泰勒公式的应用_毕业论文

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目 录

内容摘要 ............................................... 1 关键词 ................................................. 1 1.引言 ................................................ 1 2.泰勒公式 ............................................. 1 2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式 .......................... 1 2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式 .......................... 2 2.3带有积分型余项的泰勒公式 ............................ 2 2.4带有柯西型余项的泰勒公式 ............................ 2 3.泰勒公式的应用 ....................................... 3 3.1利用泰勒公式求未定式的极限 .......................... 3 3.2利用泰勒公式判断敛散性 .............................. 6 3.3 利用泰勒公式证明中值问题 .......................... 11 3.4 利用泰勒公式证明不等式和等式 ...................... 12 4. 结束语 ............................................. 19 参考文献 .............................................. 20

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泰勒公式的应用

内容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。本文着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面进行论述。

关键词：泰勒公式 皮亚诺余项 级数 拉格朗日余项 未定式

1.引言

泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它

我们可以使用泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 确定无穷小的阶, 证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中值问题等。本文着重论述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的具体应用方法。

2.泰勒公式

2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式

如果函数f x 在点x0的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0和x之间至少 一个ξ使得：

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当x0=0时，上式称为麦克劳林公式。

2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式

如果函数f x 在点x0的某邻域内具有n阶导数,则对此邻域内的点x有

:

2.3带有积分型余项的泰勒公式

如果函数f在点x0的某邻域U x0 内具有n+1阶导数,令x U x0 ,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0和x之间至少 一个t使得:

xf n x0 x x0 n 1 xf n 1 t x t ndtf x f x0 f x0 (x x0)

n!n!0

'

1x n 1

t x t ndt就是泰勒公式的积分型余项。 其中 xf

n!0

2.4带有柯西型余项的泰勒公式

如果函数f在点x0的某邻域U x0 内具有n+1阶导数,令x U x0 ,则对该邻域内异于x0的任意点x有：

f n x0 x x0 n Rn x f x f x0 f x0 (x x0)

n!

'

Rn x

1fn!

n 1

x0 x x0 1 n x x0 n 1，0 1。

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1n 1nn 1

当x0=0时，又有Rn x =f x 1 x,0 1。

n!

3．泰勒公式的应用

3.1利用泰勒公式求未定式的极限

未定式是指呈

0

， ，0 ，00， 0，1 等形式的极0

限，一般是用洛比达法则求解，当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话，必须进行多次洛比达法则，或是分子分母都是带根号项的话，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式解决，会更简单，明了。

例1

求极限

分析：此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐。若使用泰勒公式可以将问题大大简化。

解：将 x、 x在x=0点的麦克劳林公式展开到x2项得：

xx2xx22

x 1 x， x 1 x2。

2828

x 1） x 1）原式=lim

x 0x2

11 1 1 x x2 x2 x x2 x2 88 2 =lim 22x 0x

=lim

x 0

1212

x x （x2）

1 。

x24

用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代 来计算极限的方法。我们知道当 x 0时，sinx~

x,tanx~x等。这

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种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项。有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化。

例2 求极限lim（

x 0

11

） sin2xx2

解：lim

x 0

11x2 sin2x（2 2）=lim。 22

sinxxxsinxx 0

2

又sinx

1 cos2x

,将cos2x用泰勒公式展开： 2

4x216x4

Cos2x=1 x4。

2!4!

则lim

x 0

x2 sin2x x2sin2x =lim x 0

x4

x41=。 4

3x

假如细心思考，这一题目的结果可以引起我们的兴趣。当x 0时，

sinx~x，易知 n N,sinnx~xn。两个互为等价无穷小的函数，

111

它们倒数之差的极限为。为什么是？是什么因素造成这一结果？

333如果是lim(

x 0

11

)，情况会怎么样？ nn

sinxx

定理1 当x 0，n N时，有：

11

是关于x的（n-2）阶无穷大； nn

sinxx

111

(2)当n=2时，2 2 ；

3sinxx

11

是关于x的一阶无穷小； (3)当n=1时，

sinxx11

(4)当n=0时，0 0=0。

sinxx

(1)当n 3时，

证明：(2)在上题已经证明了，(4)是显然成立的，这里只证明(1)、

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(3)。

先证明(3)： 当n=1时，lim(

x 0

111x sinxx sinx

)=lim2=lim。 sinxxxx 0xsinxx 0x3

在这里，利用洛必达法则可以解出这个极限，但用泰勒公式则更便捷。因为我们知道：

x3x5x2k 1k 1

sinx x ( 1) (x2k 2),k N，

3!5!(2k 1)!

x33

x11即(1 1)==。 3limlimsinxxxx6x 0x 0

在证明(1)：当n 3时，

11xn sinnxxn sinnxn 2

(n n)x= 2nn 2limlimlimsinxxxsinxxx 0x 0x 0

x sinxxn 1 xn 2sinx sinn 1x

=() 3n 1limxxx 0

x sinxsinxsinn 1x1n

1 ) n =(。 3n 1limlimxxx66x 0x 0

命题得证。

从以上定理可以看到，当x 0时，互为等价无穷小的函数的倒数之差(或更一般的说法，这些函数的乘方之差 )的趋向情况，无穷大或无穷小的阶数以及相关的极限的特点，由函数本身在x=0处的泰勒展开式决定。同时容易推得，在以上结论中“x 0”的条件还可以推广为 “x x0”，这时相关特点将由函数本身在x x0处的泰勒展开式决定。

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综上所述，在求未定式极限时，要灵活运用等价无穷小与泰勒公式，并将函数展开至分子分母分别经过简化后系数不为零的阶即可。对于泰勒余项形式的选择，要根据具体题目而定，一般而言极限的计算题应该选择皮亚若型余项。

3.2利用泰勒公式判断敛散性

3.2.1数项级数的敛散性判断

当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的复杂形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式，以便利用敛判准则。

例3 讨论级数 (1 lnn 1)的敛散性。

n 1

nn

分析：直接根据通项去判断级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因而也就无法恰当选择判敛方法。注意到lnn 1=ln（1

n

1

，）n

1ln(1 )泰勒展开为1的幂的形式。开二次方后将与1相呼应。若将

nnn

则判断收敛就容易进行了。

1213( 1)nxn 1n 11n

解：ln(1 x) x x x ( 1)， x

23n(1 n)(1 )n 1

111111

ln(1 ) 取x 有<，

nn2n23n3nn

1n 11n 1

lnln所以<，且Un ->0,故该级数是正项级

nnnn

数。

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因为

n 1=ln

n

111111111 2 3 (3)> 2 3=3 nn2n3nnnn4n2

2n

1111n 11 3)=3。 所以Un -ln<-(

nnnn

2n22n2

因为

n 1

12n

32

收敛，由正项级数比较判别法知原级数收敛，该题利

用泰勒公式后还结合运用了放缩等技巧，在进行放缩时，要注意度。

一般根据题中要求证得结论而定，这是运用比较判别法常用的技巧。

例4

讨论级数 an a 2

n 2

1

)的敛散性。 n

lim

解：由比较判别法可知：若

n

，0an

bnp

b ，则正项

11

级数 an和 p同时收敛和发散。为了选取 p中的P值，可以应

n 2n 2nn 2n

用泰勒公式研究通项an 0 n 的阶。

an

11

n

n

2

2 1 1 0 n

111 1 1 1 32 0 32 0 32 ， nnnn n n

an1

所以lim 1。 因为 收敛，所以 an收敛。

n n 1nn 2

n

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3.2.2 函数项级数的敛散性判断

例5 设f x 在点x 0的某一领域内具有二阶连续导数，且

f x

lim 0。证明级数 fx 0xn 1

1

绝对收敛。 n

分析：由条件中“f x 在点x 0的某一领域内具有二阶连续导

f x

0易推得：数”这一信息可提示使用泰勒公式，又由条件lim

x 0x

这将使f x 在点x 0的泰勒展开式更加简单，便于f 0 f 0 0，利用比较判别法判敛。

f x

0及f x 在点x 0的某一领域内具有二阶连续解：由lim

x 0x

导数，可知f 0 limf x 0,f 0 lim

x 0

x 0

f x f 0 f x

lim 0x 0x 0x

将f x 在点x 0的某领域内展开成一阶泰勒公式：

f x f(0) f 0 x

11

f x2 f'' x2, 0,x 。 2!2!

又由题设f x 在属于某领域内含点x 0的一个小闭区间连续，因此存在M 0，使 f x M，于是|f x |

1

令x ，则|

n

1M2|f |x2 x， 22

1 1 M1

f | 2。因为 2收敛，故 fn2n n 1nn 1 1

绝对收敛。

n

注1 若无条件“f x 在点x 0的某一领域内具有二阶连续导数”，则结论不成立。反例：f x

x

。所以在用泰勒公式展开时，必须lnx

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先确定f x 在点x0的某个领取内是否有连续导数，并且注意它的阶。 注2 若条件“f x 在点x 0的某一领域内具有二阶连续导数”，改为“f x 在点x 0的某一领域内二阶连续导数有界”，结论照样成立。

例6 设f x 在 1,1 上三阶连续可微，试证明

n n 1

1 f n

1

f 2f 0 收敛。 n

证明：由已知存在M 0使|f x | M，x 1,1 。

1

将f ，

n

1

f 在x 0点泰勒展开，则： n

1111 1 1

f f 0 f 0 2 f 1 3， 1 10,1 ；

n2n6 n n n

1111 1 1

f f 0 f 0 f 0 2 f 2 3， 2 1,0 ；

n2n6 n n n

1 1 2 M。 1 1 故有|n |f f f f 2f0| | 2 2 n 6nnn n 3n

因为

M

是收敛的，所以原级数也收敛，且是绝对收敛。 23nn 1

3.2.3 广义积分敛散性的判定

在判定广义积分 a|f x |dx敛散性时，通常选取广义积分

1

dx p 0 进行比较，在此通过研究无穷小量|f x | x xp

1

dx中的p值，的阶来有效地选择 从而判定 aa|f x |dx的敛p

x a

散性，我们要注意到如果 则 f x dx也收敛。a|f x |dx收敛，a

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例7

研究广义积分 4解： 1 x

2

dx的收敛性。

2 1 2

1 x x 0 x2 。

2

令f

x

则|f

x |

2

1 1

132 2 1 3 2

1 1 0 2

2x2 x x 1 1

1 2 1 3 2 2 3 1 1 0 2

2x 2 x x

2

1 91

0 。

4x2 x2

因此，lim

31|f x |9

，即|f x | 0是 x 的阶，而

x 2x4

x2

4

1

dx收敛。 x2

故

4|f x |dx收敛，从而 4

dx收敛。

例8 研究广义积分 10 解：因为lim

x 0

xsinx

dx的收敛性。

x sinx

xsinx

，所以x 0是瑕点，由比较判别法可知，

x sinx

x 0

p1

0 a limxfx ap 1，，若时， 0f x dx收敛；p 1时，

10f x dx发散。

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1 1 x x x3 0 x4 x2 1 x2 0 x3 1 1x2 0 x3 xsinx3! 1 6 6 1 x2 0 x3 1 0 x 31x sinx 6 xx 0 x4 x 0 x2 x x x3 0 x4

663!

x 所以lim

xsinx

6，所以p 1。

x 0x sinx

xsinx

dx发散。 所以广义积分 10

x sinx

从以上2个例子可知，级数与广义积分联系密切，结论类似。

3.3 利用泰勒公式证明中值问题

3.3.1 证明中值公式

若欲证的结论是至少存在一点c a,b ,使得关于a,b,f(a)，f(b) c ,f(c), f'(c) f(n)(c)代数式的证明。可以考虑使用辅助函数法，然后验证辅助函数满足罗尔定理条件，由定理的结论即得命题的证明，下面通过例题来说明一下。

例9 设f x 在 a,b 上三次可导，试证： c a,b ，使得：

13 a b （1） f b f a f b a fcb a

24 2

证明：设k为使下式成立的实数：

13 a b

f b f a f b a kb a 0 （2）

24 2

此时，问题归为证明： c a,b ，使得k f c 。

k3 a x

g x f x f a f x a x a 0 （3）

224

则g a g b 0。

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根据罗尔定理， a,b ，使得g 0。 由（3）式，即：

2 a a a k f f f a 0 （4）

8 2 2 2

这是关于k的方程，注意到f 在点

a

处的泰勒公式： 2

2

a a a 1 a f f f c f 2222 2

，

c a,b （5）

由（4）、（5）两式可得：

k1 a 122

， fc a a f c

8228 则k f c ，命题得证。

解这种题最重要的就是辅助函数的确定，例题9使用的就是原函数法，即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式或易积分的形式，用观察法或积分法求出原函数，为简便积分常数取作零，移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c换成x即为所需的辅助函数。

如果题中出现积分表达式，则可以直接将被积函数设为辅助函数。 例如 设f(x)在[0,1]连续，在（0,1）可导且满足

f(1 )k

1

k0

1 xxe

2

明至少存在一点c (0,1),使得f(x)d ,x(，k证1)

f'(c) (1 c 1)f(c)。

证明：只要设辅助函数为F(x) xe1 xf(x)，即可以解出此题。

3.4 利用泰勒公式证明不等式和等式

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3.4.1 利用泰勒公式证明积分不等式或积分等式

泰勒公式在定积分不等式方面应用的关键在于确定在哪一点x0将函数展开，其次将函数展开到第几项为止。

例10 设f x 在 a,b 上单调增加，且f x 0，证明

baf

x dx

f a f b

b 。

2

分析：（1）因为不等式右边出现了f a 与f b ，提示我们选择

x0 a，x0 b分别展开。

（2）已知f x 0，所以最多只能展开到含二阶导数为止。 证明：对 x0 a,b ，f x 在点x0处的泰勒展开式为：

f x0 f x0 f x0 x x0

12

f x x0 ， x0,x 。 2

因为f 0，所以f x f x0 f x0 x x0 。 令x a，x b则f a f x0 f x0 a x0 ，

f b f x0 f x0 b x0 。

则f a f b 2f x0 a b f x0 2x0f x0 。

对上式两边同时在 a,b 积分得：

bbb

b a f a f b 2 af x0 dx0 a b af x0 dx0 2 ax0f x0 dx0,bbb b a f a f b 2 af x dx a b f b f a 2 xf x a af x dx .

b

fa fbb a 4 得 2 af x dx。

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f a f b ，命题得证。 故 bfxdx b a a

2

由例10可知，当已知被积函数f x 二阶或二阶以上可导，而且已知最高阶导数的符号时，用泰勒公式证明定积分不等式往往比较有效，一般先直接写出f x 的泰勒展开式（有时根据题意对展开式进行放缩），然后两边积分证得结果。

例11 设f x 在 0,1 上有连续的二阶导数，且f 0 f 1 0，试证 10f x dx

f 0 f 1 f

， 0,1 。 26

分析：由题中条件“f x 在 0,1 上有连续的二阶导数”，我们可以考虑用泰勒公式来解题，由于题中要证的等式右边具有f 。可以考虑将函数F x 1t开为二阶泰勒公式。题中已知 td展0f

f 0 f 1 0，我们可在x点作泰勒展开，然后分别令x 1，x 0，这样既可使展开式得以简化，又可引出f 0 ，f 1 ，有利于问题的证明。

证明： x 0,1 ，设F x 1ft dt 0

，则F 0 0，F x f x ，

F x f x ，F x f x ，把F u 在u x 0 u 1 处展开二阶泰勒公式：

F u F x f x u x

1123

f x u x f u x , u,x 。 23!

分别令u 1，u 0，并将所得两式相减：

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F 1 F 0 10f t dt f x

113

f 1 1 x f 2 x3 1 2x f x 23!

设m min f 1 ,f 2 ，M max f 1 ,f 2 。 则m

f 1 f 2

M。

2

因为f x 在 0,1 上连续，由介值定理可知存在 0,1 ，使得：

f

f 1 f 2

。

2

1

f ， 3

于是2 10f x dx f 1 f 0

1

f 1 f 0 f

因此 f x dx ， 0,1 。

26

由例11可知，当已知被积函数f x 具有二阶或二阶以上连续导数时，证明定积分等式，一般先作辅助函数F x 10f t dt，在将F x 在所需点（一般是根据右边表达式确定站开点）进行泰勒展开，然后对泰勒余项作适当处理（一般用介值定理）。 3.4.2利用泰勒公式证明导数不等式

例12 设函数f x 在 0,1 上二次可微，且f 0 f 1 0，

minf x 1，试证存在一点 0,1 ，使f 8。

0 x 1

分析：f x 在 0,1 上二次可微，且最小值 1 0，所以在 0,1 内一定有极值点，该点的导数为0，题中可知f x 二次可微，从这点我们可以想到使用泰勒公式，而要证明的结论中右边是一个常数，故选在最小值点x0处泰勒展开。

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解：不妨设x0 0,1 为f x 在 0,1 上的最小值点，则f x0 1，

f x0 0，f x 在x0处的泰勒公式： f x f x0 f x0 x x0

f 2

x x0 2!

f 2

1 0 x x0 ， 是介于x与x0之间的某个值。

2!

f 22

x0 0，即f 1 2。 当x 0时，f 0 1

2!x0

f 22

当x 1时，f 1 1 。 1 x0 0，即f 2 2

2! 1 x0

2 1

所以，当x0 0, 时，f 1 2 8。

x0 2

2 1

当x0 ,1 时，f 2 8。 2

2 1 x0 综上所述，存在一点 0,1 ，使f 8。 3.4.3利用泰勒公式证明代数不等式

要点一：若我们设

f(x)在 a,b 上有连续n阶导数，且

(n)

f(a) f'(a) f(n 1)(a) 0，f(x) 0,x (a,b)我们可以得

f(x)=

f

(n)

( )

(x a)n>0利用此要点，可以证明一些不等式。 n!

tanxx ， x 0, 。 xsinx 2

2

例13 求证

证明：原不等式等价为f(x) sinx tanx x 0。

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因为f(0) f'(0) f''(0) 0，

f'''(0) sinx(5sec2x 1) bsin3xsec4x 0。

f'''( )x3 3'''

而f(x) (x 0) f( ) 0,x 0, 。

3!6 2 原式获证。

要点二：应用泰勒公式可得：

f(x)

k 0

n 1

1

fk!

(k)

(a)(x a)k

1fn!

(n)

( )(x a)n

x a,b ， a,x

可得如下一般性结果： (1)f

f(x)

n

x 0,(x (a,b))时，对 x a,b 有

1

fk!

(k)

k 0

n 1

(a)(x a)k。

(2)f

f(x)

n

x 0,(x (a,b))时， 对 x a,b 有

1fk!

(k)

k 0

n 1

(a)(x a)k。

2alnb lna

a2 b2b a

1

。 ab

例13 设0 a b，证明不等式

分析：这题我们可以使用要点二的结论来证，首先将不等式化简，方便我们得出解题思路。其次，我们要构造函数，利用泰勒公式展开式解题。

证明：

2alnb lna

a2 b2b a

1

等价为：ab

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b2b b

2 1） (() 1)ln aa ， bba ln aab

令

b

,f( ) ( 2 1)ln ，a

b

，a

g( ) 2ln

1

。

则只需证明

（ 1） （ 1） f( ) 2( 1)，

。

（ 1） （ 2） g( ) 0，

1

'

而f( ) 2 ln

，

''

f( ) 2 ln 3

1

2

0，

f

'''

( )

2

2

3

0。

应用泰勒公式可知，存在 a,b 使

f( ) f(1) f(1)'( 1)

进而当

1''1

f(1)( 1)2 f'''(1)( 1)3， 2!3!

1时，

1''

f(1)( 1)2 2!

'

f( ) f(1) f(1)( 1)

2

（ 1）（ 1） （ 1） =0 2>2。

即（1）得证。

'

对于（2），因为g( ) 2

1

1

1

2

(1

1

)2 0，

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所以g( ) g(1) 0,( 1)，即（2）得证。

对于代数不等式的证明，可以将不等式转化成不等式组，再构造合适的函数，利用泰勒公式展开求解。这时要记住灵活运用要点(2)中的结论，将会使解题过程大大简化。

4.结束语

泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。通过本文对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的论述，我们可以了解到高阶（二阶及二阶以上）导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一。只要题中条件给出函数二阶及二阶以上可导，不妨先把函数在指定点展成泰勒公式再说，一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式，然后根据题设条件恰当选择展开点（展开点未必一定是具体数值点，有时以X为佳）。只要在解题训练中注意分析、研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理原则，就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧。

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参考文献

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