泰勒公式的应用 毕业论文

目 录

内容摘要： ............................ 1 关键词： .............................. 1 1.引言 ............................... 1 2.泰勒公式 ............................ 1

2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式 ............................................................ 1 2.2带有柯西型余项的泰勒公式 ................................................................ 2 2.3带有积分型余项的泰勒公式 ................................................................ 2 2.4带有皮亚诺型余项的泰勒公式 ............................................................ 3

3．泰勒公式的应用 ..................... 3

3.1利用泰勒公式求未定式的极限 ............................................................ 3 3.2 利用泰勒公式证明中值问题 ............................................................... 5 3.3 利用泰勒公式证明不等式和等式 ....................................................... 6 3.4利用泰勒公式判断敛散性 .................................................................. 12

4.结束语 ............................. 18 致 谢： .............................. 19 参考文献 ............................. 20 Applications of Taylor formula ....... 20 Abstract： ........................... 20 Key words： .......................... 21

泰勒公式在数学分析中的应用

内容摘要：

泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。本文着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面进行论述。

关键词：

泰勒公式 拉格朗日余项 未定式 级数 皮亚诺余项

1.引言

泰勒公式在数学分析中是一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式,泰勒公式建立了函数的增量和自变量增量与一阶及高阶导数之间的关系，泰勒公式能够把一些复杂的函数近似地表示为较为简单的多项式函数，这种把复杂变简单的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具。所以我们可以使用泰勒公式,来很容易的解决一些问题, 如求确定无穷小的阶，极限，证明等式和不等式，判断函数的凹凸性，收敛性，中值判断问题等。本文对泰勒公式在等式与不等式的证明，极限，中值问题以及敛散性判断这四个方面的具体应用方法做了详细论述。

2.泰勒公式

2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式

如果函数f?x?在点x0的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内

1

异于x0的任意点x,在x0和x之间至少?一个ξ使

f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)????(x?x0)n2!n!f(n?1)(?) （?介于x0与x之间）?(x?x0)n?1

(n?1)!当x0=0时，上式称为麦克劳林公式。

2.2带有柯西型余项的泰勒公式

如果函数f在点x0的某邻域U?x0?内具有n+1阶导数,令x?U?x0?,则对该邻域内异于x0的任意点x有：

f?x??f?x0??f?x0?(x?x0)???????'f?n?n!?x0??x?x?n?R?x?0nnRn?x??1fn!n?1?x0???x?x0???1???n?1 ?x?x0?n?1，0???1。

1当x0=0时，又有Rn?x?=fn!??x??1???nxn?1,0???1

2.3带有积分型余项的泰勒公式

如果函数f在点x0的某邻域U?x0?内具有n+1阶导数,令x?U?x0?,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0和x之间至少?一个t使得:

f?x??f?x0??f?x0?(x?x0)???????'f?n?n!?x0??x?x?n?1x0?xn!f?n?1??t??x?t?ndt01x?n?1??t??x?t?ndt就是泰勒公式的积分型余项。 其中?xfn!0 2

2.4带有皮亚诺型余项的泰勒公式

如果函数f?x?在点x0的某邻域内具有n阶导数,则对此邻域内的点x有:

fn(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)2???

2!f(n)(x0)?(x?x0)n?0[(x?x0)n](x?x0)

n!3．泰勒公式的应用

3.1利用泰勒公式求未定式的极限

未定式是指呈

0?，，???，0??，00，?0，1?等形式的极0?限，一般是用洛比达法则求解，当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话，必须进行多次洛比达法则，或是分子分母都是带根号项的话，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式解决，会更简单，明了。

x2?1?1?x2. 例1 求极限I?lim2x22x?0(cosx?e)sinx分析：此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐。若使用泰勒公式可以将问题大大简化。

解

：

因

x2x21112?1?1?x??1?(1?x2?x4)?o(x4)?x4?o(x4), 22288cosx?ex?(1?2123x)?(1?x2)?o(x2)??x2?o(x2), 22又sinx2~x2(x?0),

3

141x?o(x4)1所以I?lim8?8??.

x?03312(?x2?o(x2))x2?22用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代 来计算极限的方法。我们知道当 x?0时，sinx~x,tanx~x等。这

种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项。有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化。

??1??1?????n????n例2 求极限lime??x???????2n

??1?1????n?????e解： ??n??????2n?1??1??n?2nln?en?e （等值变形）

???1?2n?nln?1???lne??n???

?e

（等值变形）

??11???1???2n?n???o?2???1????n2n?n????

?e

（泰勒公式应用）

?e4

?1?1??2n???o????n???2n

（化简）

?1?2o?1??e

（阶的估计）

??1???1??n????limx???en??n??????2n?limen???1?2o?1??e?1

lnf?x?fx?e幂指式待定型的极限问题，首先利用等价变形??化

为指数式。此题利用了泰勒公式的近式多项式作用和分式作用化简，

?1?o????1???n??0limo1?limno?lim?????n??1再利用无穷小阶的估计，所以n??，n?????n??n从而得到极限。

3.2 利用泰勒公式证明中值问题

3.2.1 证明中值公式

若欲证的结论是至少存在一点c??a,b?,使得关于a,b,f(a)，f(b) c ,f(c), f'(c)???f(n)(c)代数式的证明。可以考虑使用辅助函数法，然后验证辅助函数满足罗尔定理条件，由定理的结论即得命题的证明，下面通过例题来说明一下。

例3 设函数f?x?在??1,1?上具有三阶连续导数，且f??1??0，

5

f?1??1，f??0??0，证明在??1,1?内至少存在一点?，使得f???????3 证：f?x??f?0??f??0?x?f??????12???f?0?x? （?在0与x之间） 22!3分别令x??1，x?1，将所得的两个式子想减，得

f?????1??f?????2??6??1??1?0,0??2?1?

由f????x?的连续性知，f????x?在??1,?2?上有最大值M和最小值m，则

m?1?f?????1??f?????2??? 2?由连续函数的介值定理知，至少存在一点????1,?2????1,1?，使得

f???????1f?????1??f?????2???3 ???2解这种题最重要的就是辅助函数的确定，例题9使用的就是原函数法，即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式或易积分的形式，用观察法或积分法求出原函数，为简便积分常数取作零，移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c换成x即为所需的辅助函数。

如果题中出现积分表达式，则可以直接将被积函数设为辅助函数。 例如 设f(x)在[0,1]连续，在（0,1）可导且满足

f(1?)k?1k01?xxef(x)d?,x(，证明至少存在一点k1)c?(0,1),使得

f'(c)?(1?c?1)f(c)。

证明：只要设辅助函数为F(x)?xe1?xf(x)，即可以解出此题。

3.3 利用泰勒公式证明不等式和等式

3.3.1 利用泰勒公式证明积分不等式或积分等式

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泰勒公式在定积分不等式方面应用的关键在于确定在哪一点x0将函数展开，其次将函数展开到第几项为止。

例4 设f?x?在?a,b?上单调增加，且f???x??0，证明

?baf?x?dx??f?a??b??a2f??b。

分析：（1）因为不等式右边出现了f?a?与f?b?，提示我们选择

x0?a，x0?b分别展开。

（2）已知f???x??0，所以最多只能展开到含二阶导数为止。 证明：对?x0??a,b?，f?x?在点x0处的泰勒展开式为：

f?x0??f?x0??f??x0??x?x0??12f??????x?x0?，???x0,x?。 2因为f??????0，所以f?x??f?x0??f??x0??x?x0?。 令x?a，x?b则f?a??f?x0??f??x0??a?x0?，

f?b??f?x0??f??x0??b?x0?。

则f?a??f?b??2f?x0???a?b?f??x0??2x0f??x0?。

对上式两边同时在?a,b?积分得：

bbb?b?a???f?a??f?b????2?af?x0?dx0??a?b??af??x0?dx0?2?ax0f???x0?dx0,bbb?b?a???f?a??f?b????2?af?x?dx??a?b???f?b??f?a????2??xf?x??a??af?x?dx??.bfa?fbb?a?4??得 2???????af?x?dx。 ????f?a??f?b???，命题得证。 故?bfxdx?b?a????a2

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当已知被积函数f?x?二阶或二阶以上可导，而且已知最高阶导数的符号时，用泰勒公式证明定积分不等式往往比较有效，一般先直接写出f?x?的泰勒展开式（有时根据题意对展开式进行放缩），然后两边积分证得结果。

例5 设f?x?在?0,1?上有连续的二阶导数，且f??0??f??1??0，试证?10f?x?dx?f?0??f?1?f??????，???0,1?。 26分析：由题中条件“f?x?在?0,1?上有连续的二阶导数”，我们可以考虑用泰勒公式来解题，由于题中要证的等式右边具有f?????。可以考虑将函数F?x???1t开为二阶泰勒公式。题中已知??td展0ff??0??f??1??0，我们可在x点作泰勒展开，然后分别令x?1，x?0，这样既可使展开式得以简化，又可引出f?0?，f?1?，有利于问题的证明。

证明：?x??0,1?，设F?x???1ft?dt?0，则F?0??0，F??x??f?x?，

F???x??f??x?，F????x??f???x?，把F?u?在u?x?0?u?1?处展开二阶泰勒公式：

F?u??F?x??f?x??u?x??1123f??x??u?x??f??????u?x?,???u,x?。 23!113f????1??1?x??f????2?x3??1?2x?f??x????23!?分别令u?1，u?0，并将所得两式相减：

F?1??F?0???10f?t?dt?f?x?? 设m?min??f????1?,f????2???，M?max??f????1?,f????2???。

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f????1??f????2??M。 则m?2因为f???x?在?0,1?上连续，由介值定理可知存在???0,1?，使得：

f????f????1??f????2?。

21f?????， 3于是2?10f?x?dx?f?1??f?0??因此?10f?x?dx?f?1??f?0?f??????，???0,1?。

26当已知被积函数f?x?具有二阶或二阶以上连续导数时，证明定积分等式，一般先作辅助函数F?x???10f?t?dt，在将F?x?在所需点，进行泰勒展开，然后对泰勒余项作适当处理。

3.3.2利用泰勒公式证明代数不等式

要点一：若我们设

f(x)在?a,b?上有连续n阶导数，且

(n)f(a)?f'(a)?????f(n?1)(a)?0，f(x)?0,x?(a,b)我们可以得

f(x)=

f(n)(?)(x?a)n>0利用此要点，可以证明一些不等式。 n!tanxx????，?x??0,?。 xsinx?2?2例6 求证

证明：原不等式等价为f(x)?sinx?tanx?x?0。 因为f(0)?f'(0)?f''(0)?0，

f'''(0)?sinx(5sec2x?1)?bsin3xsec4x?0。

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阶的估计作用。

3.4.2 函数项级数的敛散性判断

例11 设f?x?在点x?0的某一领域内具有二阶连续导数，且

?f?x?lim?0。证明级数?fx?0xn?1?1???绝对收敛。 ?n?分析：由条件中“f?x?在点x?0的某一领域内具有二阶连续导数”这一信息可提示使用泰勒公式，又由条件limx?0f?x??0易推得：x这将使f?x?在点x?0的泰勒展开式更加简单，便于f?0??f??0??0，利用比较判别法判敛。

解：由limx?0f?x??0及f?x?在点x?0的某一领域内具有二阶连续xf?x??f?0?f?x??lim?0x?0x?0x导数，可知f?0??limf?x??0,f??0??limx?0x?0将f?x?在点x?0的某领域内展开成一阶泰勒公式：

f?x??f(0)?f??0?x?11f?????x2 ?f''???x2,????0,x??。 2!2!又由题设f?x?在属于某领域内含点x?0的一个小闭区间连续，因此存在M?0，使?f???x???M，于是|f?x?|?1令x?，则|n1M2|f?????|x2?x， 22??1?1?M1f??|??2。因为?2收敛，故?fn2n??n?1nn?1?1? ??绝对收敛。

n??注1 若无条件“f?x?在点x?0的某一领域内具有二阶连续导数”，

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则结论不成立。反例：f?x??x。所以在用泰勒公式展开时，必须lnx先确定f?x?在点x0的某个领取内是否有连续导数，并且注意它的阶。 注2 若条件“f?x?在点x?0的某一领域内具有二阶连续导数”，改为“f?x?在点x?0的某一领域内二阶连续导数有界”，结论照样成立。

例12 设f?x?在??1,1?上三阶连续可微，试证明

????n?n?1????1?f????n???1??f?????2f??0??收敛。 ?n???证明：由已知存在M?0使|f????x?|?M，x???1,1?。

?1?将f??，

?n??1?f???在x?0点泰勒展开，则： ?n?1111???1?1?f???f?0??f???0??2?f????1?3，?1???10,1?；

n2n6?n?n?n?1111???1?1?f???f?0??f??0??f???0?2?f????2?3，?2???1,0?；

n2n6?n?n?n?1??1???2?M。 ?1??1??故有|n????????|f?f?f?f??2f0|??????|?2???2??n?6n?n??n?3n?n?????因为?M是收敛的，所以原级数也收敛，且是绝对收敛。 2n?13n?3.4.3 广义积分敛散性的判定

在判定广义积分???a|f?x?|dx敛散性时，通常选取广义积分

???a1dx?p?0?进行比较，在此通过研究无穷小量|f?x?|?x????px 16

的阶来有效地选择???a1dx中的p值，从而判定???a|f?x?|dx的敛px散性，我们要注意到如果???则??? f?x?dx也收敛。a|f?x?|dx收敛，a例13 研究广义积分?解：有泰勒公式得 令

??a?2x?x?1?x?1dx?a?0?的收敛性。

?f?x??2?x?x?1?x?1

?11?x??2?1?x?1?x?? ??=

??1?1?????1?1??111???22????2??1????2?o?2???2x2!x???x??????????x???1?1?? ??1????1111???22??????1????2?o?2???2x2!x???x????????????111?3?o?3=4?22x?x选取

??? ?1?px1x32，

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因为

limx??f?x?1xp?1?11?3?o?3?4?2?2x?x??1?limx??14而

x323p??1，所以

2??2??ax?x?1?x?1dx?a?0?收敛。

?例8 研究广义积分?10 解：因为lim?x?0xsinxdx的收敛性。

x?sinxxsinx??，所以x?0是瑕点，由比较判别法可知，

x?sinxx?0limxpf?x??a，0?a???，若p?1时，?10f?x?dx收敛；p?1时，??10f?x?dx发散。

?1??1?x?x?x3?0?x4??x2?1?x2?0?x3??1?1x2?0?x3?xsinx3!???6??6??131x?sinx?1344?x?0xx?0?x2?x??x?x?0?x????66?3!??1?6??1?x2?0?x3???1?0?x???6?x

xsinxlimx??6，所以p?1。 x?0?x?sinx1?所以广义积分0xsinxdx发散。

x?sinx从以上2个例子可知，级数与广义积分联系密切，结论类似。

4.结束语

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泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。通过本文对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的论述，我们可以了解到高阶,导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一。只要题中条件给出函数二阶及二阶以上可导，不妨先把函数在指定点展成泰勒公式再说，一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式，然后根据题设条件恰当选择展开点。只要在解题训练中注意分析、研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理原则，就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧。

致 谢：

本论文完成之际，我要由衷感谢老师在课题设计和论文写作上的悉心指导，同时对所有帮助过我们的老师和同学致以谢忱。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qvtd.html