过0.0001。

解：设f?x??ln?1?x?，将其在x0=0处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式

nx2x3n?1xln?1?x??x?????????1??Rn?x?,

23n?1?xn?1?其中Rn?x?? (?在0和x之间)，令x?0.2，则0???0.2. n?1?n?1??1???n要使

?0.2?n?1Rn?x???0.2?0.0001,则取n?5 即可. ??n?1?n?1??1???此时

ln1.2≈0.2?0.02 +0.00267?0.00040 +0.00006=0.1823，

n?1其误差R5?0.0001.

3.2 利用泰勒公式进行极限计算

为了简化极限运算，有时可以用某项的泰勒展开式代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷地求出。

例3.2 求极限limcosx?ex?0x4x22.

2x0分析：此为型极限，若用罗比达法则很麻烦，这时可将cosx和e2分别用

0其泰勒展开式代替，则可以简化此比式。

解：由

xx2x44?0?x?e2cosx?1??2!4!2x22()x2?1??2?0?x4?

22 6

得

cosx?e于是

?x221?414?14???2x?ox??x?o(x4) ???12?4!2?2!?14x?o?x4?112 ??x412limcosx?ex?0x4x22?=limx?0由泰勒公式计算的实质是用等价无穷小来计算极限，我们知道，当x?0时，

sinx?x,tanx?x等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次

项，有些问题用泰勒公式和我们所熟悉的等价无穷小结合，问题又能进一步简化。

3.3 求函数的极值和不等式的证明

(1)求极值

例3.3 设f在x0的某邻域U(x0;?)内一阶可导,在x?x0处二阶可导,且

f'(x0)?0,f''(x0)?0.

(i)若f''(x0)?0,则f在x0取得极大值. (ii) 若f''(x0)?0,则f在x0取得极小值.

证明： 由条件，可得f在x0处的二阶泰勒公式

f'(x0)f''(x0)f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)2?o((x?x0)2).

1!2!由于f'(x0)?0,因此

f''(x0)f(x)?f(x0)?[?o(1)](x?x0)2 (2)

2又因f''(x0)?0,故存在正数?'??,当x?U(x0;?')时,

1''f(x0)与21''f(x0)?o(1)同号.所以,当f''(x0)?0时,(2)式取负值,从而对任意x?U(x0;?')2有

f(x)?f(x0)?0

即f在x0取得极大值. 同样对f''(x0)?0,可得f在x0取得极小值。 （2）不等式的证明

关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法。 下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法。

例3.4 设f(x)在[0,1]二次可导，而且f(0)?f(1)?0，limf(x)??1，试求

x?1 7

存在??(0,1)，使f??(?)?8.

证： 由于f(x)在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在

x1，使f(x1)??1，由费马定理知，f?(x1)?0 又

f(x)?f(x1)?f?(x1)(x?x1)?f??(?)(x?x1)2 2! ??1?f??(?)(x?x1)2（?介于x与x1之间） 2!由于f(0)?f(1)?0，令x?0和x?1 有

0?f(0)??1?f??(?1)f??(?2)(0?x1)2,0?f(1)??1?(1?x1)2 22所以

f??(?1)?2x1?2(0??1?x1)，f??(?2)?2(1?x1)?2(x1??2?1)

11当1?x1?时，2x1?2?8，而当?x1?1时，2(1?x1)?2?8，可见f??(?1)与f??(?2)22中必有一个大于或等于8.

3.4 判断或证明级数的敛散性

当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则。

例3.5 讨论级数?(n?1?1n?1?ln)的敛散性.

nn分析：直接根据通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因

1n?11?ln(1?)，而也就无法恰当选择判敛方法,注意到ln若将其泰勒展开为的

nnn幂的形式,开二次方后恰与解：因为

lnn?111111?ln(1?)??2?3?4?nnn2n3n4n?1 n1相呼应，会使判敛容易进行。 n所以

ln所以

11 ?n?1n 8

un?1n?1?ln?0

nn故该级数是正项级数. 又因为

lnn?111111111111??2?3?o(3)??2?3?(?3)??3 nn2n3nnnn4nnn2n22n2所以

1n?11111?ln??(?3)?3

nnnn2n22n2un?又因为?n?1?12n32收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛。

1?lnn. n1例3.6 证明数列{an}收敛，其中an?1??21n?ln证明 因为an?1?an? n?1n?111?ln(1?), ?n?1n?1?又因为n(1?1111)?????() 22n?1n?12(n?1)(n?1)?11?22a?annnn?1nn?1故当充分大时是正的，且与是同阶无穷小.又因级数收

敛，所以级数n?1?(a?n?1?an)也收敛，从而数列{an}收敛。

3.5 用泰勒公式求行列式的值

若一个行列式可看作x的函数（一般是x的n次多项式），记作f(x)，按泰勒公式在某处x0展开，用这一方法可求得一些行列式的值。

例3.7 求n阶行列式

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