关于泰勒公式的应用初探

摘要 ................................................................................................................................................. 1 Abstract ........................................................................................................................................... 1 1.前言 .............................................................................................................................................. 1 2.预备知识 ...................................................................................................................................... 2

2.1带有Peano型余项的泰勒公式 ........................................................................................ 2 2.2带有Lagrange型余项的泰勒公式 ................................................................................... 3 2.3函数的泰勒公式(或Maclaurin公式)展开 ....................................................................... 4 2.4常见的Maclaurin公式 ..................................................................................................... 5 3.泰勒（Taylor）公式的应用 ....................................................................................................... 6

3.1定义某些非初等函数 ........................................................................................................ 6 3.2利用泰勒公式求极限 ........................................................................................................ 6 3.3利用泰勒公式求高阶导数 ................................................................................................ 7 3.4泰勒公式在不等式（等式）证明中的应用 .................................................................... 8 3.5利用泰勒公式近似计算和误差估计 ................................................................................ 9 3.6带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用 ...................................................... 10

3.6.1定理及其证明 ........................................................................................................ 10 3.6.2定理的应用 ............................................................................................................ 11 3.7泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用 .......................................................................... 12 3.8泰勒公式巧解行列式 ...................................................................................................... 12 3.9利用泰勒公式求某些微分方程的解 .............................................................................. 14 4.总结 ............................................................................................................................................ 15 谢辞 ............................................................................................................................................... 16 参考文献 ....................................................................................................................................... 17

关于泰勒（Taylor）公式的应用初探

关于泰勒（Taylor）公式的应用初探

韩 凯

（咸阳师范学院数信学院 陕西 咸阳 712000）

摘要：泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,集中体现了微积分“逼近法”的

精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用。本文主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限、近似值和导数，证明定积分，计算定积分以及判定级数收敛和求解行列式方面的应用及技巧。通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果。

关键词：泰勒公式；定积分；级数收敛；行列式。

The initial exploration of application on Taylor formula

Han Kai

(Department of mathematics of Xian yang normal university Xian yang Shaanxi 712000)

Abstract: Taylor Formula is a very important content of mathematics analysis, it

can focally embody the soul of “approximation” of calculus, and is extensively applied in most aspects of calculus. By using some examples about it, the present paper elucidates its applications and skills in some aspects, such as limitation, approximation differential coefficient, proof of inequality determinant of series convergence and determinant solving. Through studying the skills above, this paper aims to form special thoughts in special situations, and enable us to solve the problem more efficiently.

Key words: Taylor Formula, Definite Integral, Series convergence, Determinant.

1.前言

18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内陈述了他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，

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因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数，同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了希望并且很多都成了现实，所以我们有必要很好的掌握这一公式。

2.预备知识

2.1带有Peano型余项的泰勒公式

皮亚诺型余项泰勒公式[1]，是各种形式泰勒公式中，所需要条件较少、形式简单，在处理某些定性问题时极为简便的泰勒公式。

定理 设函数f?x? 在点xo处具有n阶导数，则有

f''(xo)fn(xo)n2f(x)?f(xo)?f(xo)'(x?xo)?(x?xo)?????(x?xo)n?0??x?xo?? (1)

??2!n!f''(xo)fn(xo)2(x?xo)?????(x?xo)n 证明：记P(x)?f(xo)?f'(xo)(x?xo)?2!n!R(x)?f(x)?P(x)

显然R?x?在xo处n阶可导，从而在xo的邻域内n?1阶可导，且有 R(xo)?R'(xo)?R''(xo)?????R(n)(xo)?0

由于R(n?1)(x)在点xo处连续，所以limR(k)(x)?0 k?0,1,???,n?1

x?xo为证（1）必须且只需证明limx?xoR(x)?0。 n(x?xo)0有前面分析知该极限为未定式，连续运用n?1次洛必达法则得

0R'(x)R(n?1)(x)lim=lim x?xo(x?x)n?1x?xon!(x?x)oo注意到R(n?1)(xo)?0，由导数定义得

R(n?1)(x)?R(n?1)(xo)R(n?1)(x)lim? lim?R(n)(xo)?0 x?xox?xox?xox?xo2

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因此lim

x?xoR(x)?0，定理得证。 n(x?xo)注 10该定理说明当x?xo时用泰勒公式P(x)近似代替f(x)时，其误差R(x)是比

(x?xo)n高阶的无穷小。其中R(x)=o[(x?xo)n]叫做皮亚诺型余项。

20与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比，该定理对f(x)的假设条件较少，只

需在点xo处n阶可导，不需n?1阶导数存在，也不需在xo的邻域内存在n阶（连续）导数，因此应用范围较广。

2.2带有Lagrange型余项的泰勒公式

定理 若函数f(x)在?a,b?上存在连续n?1阶导数，则?x??a,b?，泰勒公式

f'(a)f''(a)fn(a)n2f(x)?f(a)?(x?a)??????x?a???x?a??Rn(x)（1）

1!2!n!其中

fn?1(?)n?1 Rn(x)??x?a?,???a,x?

(n?1)!称为拉格朗日余项[2]。 证明：?x??a,b?，有

?f'(a)f''(a)fn(a)n?2Rn(x)?f(x)??f(a)?(x?a)??????x?a???x?a??

1!2!n!??显然有Rn(a)=0，???，Rn(n)(a)=0，Rn(n?1)(x)= f(n?1)(x)。

若令?n(x)?(x?a)(n?1)，则有?n(a) ?0,???,?n(n?1)(a)?0 ,?n(n?1)(x)?(n?1)! 在区间?a,x?,x≤b上连续应用柯西中值定理n?1次，有

Rn(x)Rn(x)?Rn(a)R'n(?1)R'n(?1)?R'n(a)R''n(?2)= ??? ?????n(x)?n(x)??n(a)?'n(?1)?'n(?1)??'n(a)?''n(?2)?R??n(?n)?R??n(a)nn??n?n(?n)???n?n(a)??R?n?1?nn(?)(?)?n?1?

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f'(?1)??f(c)?f'(c)?x?c??a?c?2?0，这里?1??a,b?，故存在一点?1??a,b?，使(f'')?01?

2（2） 当f'(c)?0时，在（1）中取x?b，得：

f''??2?2 f(b)?f(c)?f'(c)?b?c???b?c?

2!其中?2在b与c之间,即c??2?b

因为f(b)?0，f(c)?0（已知），f'?c??0（假设），c?b由（3）式可得，

f''(?2)?0??f(c)?f'(c)?b?c??0,

?b?c?22因为?2??c,b?，而?c,b???a,b?，所以?2??c,b?，故存在一点?2??c,b?，使

'u)?0，。综上所述，无论f'?c?为正还是为负，至少存在一点u??a,b?，使f(f''(?1)?0证毕。

3.5利用泰勒公式近似计算和误差估计

根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数时所产生的误差。由拉格朗日型余项Rn?x??f?n?1?????n?1?!?x?x0?n?1n?1，如果f???x??M , M为

一定数，则其余项不会超过的误差。

Mn?1x?x0。由此可以近似地计算某些数值并估计它们

?n?1?!例：求ln1.2的近似值，使误差不超过0.0001。

解： 设f?x??ln?1?x?，将其在x0= 0处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式

nx2x3n?1xln?1?x??x?????????1??Rn?x?

23n?1?xn?1?其中Rn?x?? ( ξn?1?n?1??1???n 在0 和x 之间)，令x?0.2 ，则0???0.2。要使

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?0.2?n?1Rn?x???0.2?0.0001 ??n?1?n?1??1???则取n?5 即可。此时ln1.2 ≈ 0.2 ? 0.02 + 0.00267 ? 0.00040 + 0.00006 = 0.1823 其误差R5?0.0001。

n?13.6带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用

3.6.1定理及其证明

泰勒定理：若函数f?x?在点x0的邻域U?x?内有连续的n?1阶导数，则?x?U?x?，

00有f?x??f?x0??f'?x0??x?x0??其中Rn?x??1''12nf?x0??x?x0??????f?n??x0??x?x0??Rn?x? 2!n!1x?n?1?n[8]ftx?tdt 称为积分型余项. ?????x0n!为了证明上述定理，我们先证明下面的引理.

引理：若函数U?x?，V?x?在闭区间?a,b?上存在连续的n?1 阶导数，则有

?baU?x?V??n?1?n?1?nn?1U?x?V???x??U'?x?V???x????????1??x?dx???nU?n?|b??x?V?x???a??1??baU?n?1??x?V?x?dx ?n?1,2,3??,?? ?1?

证明：10.若n?1，则有

?U?x?V?x?dx??U?x?dV?x??U?x?V?x?|??U?x?V?x?dx''''aaba''a''b''?U?x?V'?x?|b?UxVx|?U????aa??x?V?x?dx，结论成立。

abbbb20.设当n?k时结论成立，即有

?k?1??U?x?V?k??x??U'?x?V?k?1??x????????1?xVxdx??????a?bkU?k?|b?x?V?x???a???1?k?1?baU?k?1??x?V?x?dx。

30.则当n?k?1时，有

?U?x?Vab?k?2??x?dx??aU?x?Vb?k?1??x??U?x?V?x?|??aU?x?Vk?1bab'?k?1??x?dx

?U?x?V?k?1??x?|ba??U'?x?V?k??x??U''?x?V?k?1??x??????1?kU?k??x?V?x?|b???1?k?1bU?k?2??x?V?x?dx?a?a??????10

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k?2k?2?U?x?V?k?1??x??U'?x?V?k??x????????1?k?1U?k?1??x?V?x??|b???1??U???x?V?x?dx a??ab由10，20，30可知，对所有的自然数n，?1?式成立。

下面我们用引理来证明泰勒定理。

证明：设U?t???x?t?，V?t??f?t?则由引理有

n?x?x?t?0xnf?n?1??t?dt???x?t?nf?n??t??n?x?t?n?1f?n?1??t??n?n?1??x?t?n?2f?n?2??t??????n?n?1????3?2??x?t?nf'?t??|x??x???1?n?1?nxx00?f?t?dt?n?1??x?x0?f?n??x0??n?x?x0?f?n?1??x0??????n?n?1????3?2?x?x0?f?'??x0??n!f?x??n!f?x0?从而有：

f''(xo)fn(xo)1x2f(x)?f(xo)?f(xo)(x?xo)?(x?xo)?????(x?xo)n??f?n?1??t?(x?t)ndt2!n!n!x0'泰勒公式亦可以改写为

?xx0f?n?1??f?n?(xo)1?'n(x?xo)? ?t?(x?t)dt??f?x??f?x0??f(xo)(x?xo)?????n!?n!?n3.6.2定理的应用

例1：计算?e?1?x?dx ?n?N??

x01n解：设f?x??ex，则f?n?1??x??ex，由公式有

10n?11??100?e1?xdx?n!e?e?e?1?????e?1?n!e?2???????????? ?0n!2!n!????1xn例2 计算?xm?1?x?dx

01n?xm?n?1?m!?m解：?x?1?x?dx????00m?n?1??1n1?n?1??1?x?n??m!n!m!dx?n!?? ???m?n?1?!??m?n?1?!例3 计算?baxb?x?n?2?1ndx，?n?N?? ?0?a?b?

n?11??1??n?1?!

解：设f?x??，则f?n?1??x??xxn?211

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??1??1???a?n?1?!??x?bn?1?n?1??b?x?ndx

n?111??1??12n??n!???2?b?a??3?b?a??????n?1?b?a?? n?1aa??1??n?1?!???baa?1?b?n?1?1???1??a????n?1bn?1

3.7泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用

定理1 若un?0,vn?0且un～vn?n??? ,则?un与?vn 同敛散性。

n?1n?1??定理2 若?un条件收敛,而?vn绝对收敛,则??un?vn?条件收敛。

n??n??n??利用上述两个定理[4]和泰勒公式可以很方便地讨论一些复杂级数的敛散性。

???1?n?例 :判别?ln?1?p? ，?p?0? 的敛散性。 ?n?n????此题难度很大,用其他方法几乎无法讨论其敛散性,若用泰勒公式作工具则能轻而易举地得出结论。

x21解:由泰勒公式得ln?1?x?的一阶展开式ln?1?x??x?,?在0与x之间,从

2?1???2n???1?n???1?n?1??1而ln?1?p??p?2p，?n在0 与p之间,于是 2??nnn2n?1??n??????1?n?????1?n?1ln?1?p????p?2p ?2???n?n?2?2n?1??n??n?2?n???因为?n?2???1?npn当0?p?1时条件收敛,当p?1时绝对收敛,又由0?12n2p?1??n?2~1n???知, 2p?2n?????1?n?111当p? 时，?2p收敛,当0?p?时发散。所以?ln?1?p?，当2?22n?n?2n?22n?1??n???110?p?时发散，当?p?1时条件收敛,当p?1 时绝对收敛。

223.8泰勒公式巧解行列式

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利用泰勒公式计算行列式的主要思路[9]:根据所求行列式的特点, 构造相应的行列式函数, 再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开, 只要求出行列式函数的各阶导数值即可。

下面通过一个例子来具体说明求解过程。 例: 求n 阶行列式的值:

acDn?cbacbba?????????bbb

???????????????ccc???a (注: 本例可利用代数知识中的递推法、数学归纳法求解; 这里介绍利用泰勒公式计算, 起到一定的简化作用。)

xbb???bcxb???b解: 把行列式Dn看作x 的函数,记Dn?x??ccx???b,

???????????????ccc???x则Dn=Dn?a?.将Dn?x?在x?b 按泰勒公式展开:

D'n?b?D''n?b?D??n?b?2nDn?x??Dn?b???x?b???x?b???????x?b?

1!2!n!nbc这里Dn?x??cbbcbbb?????????bb00b?c???0000?????????000?b?b?c?n?1bbb?c???c，下面求行列式

???????????????ccc???b?????????0???b?c函数Dn (x) 的各阶导数:

100???0xbb???bxbb???bcxb???b010???0cxb???b'Dn?x?????????nDn?1?x?

?????????????????????????????????????????????ccc???xccc???x000???1类似地:

D''n?x??nD'n?1?x?

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??????

D?n?n?x??nDn?1n?1?x? 递推关系还可推出:

D'n?1?x???n?1?Dn?2?x? ??????

D'2?x??2D1?x?

D'1?x??1 (因D1?x??x) 则

D'n?b??nDn?1?b??nb?b?c?n?2

n?3D''n?b??nD'n?1?b??n?n?1?Dn?2?b??n?n?1?b?b?c?

n?4D'''n?b??nD''n?1?b??n?n?1?D'n?2?b??n?n?1??n?2?b?b?c?

??????

D?n?1?n?b??n?n?1????2D1?b??n?n?1????2b D?n?n?b??n!

代入Dn?x? 在x?b 的泰勒展开式

Dn?x??b?b?c?n?1nb?b?c??1!n?2n?n?1?b?b?c??x?b??2!n?3?x?b?2?????n?n?1????2bn?1?x?b???x?b??n?1?!若b?c 则

Dn?x??0?0?????0?nb?x?b?n?1??x?b???x?b?nn?1??x??n?1?b??

若b?c 则

Dn?x??n?n?1?b?ncnn?1nn?2n?2n?nb?c?b?cx?b?b?c?b?cx?b?????x?b?x?b??????????????????b?c?1!2!?b?cn?bcnb?c?x?b?x?b?????????b?cb?c?b?x?c??c?x?b? ?b?cnn令x?a 得

Dn??a?b?n?1??a??n?1?b?? 当b?c时

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b?a?c??c?a?b? 当b?c时 Dn?b?c结论: 只要行列式函数的各阶导数较易计算, 则应用泰勒公式计算行列式就便利。

nn3.9利用泰勒公式求某些微分方程的解

微分方程的解可能是初等函数或非初等函数，如微分方程

y''?r(x)y'?s(x)y?0 (1)

的求解问题便是如此，因而解这类方程我们可以设想其解y?x?可以表示成泰勒级数的形式，进一步，我们可以大胆设想可以表示成为更为一般的幂级数形式，从而得出了解这类方程的一个重要方法。事实上，若r?x?,s?x?在某点xo的邻域D:x?x0?R内，可以展开关于(x?x0)的泰勒级数（或幂级数），则方程（1）的解在xo的邻域D内也能展开成关于(x?x0)的泰勒级数（或幂级数），即y?x???n?0an?x?x0?。

例：解微分方程y''?xy'?y?0

解：显然r?x??x,s?x??1，可在x0?0的邻域内展开成泰勒级数，故原方程有形如

y?x???n?0anxn (2)

??n的幂级数解。

将（2）及其导数带入原方程得：?n?2n?n?1?anxn?1?x?n?1nanxn?1??n?0anxn?0 即：?2a2?a0???n?3[n?n?1?an??n?1?an?2]xn?2?0，令x的同次幂系数为零，得

????2a2?a0?0，3*2a3?a1?0，???，n?n?1?an??n?1?an?2?0(n?4)

从而a2??a0aa,a3??1,???,an??n?2。既有 23nn??1?1a2n?(?1)nna0,a2n?1?a1?n?1?

2*n!1*3????2n?1??1??1?x2??x2n?1，即 所以其通解为y?x??a0?n?0????a1?n?0n!?2?1*3????2n?1??nny?x??a0e?x22??1??a1?n?0x2n?1。 1*3????2n?1??n15

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4.总结

本文是在阅读大量有关泰勒公式的资料后作出的初步整理，这篇文章主要通过用比较大的篇幅和例子较系统的介绍了泰勒公式的由来、发展经过的有关知识。泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分的各个方面都有重要的应用。 本文主要采用举例分析的方法，阐述了泰勒公式在求极限, 近似值和导数，证明定积分，计算定积分以及判定级数收敛和求解行列式等方面的应用及技巧。通过以上几个方面的研究，使我们在特殊的情况形成特定的思想，使解题能够起到事半功倍的效果。只有了解了这些知识，在此基础上不断加强训练、不断进行总结，才能牢固掌握，才能善于熟练运用。这样的学习可使学习者养成良好的数学思维习惯，灵活的从不同角度寻找解题途径，形成独特的解题技巧，在数学研究中取得可喜成绩。

谢 辞

通过几个月的准备, 从收集、整理到写作，通过阅读大量天线方面的书籍和资料,通过指导老师张老师一次次耐心的引导与指点，今天终于可以顺利的完成论文的最后的谢辞了。回想大学期间的点点滴滴真是让人难以忘怀，感慨万分。大学四年的不懈努力让我数学有了更深一步的认识与了解。感谢大学期间所有传授我知识的老师，是她们的细心教导使我有了良好的专业课知识，这是我完成论文的基础。在此，特别向张力娜老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢她在我撰写论文的过程中给予我极大地帮助。张老师严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；她那循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。在此次论文的写作过程，我收获了很多，既为大学四年划上了一个完美的句号，也为将来的人生之路做好了一个很好的铺垫。最后感谢在大学期间给我帮助和鼓励的老师，同学和朋友，谢谢你们，有你们的支持，在以后的人生道路上我将更加自信的走好每一步。

参考文献

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关于泰勒（Taylor）公式的应用初探

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