应用泰勒公式解题的思路探讨

ythb

现代商贸工业

第２０卷第２期

ＭｏｄｅｒｎＢｕｓｉｎｅｓｓＴｒａｄｅＩｎｄｕｓｔｒｙ

２００８年２月

应用泰勒公式解题的思路探讨

董烈勋

（武汉科技大学中南分校数学教研室，湖北武汉４３００００）

摘要：提出如何利用泰勒公式采分析函数性态，确定可导函数的极值点和曲线的拐点的方法．以及求证某些等式和不等式的思路．

，关键词：泰勒公式；极值点；拐点；等式；不等式；极限中图分类号：Ｇ６３３．６２

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７２—３１９８（２００８）０２—０２０１—０１

ｌ

函数极值点与拐点的判定

设函数，（力在点Ｘ０的某邻域内具有行阶连续导数，且

从而，（Ｘ１）＋八Ｘ１）＜２，（ｚ）＋／（ｚ）（Ｘｌ＋．ｒｌ一２ｚ）＝

‘

２ｆ（力

厂（ｚｏ）一厂（ｘｏ）＝…＝，一一１）（ｘｏ）＝０，ｆ－＞（ｚｏ）≠ｏ，（恕≥

２），则；

（１）当ｉｔ／为偶数时，ｘｏ为，（ｚ）的极值点．

（２）当以为奇数时，则点（ｘｏ，ｆ（ｘｏ））为曲线ｙ；，（ｚ）的拐点．

证明：

（１）（咒为偶数），因为∥靠）（ｘｏ）≠０，不妨设∥一）（ｚｏ）＞０。由于，一’（ｚ）在Ｘ０处连续，即ｌｉｍｆ＿（一）＝∥”）（ｚｏ），根据极限的保号性，存在ＸＯ的某个去心邻域Ｕ（ｚｏ，ｄ），当ｚ∈Ｕ（ｚｏ，占）时，∥一，＞ｏ。那么对于任一ｚ∈【，（ｘｏ，艿），，（ｚ）的（靠

即Ｔｆ（ｘ１）Ｗｆ（ｘ２）＜，（翌专旦），因此曲线，（ｚ）在（和

同理可证，当，一）（ｘｏ）＜ｏ时，点（ｘｏ，ｆ（ｘｏ））也是曲线

一占，Ｘｏ）内是凸的。’同理可证曲线，（ｚ）在（ｘｏ，ＸＯ十ｄ）内是凹的．因此点（ｘｏ，厂（柳））为曲线ｙ一八ｚ）的拐点。

ｙ＝，（ｚ）的拐点．

２利用泰勒公式证明等式和不等式

例１：证明：正数的几何平均数不大于这些数的算术平

均数，即是：ｚ百磊＝暴音（ｚｌ＋ｚ２＋…＋磊）

证明：不等式的左端是竹个正数的连乘积，为此取自然对数转化为和的形式。当Ｘｌ，Ｘ２，…，工。都不为０时，即证；

锱（ｚ－－ｘｏ）ｎ－－１＋等（Ｉ－－ＸＯ）一

一１）阶泰勒公式为：八ｚ）＝ｆ（ｘｏ）＋／（ｘｏ）（ｚ—Ｘ０）＋…＋

ｌ竹（Ｉｎｘｌ＋Ｉｎｘ２＋．．．＋ｌ峨）．≤ｌｎ型塑挚、

ｆ（ｚ）＝ｌｎｘ（ｚ＞ｏ），／（工）＝丢，厂（ｚ）＝一丢＜ｏ

手在ＸＯ与ｚ之间．由于厂一）＞ｏ，因此，一）（９＞ｏ，考虑

到疗为偶数及ｆ７（如）一厂（ｘｏ）＿．． ＝，一一１）（勘）＝ｏ，那么

在此邻域内，（ｚ）＞ｆ（ｘｏ），所以ＸＯ为，（ｚ）的一个极小值点．著∥一’（蜘）＜ｏ，同理可证．ｔｏ为，（ｚ）的一个极大值点。

（２）（苊为奇数），设，ｎ）（锄）＞ｏ，同样存在Ｕ（ｘｏ，∞，当ｘＥＵ（ｘｏ，艿）时，，一）（ｚ）＞ｏ，那么在此邻域内，，一一１）（工）单

将八工）在劫＝兰±墨挚处展开为泰勒公式，有

“ｚ）：，（锄）＋／（二）（ｚ—ｚ。）＋￡：娑（ｚ一动）２毒在ｚ

与－ｔＯ之间．

调增加，由于。∥矗－１）（ｘｏ）＝０，那么在（ｚｏ一毋，－ＴＯ）内，

∥一一１）＜ｏ，则∥一一２）（ｚ）单调减少，又由于∥一一２）（ｘｏ）＝０，

因为厂（９＜ｏ，所以，（工）＜，（锄）＋厂（ｘｏ）（ｚ一却）这样：，（Ｘ１）＜八ｚｏ）＋／（和）（ｘｌ一动），（Ｘ２）＜，（劫）＋厂（ｘｏ）（ｘｚ一锄），（翻）＜，（ＸＯ）＋／（ｘｏ）（ｘ．－－ｘｏ）

把不等式两边相加，可得：

因此∥一一２）（工）＞ｏ。…依此类推，当ｚ∈（ｘｏ一艿，．Ｔ０）时厂

（ｚ）＜０．取Ｘｌ，Ｘ２∈（ｘｏ一艿，Ｘ０），且Ｘｌ＜ｚ２，并设：＝

—Ｘｌ百＂｛－一Ｘ２，将，（ｚ）在点ｚ处按泰勒公式展开：

ｆ（．ｒ１）：，（ｚ）＋厂（ｚ）（ｚ１一ｚ）＋￡兽（ｚ１一名）２

（Ｘｌ，幻

，（Ｘ１）＋ｆ（ｚｚ）＋…＋，（粕）＜．ｆ（ｘｏ）＋厂（ｘｏ）（ｘｌ＋

ａ∈

Ｘ２＋…＋矗一撕）＝ｎｆ（．ＴＯ）

ｆ（ｘｚ）：．“ｚ）＋厂（ｚ）（ｚ２一ｚ）＋￡兽（ｚ２一ｚ）２

（ｚ，Ｘ２）

ｅｐ．１Ｉ坊ｌ＋ｌＩ垅２＋…ｌｒｕ‰＜住１ｎ—Ｘｌ＂｛－Ｘ２．｛—－＇＂＂／ｆ－Ｘ，

龟∈

也即；。｝（１ａｘｌ＋ｌａｘｚ＋…＋ｌａｘ，，）＜Ｉｎ

三！±塑±：：：±墅

‘．．厂（ａ）＜ｏ，厂（彘）＜ｏ

：．ｆ０Ｘｌ、＜ｆＬ窃七ｆ０窃（ｘｌ一窃八ｚ２）＜八ｚ）＋／（：）（ｘ２－－ｚ）

从而证明了彤百夏：＝：－＜墨±曼型二＝生

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第２０卷第２期

Ｍｏｄｅｒｎ

ＢｕｓｉｎｅｓｓＴｒａｄｅＩｎｄｕｓｔｒｙ

２００８年２月

听力策略训练探讨

黄义强

（武汉科技大学中南分校外语学院，湖北武汉４３００００）

摘要：研究这些听力策略，对改进听力课堂教学活动和训练效果会有重要的启示。有效的听力策略训练不仅有利于学生学会“听”英语。达到用英语交际的目的，还有利于提高学生进行听力训练的主动性，为日后的学习创造条件．

关键词：听力教学；听力策略；荚语学习中图分类号：Ｇ８０８．１２

文献标识码：Ａ

．

文章编号：１６７２—３１９８（２００８）０２—０２０２—０２

为了提高听力课堂教学的效果，人们往往根据不同的昕的目标采取不同的听力策略．研究这些听力策略，对改进听力课堂教学活动和训练效果会有重要的启示。听力策略是一种学习策略。所谓学习策略，指的是学习者在学习或运用语言的过程中所采取的思维和行为活动，可分为元

认知策略、认知策略和社会情感策略。元认知策略指的是语言学习者为促进某一学习活动的顺利完成而采取的计划、监察、评估等行动，是学习者进行自我管理所采取的措施。认知策略则与学习者的学习任务有直接的关系，它涉及对输入信息的处理，如重述、借助上下文推理、联想、发挥

当Ｘｌ＝ｚ２＝…＝“时，显然等式成立．

例２设，（ｚ），ｇ（ｚ）在［口，阳上连续，在（口，６）内具有二阶导数，且存在相等的最大值，，（口）一ｇ＜ｎ），，（６）＝ｇ（６），证

一０．

３．利用泰勒公式计算极限

明：存在搴∈（口，６）使得ｆ（Ｏ＝，（秒。

此题是今年研究生招生考试的数学一、＝、三、四的试题，难度较大，难度值约为０．２．考查的知识点为连续函数介值定理与罗尔定理的应用，在参考答案中运用了二次罗尔定理来证明，此题也可用泰勒公式证明。

分析：令妒（工）＝，（ｚ）－ｇ（ｘ），就成为证明存在缸，龟∈

例３：求ｌｉｍ型！三基錾匝墨

可将分子中的．、俩，和／ｒ＝弓玢别按佩亚诺余项的泰勒

公式展开，即得：

原式＝

．

解：此题可用洛必特法则求解，但运算复杂，容易出错。

（口，６），使得矿（ａ）与矿（囟）异号，从而证明存在亭∈（ｎ，６），使得矿（ｐ＝ｏ。

证明：令９（ｚ）一，（工）－ｇ（ｘ），由已知条件可得９（口）＝０，妒（６）＝Ｏ。设Ｘｌ∈（口，６），耽∈（４。６），不妨设Ｘｌ＜ｘｚ，使得ｆ（ｘ１）２ｍ“ａ，ｎｘｆ（ｘ）。ｇ（ｘｚ）２ｍ‰ａ日ｘｇ（ｘ），那么

９（ｚ１）＝，（Ｘ１）－－ｇ（ｘ１）＞Ｏ；尹（ｚ２）＝ｆ（ｘｚ）一ｇ（ｘ２）＜０．根据连续函数介值定理，存在．ＴＯ∈（ｎ，６），使得妒（ｚｏ）＝

Ｏ

１Ⅲ１１２１——————————ｊ广———————一一

璺（一÷＋等）一一÷

ｐｏ

、

．．１＋丢ｚ一百１一＋。（ｘＺ）＋ｌ－－＋。一号ｚ２＋。（ｚ２）一２

例４：求墼ｋ一一ｌｎ（１＋÷）］

解：把Ｉｎ（１＋吾）按佩亚诺余项的泰勒公式展开，即

＾，

得。

将∞（ｚ）在点动处展开为泰勒公式，则：

原式＝墅｛．Ｔ－－！Ｔ２［÷一壶＋专＋。（刍）］）＝里［丢

ｆ ”

．‘

●ｏ一

‘，＾＾ｐ’∞－

驴（吐）＝Ｐ（劫）＋矿（动）（口一鄹）＋寺矿（自）（ｎ—ｘｏ）２＝０

搴ｌ∈（口，ｚｏ）

＋。（虿１，Ｊ＝Ｔ１４小结

（１）当讨论或待证的问题中出现函数及其高阶导数时，可考虑用拉格朗日余项的泰勒公式建立函数与各阶导数的关系，关键是找到合适的展开点，ＴＯ，使泰勒公式中的某些项为零，或合并后为零，或使问题易于求解．

（２）泰勒公式是很精细的分析工具，利用泰勒公式求极限时，应采用佩亚诺余项的泰勒公式，因此对于常用的函数如矿、Ｉｎ（１＋ｚ）、ｓｉｎｘ、ＥＯ￥．Ｔ、（１十工）ｎ的展开式应熟记．

ｅｐ（ｂ）＝９（勘）＋一（ｚｏ）（６一ｘｏ）＋÷矿（龟）（６一ｚｏ）２＝０

自∈（ｘｏ，６）

注意到９（痢），从上两式可得矿（ａ）（珈一口）＝矿（＆）

（ｚ０－－ｂ）。

因为动一４＞ｏ，动一６＜ｏ所以矿（自）与矿（如）异号．设矿（ａ）＞ｏ，矿（彘）＜ｏ，则存在！Ｔ３，．２７４∈（ａ，毒－ｚ），使得一（翩）＞∥（缸），一（魏）＞９７（龟）．这说明一（ｚ）在［ａ，＆］上必取得最大值，从而存在拿∈［ａ，＆］ｃ（口，６），使得矿（ｅ）

－－——２０２－———

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应用泰勒公式解题的思路探讨

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：

董烈勋

武汉科技大学中南分校数学教研室,湖北,武汉,430000现代商贸工业

MODERN BUSINESS TRADE INDUSTRY2008，20(2)0次

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