结构化学基础习题答案_周公度_第4版

01.量子力学基础知识

【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ·mol为单位的能量。

-1

2.998 108m s 1

4.469 1014s 1

670.8m解： 11 1.491 104cm 1

7

670.8 10cm

3414 1

E h NA 6.626 10J s 4.469 10s

c

【1.2】 实验测定金属钠的光电效应数据如下：

312.5 波长λ/nm

6.6023 1023mol-1 178.4kJ mol-1

365.0

404.7

546.1

3.41 2.56 1.95 0.75 光电子最大动能Ek/10-19J

作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν0)。

解：将各照射光波长换算成频率v,并将各频率与对应的光电子的最大动能Ek列于下表：

312.5 365.0 404.7 546.1 λ/nm

/1014s－1

－

9.59 8.21 2.56

7.41 1.95

5.49 0.75

3.41 Ek/1019J

由表中数据作图，示于图1.2中

Ek /10J

-19

14-1

10g

图1.2 金属的Ek

图

由式 推知

hv hv0 Ek

h

Ek Ek

v v0 v

即Planck常数等于Ek v图的斜率。选取两合适点，将Ek和v值带入上式，即可求出h。

2.70 1.05 10 19J 34

h 6.60 10J s14 1

8.50 600 10s例如：

图中直线与横坐标的交点所代表的v即金属的临界频率v0，由图可知，v0 4.36 10s。因此，金属钠的脱出功为：

14 1

W hv0 6.60 10 34J s 4.36 1014s 1

2.88 10 19J

-14-1

【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10s，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？

1

hv hv0 mv2

2解：

2h v v0

m

1

2

2.998 10m s 3414 1 2 6.626 10J s 5.464 10s 9

300 10m

9.109 10 31kg

8

1

1

2

2 6.626 10J s 4.529 10s 9.109 10 31kg 8.12 105m s 1

3414 1

1

2

【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：

（a） 质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s的尘埃；

-1

（b） 动能为0.1eV的中子； （c） 动能为300eV的自由电子。

解：根据关系式：

h6.626 10 34J s 22

10 6.626 10m 1

mv10kg 0.01m

s(1)

h (2)

p

34 9.403

10-11mh(3)

p

34

7.08 10 11m

【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV，计算电子加速后运动时的波长。

解：根据de Broglie关系式：

hh pm 34

【1.6】对一个运动速度 c（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：

2.742 10 12m

h③h ④E⑤1

mv p mv

vv2

①

②

结果得出

m

1

m 2的结论。上述推导错在何处？请说明理由。

解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立

E hv

p h/

式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：

p m

知 ①，②，④和⑤四步都是正确的。 微粒波的波长λ服从下式：

u/v

式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ ，但③中用了 u/v，显然是错的。

在④中，E hv无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量。若计及E中的势能，则⑤也不正确。

【1.7】子弹（质量0.01kg，速度1000m·s），尘埃（质量10-9kg，速度10m·s）、作布郎

-1

-1

运动的花粉（质量10-13kg，速度1m·s-1）、原子中电子（速度1000 m·s-1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？

解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：

h6.26 10 34J s 34

x 6.63 10m 1

m v0.01kg 1000 10%m s子弹： h6.626 10 34J s x 9 6.63 10 25m 1

m v10kg 10 10%m s尘埃：

h6.626 10 34J s 20

x 13 6.63 10m 1

m v10kg 1 10%m s花粉：

h6.626 10 34J s 6

x 7.27 10m 31 1

m v9.109 10kg 1000 10%m s电子：

【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度 为 的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？

解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为

：

x

h m 34

0

10 3.88 1 0m

这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。

6

【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约10m）观察不到电子衍射（用100000V电

压加速电子）。

解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：

x

hh 1.226 10 9 pxh/ 1.226 10 9m

1.226 10 11m

这不确定度约为光学光栅周期的10

－5

倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光

学光栅周期的10

－5

倍，用光学光栅观察不到电子衍射。

－

解法二：若电子位置的不确定度为106m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：

在104V的加速电压下，电子的动量为：

h6.626 10 34J s

px

x10 6m 6.626 10 28J s m 1 px m x 5.402 10 23J s m 1

由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：

arcsin arcsin

pxpx

6.626 10 28J s m 1

arcsin 23 1

5.402 10J s m

arcsin10 5 0o

衍射。

【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符：

这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子

dd2

x,,2dxdx

i

解：由线性算符的定义：

ddx

) A A A(ijij

dd2d

ix,,2

dxdx为线性算符;而dx为线性自轭算符.

d222 4ax 2 ax2

dx 的本征函数，求其本征值。 【1.11】 xe是算符

解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：

d2 d222 22 ax2

4ax 4axxe 2 2 dxdx 2

22d

2xe ax 4a2x2xe axdx

22d ax2

e 2ax2e ax 4a2x3e axdx

2axe ax 4axe ax 4a2x3e ax 4a2x3e ax

2

6axe ax

因此，本征值为 6a。

2222

6a

d22

【1.12】下列函数中，哪几个是算符dx的本征函数？若是，求出本征值。

x3e,sinx,2cosx,x,sinx cosx

d2d2x

ex22

dx解：，e是dx的本征函数，本征值为1。

d2d2

sinx 1 sinx,2

sinx是dx2的本征函数，本征值为1。 dx

d2

(2cosx) 2cosxdx2

d

im

【1.13】e和cosm 对算符d 是否为本征函数？若是，求出本征值。

dim ie ieim

im

解：d ，im me

i

d

im

所以，e是算符d 的本征函数，本征值为 m。

dicosm i sinm m imsinm ccosm 而d

i

d

所以cosm 不是算符d 的本征函数。

i

【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。

证：在长度为l的一维势箱中运动的粒子的波函数为：

n

x

0 x 1 n=1，2，3，

令n和n’表示不同的量子数，积分：

x

x d n

n'

l

ll

n xn' x

dxll

2n xn' x

sin sindxl0ll

n n' n n' xsinx sin2 ''l n n n n 2 2

ll 0 n n' n n' xsin sin

n n' n n'

sin n n'

'

'

l

x 0

l

n n n n

n和n皆为正整数，因而 n n 和 n n 皆为正整数，所以积分：

'

'

'

sin n n'

x x d 0

n

n'

l

根据定义，n 和 n' x 互相正交。

【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为

x

n xl n 1,2,3

式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标x l ，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均

n

x

值。

解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：

222

hdnπxhdnπx ψ(x) -H)

-)n2228πmdxl8πmdxl n n n x (

sin)lll h2n2 2n xn2h2

2 2 n(x)8 mll8ml2 22nhE

8ml2 即：

n(x) c n(x),x 无本征值，只能求粒子坐标的平均值： （2）由于x

*

l 2n x2n x dx x *xx xdx sinxsinnn 00l 0 ll l

l 1 cos2n 2ln x2 dx xsin2 dx x l0l0 2 l

1 x2ll 2n x lll2n x 0 xsin sinx 0 0l 22n l 2n l l 2

x c n x ,p x无本征值。按下式计算p的平均值

: p（3）由于xn

l

l

x

*

x n x dxpx

n x p

1

n x ihdn x dx 0l 2 dxl nihln xn x 2 sincosdx 0

l0ll

【1.16】求一维势箱中粒子在 1和 2状态时，在箱中0.49l~0.51l范围内出现的概率，并与图1.3.2（b）相比较，讨论所得结果是否合理。

解：（a）

1

x 2

x

x2 x

12 x sin2l ll

2 x22 x2

2 x sin2l ll

22 x x ，并列表如下： 12由上述表达式计算和

x/l 0 2 1

1 x /l 0

2 2 x /l 1 0

1/8 0.293 1.000

5/8 1.726 1.000

2/3 1.500 1.500

1/4 1.000 2.000

3/4 1.000 2.000

1/3 1.500 1.500

7/8

3/8 1.726 1.000

1/2 2.000 0 1 0 0

x/l

12 x /l 1

2 2 x /l 1

0.293 1.000

2

根据表中所列数据作n x x图示于图1.16中。

1 (x)/l

x /l

-1

2

x / l

x / l

图1.16

（b）粒子在 1状态时，出现在0.49l和0.51l间的概率为：

0.51l

P1

0.49l

0.51l

12 x dx

2

x

dx l 0.49l 0.51l

2 x sin2dx

ll0.49l2 xl2 x sinl 24 l 0.49l

0.51l

0.51l

粒子在ψ2状态时，出现在0.49l和0.51l见的概率为：

2 x x1 sin

l l2 0.49l

1

0.02 sin1.02 sin0.98

2

0.0399

0.51l

P2

0.51l

0.49l

2 2

x dx

2

2 x

l dx0.49l

222 x

sindx ll0.49l

0.51l

0.51l

2 xl4 x sinl 28 l 0.49l

4 x x1 sin

l l4 0.49l

4 0.51l 0.49l14 0.49l 0.51l1

sin sin

4 l4 l l l

0.0001

（c）计算结果与图形符合。

【1.17】链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长波方向160nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。

解：该分子共有4对 电子，形成 n离域 键。当分子处于基态时，8个 电子占据能级最低的前4个分子轨道。当分子受到激发时， 电子由能级最高的被占轨道（n=4）跃迁到能级最低的空轨道（n=5），激发所需要的最低能量为ΔE＝E5－E4，而与此能量对应的吸收峰即长波方向460nm处的第一个强吸收峰。按一维势箱粒子模型，可得：

8

0.51l

h2

E 2n 1

8ml2

hc

因此：

2n 1 h

l

8mc

1

2

2 4 1 6.626 10J s 460 10m 318 1

8 9.109 10kg 2.988 10m s

1120pm

34

9

1

2

计算结果与按分子构型参数估算所得结果吻合。

【1.18】一个粒子处在a b c的三维势箱中，试求能级最低的前5个能量值[以h2/(8ma2)为单位]，计算每个能级的简并度。

解：质量为m的粒子在边长为a的立方箱中运动，其能级公式为：

Enx,ny,nz

h2 n2 ny2 nz2 2 x8ma

E122=E212=E221=9 E113=E131=E311=11 E222=12

【1.19】若在下一离子中运动的 电子可用一维势箱近似表示其运动特征：

估计这一势箱的长度l 1.3nm，根据能级公式En nh/8ml估算 电子跃迁时所吸收的光的波长，并与实验值510.0nm比较。

H3CH3

H

H

H

CH3

2

2

2

E111 3

E112 E121 E211 6

CH3

解：该离子共有10个 电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前5个

型分子轨道上。离子受到光的照射， 电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最

低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：

62h252h211h2

E E6 E5

8ml28ml28ml2 8mcl2

11h

hc

8 9.1095 10 31kg 2.9979 108m s 1 1.3 10 9m

11 6.6262 10 34J s

2

实验值为510.0nm，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。

【1.20】已知封闭的圆环中粒子的能级为：

506.6nm

式中n为量子数，R是圆环的半径，若将此能级公式近似地用于苯分子中 6离域 键，取R=140pm，试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。

解：由量子数n

可知，n=0为非简并态，|n|≥1都为二重简并态，6个 电子填入n=0，1， 1等3个轨道，如图1.20所示：

n2h2

En 22

,3 , 8 mR n 0, 1, 2

6

6

图1.20苯分子 6能级和电子排布

E E2 E1

4 1 h2 8 2mR2

hc

8 2mR2c

3h

8 9.11 10kg 1.40 10

2

31

10

3 6.626 10 34J sm 2.998 108m s 1

2

212 10 9m 212nm

实验表明，苯的紫外光谱中出现β， 和 共3个吸收带，它们的吸收位置分别为184.0nm，208.0nm和263.0nm，前两者为强吸收，后面一个是弱吸收。由于最低反键轨道能级分裂为三种激发态，这3个吸收带皆源于 电子在最高成键轨道和最低反键之间的跃迁。计算结果和实验测定值符合较好。

【1.21】函数

x x/a) x/a)是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。

a的

箱中粒子的一种可能状态。因为函数

1 x si n(xa/和 )2 x x/a)都是一维势箱中粒子的可能状态

解

数是长度为

（本征态），根据量子力学基本假设Ⅳ（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。 因为

H x H 2 1 x 3 2 x

2H 1 x 3H 2 x

h24h2

2 1 x 3 2 x

8ma28ma2 常数 x

x 所以，不是H的本征函数，即其能量无确定值，可按下述步骤计算其平均值。

' x 将归一化：设 x =c x ，即：

22

xdx c xdx c

x dx'0

a

a

2

a

2

a

2

x 所代表的状态的能量平均值为：

x2 x

c2 dx aa 0 13c2 1

1c2

13

a

E

x H x dx

'

'

0a

x2 x h2d2 2a 3a 8 2mdx2

0

x 2x 2si dx aa

a22aa22ch x15ch x2 x9c2h2222 x sindx sinsindx sindx332 maa2maaamaa000

5c2h25h2 2

ma13ma2

2

xE cEi求出 x 所 x 2i1也可先将和归一化，求出相应的能量，再利用式

代表的状态的能量平均值：

h222h240c2h240h215h22

E 4c 9c

8ma28ma28ma28ma21313ma2

2

02 原子的结构和性质

【2.1】氢原子光谱可见波段相邻4条谱线的波长分别为656.47、486.27、434.17和410.29nm，试通过数学处理将谱线的波数归纳成为下式表示，并求出常数R及整数n1、n2的数值。

R(

11 2)n12n2

解：将各波长换算成波数：

1 656.47nm v1 15233cm 1

2 486.27nm v2 20565cm 1

3 434.17nm v3 23032cm 1

4 410.29nm v4 24373cm 1

由于这些谱线相邻，可令n1 m，n2 m 1,m 2, 。列出下列4式：

15233

RR

m2 m 1 2

RR

20565 2

m m 2 223032

RR

m2 m 3 2

RR

24373 2

m m 4 2

(1)÷(2)得：

15233 2m 1 m 2 0.7407253205654 m 1 R 109678cm 1

2

用尝试法得m=2（任意两式计算，结果皆同）。将m=2带入上列4式中任意一式，得：

因而，氢原子可见光谱（Balmer线系）各谱线的波数可归纳为下式：

11 v R 2 2

n1n2 1

式中，R 109678cm,n1 2,n2 3,4,5,6。

【2.2】按Bohr模型计算氢原子处于基态时电子绕核运动的半径（分别用原子的折合质量和电子的质量计算并精确到5位有效数字）和线速度。

解：根据Bohr提出的氢原子结构模型，当电子稳定地绕核做圆周运动时，其向心力与核和电子间的库仑引力大小相等，即：

m n2e2

4 0rn2 n=1，2，3， rn

式中，m,rn, n,e,和 0分别是电子的质量，绕核运动的半径，半径为rn时的线速度，电子

的电荷和真空电容率。

同时，根据量子化条件，电子轨道运动的角动量为： 将两式联立，推得：

m nrn

nh2

2

eh2 0n2

rn n

22h 0n me；

当原子处于基态即n=1时，电子绕核运动的半径为：

h2 0

r1

me2 18 6.626

34

1J0 s

2 31

22

8.8 54 119C 1J0 1 m

1

若用原子的折合质量 代替电子的质量m，则：

9.109 531kg0 1.6 021C9 10

19

2

52.91pm8

基态时电子绕核运动的线速度为：

h2 0m52.918pm

r1 52.918pm 52.947pm2

e 0.99946

e2 1

2h 0

1.60219 10 19C

2

2 6.62618 10 34J s 8.85419 10 12C2 J 1 m 1

6

s 1 2.1877 10m

【2.3】对于氢原子：

(a)分别计算从第一激发态和第六激发态跃迁到基态所产生的光谱线的波长，说明这些谱线所属的线系及所处的光谱范围。

(b)上述两谱线产生的光子能否使：（i）处于基态的另一氢原子电离？（ii）金属铜中的铜原子电离（铜的功函数为7.44 10

19

J）？

(c)若上述两谱线所产生的光子能使金属铜晶体的电子电离，请计算出从金属铜晶体表面发射出的光电子的德补罗意波的波长。 解：(a)氢原子的稳态能量由下式给出：

En 2.18 10 18

1

J2

n

式中n是主量子数。

第一激发态(n＝2)和基态(n＝1)之间的能量差为：

E1 E2 E1 ( 2.18 10 18

原子从第一激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：

1 181 18

J) ( 2.18 10 J) 1.64 10J2221

第六激发态(n＝7)和基态(n＝1)之间的能量差为：

ch(2.9979 108m s 1) (6.626 10 34J s)

1 121nm

E11.64 10 18J

E6 E7 E1 ( 2.18 10 18

1 181J) ( 2.18 10 2J) 2.14 10 18J2

71

所以原子从第六激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：

ch(2.9979 108m s 1) (6.626 10 34J s)

6 92.9nm 18

E62.14 10J

这两条谱线皆属Lyman系，处于紫外光区。

（b）使处于基态的氢原子电离所得要的最小能量为：

ΔE∞=E∞-E1=-E1=2.18×10J

而 ΔE1=1.64×10J<ΔE∞ ΔE6=2.14×10J<ΔE∞

所以，两条谱线产生的光子均不能使处于基态的氢原子电离，但是 ΔE1>ФCu=7.44×10J

ΔE6>ФCu=7.44×10J

所以，两条谱线产生的光子均能使铜晶体电离。

（c）根据德布罗意关系式和爱因斯坦光子学说，铜晶体发射出的光电子的波长为：

-19-19

-18-18

-18

hh pmv

式中ΔE为照射到晶体上的光子的能量和ФCu之差。应用上式，分别计算出两条原子光谱线照射到铜晶体上后铜晶体所发射出的光电子的波长：

'1

6.626 10 34J s

31 18 19

(2 9.1095 10kg) (1.64 10J 7.44 10J)

6.626 10 34J s

12

519pm

6'

31 18 19

(2 9.1095 10kg) (2.14 10J 7.44 10J)

1

2

415pm

【2.4】请通过计算说明，用氢原子从第六激发态跃迁到基态所产生的光子照射长度为

1120pm的线型分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2，该分子能否产生吸收光谱。若能，

计算谱线的最大波长；若不能，请提出将不能变为能的思路。

解：氢原子从第六激发态（n=7）跃迁到基态（n=1）所产生的光子的能量为：

1148 eV 13.595 eV 13.595 eV 227149

6 1

mol 13.32eV 1.285 10J

而CH2CHCHCHCHCHCHCH2分子产生吸收光谱所需要的最低能量为：

EH 13.595

22

52h24hh2

EC8 E5 E4 9 22

8ml8ml8ml2

9 6.626 10 34J s

2

2

19

4.282 10J

5

mol 1 2.579 10J

8 9.1095 10 31kg 1120 10 12m

显然 EH EC8，但此两种能量不相等，根据量子化规则，

CH2CHCHCHCHCHCHCH2不能产生吸收光效应。若使它产生吸收光谱，可改换光源，

例如用连续光谱代替H原子光谱。此时可满足量子化条件，该共轭分子可产生吸收光谱，其吸收波长为：

hc

E

6.626 10 34J s 2.998 108m s 1

9 6.626 10 34J s

2

2

8 9.1095 10 31kg 1120 10 12m

460nm

【2.5】计算氢原子 1s在r a0和r 2a0处的比值。 解：氢原子基态波函数为：

3/2

ra0

1 1s

a0

e

该函数在r=a0和r=2a0处的比值为：

3/2

2 1而s在在r=a0和r=2a0处的比值为：

0

e 1

2 e 2.718280

e1 a0

ea0

a

e≈7.38906

【2.6】计算氢原子的1s电子出现在r 100pm的球形界面内的概率。

2

nax xneaxnn 1ax

xedx xedx c

aa

解：根据波函数、概率密度和电子的概率分布等概念的物理意义，氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面内的概率为：

100pm 2

P

000

2

1s

d

2r

100pm

100pm 2

1 a021ersin drd d a03 a03

re

2

2ra0

2

dr sin d

d

4 a0

100pm

02ra0

re

2

2ra0

4dr

a0

r 2a0r2a02ra03 a0 e

224 0100pm

100pm

那么，氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面之外的概率为1-0.728=0.272。

00r【2.7】计算氢原子的积分：

时的r值，说明在该r值以内电子出现的概率是90%。

2r22r e 2 1

a0 a0 0

0.72 8

2

P(r)

12sr2sin drd d

，作出P(r) r图，求P(r)=0.1

P r

解：

2

22

1 srsin drd d 00r2

2

2

r 2

rsin drd d 0r2 2r

d sin d

r

1

e 2rr2dr

12 2r 2r

4 redr 4 re redr rr 2

12 2r1 2r1 2r 4 re re edr

22r

2

111 4 r2e 2r re 2r e 2r

24 2 r

根据此式列出P(r)-r数据表： r/a0 0 0.5 1.0 1.5 P(r) 1.000 0.920 0.677 0.423 根据表中数据作出P(r)-r图示于图2.7中： 由图可见：r 2.7a0时，P r 0.1 r 2.7a0时，P r 0.1 r 2.7a0时，P r 0.1

e 2r 2r2 2r 1

2.0

0.238 2.5 0.125 3.0 0.062 3.5 0.030 4.0 0.014

即在r=2.7a0的球面之外，电子出现的概率是10%，而在r=2.7a0的球面以内，电子出现的概率是90%，即：

2 2.7a0

00

12sr2sin drd d 0.90

P(r)

r/a0

图2.7 P(r)-r图

【2.8】已知氢原子的归一化基态波函数为

3

1s a0

1/2

exp r/a0

(a)利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量； (b)利用维里定理求该基态的平均势能和零点能。

解：（a）根据量子力学关于“本征函数、本征值和本征方程”的假设，当用Hamilton算符作用于ψ1s时，若所得结果等于一常数乘以此ψ1s,则该常数即氢原子的基态能量E1s。氢原子的Hamiltton算符为：

22

he2 H 28 m4 0r

与θ，ф无关： 由于ψ1s的角度部分是常数，因而H

h21 2 e2

H 2 r 2

8 mr r r 4 0r

作用于ψ1s，有： 将H

h21 2 e2 H 1s 22 r 1s 8 mr r r4 r 0 22h1 2 e 2r 1s 1s2

8 mr r r 4 0r

2

h21 e22 22r 1s r 1s 1s

2 2

8 mr r r 4 0r

r5 r h21e2 72 2 2r a0e r ae 1s

8 mr24 0r

h2 r 2a0 e2 1s22

8 mra4 r00

h2e2 22 2 1s

8 ma4 a000 （r=a0）

所以

h2e2

E1 22 2

8 ma4 a000

=

-18

=-2.18×10J 也可用

d E 1*sH1s

进行计算，所得结果与上法结果相同。

2

注意：此式中d 4 rdr。

将角动量平方算符作用于氢原子的ψ1s，有：

1 2 h 1 a03 M 1s sin ae 0

sin2 2 2 sin

2r

2

=0ψ1s

所以

2

M=0 |M|=0

不含r项，而ψ1s不含θ和ф，角动量平方当然为0，角动此结果是显而易见的：M

2

量也就为0。

通常，在计算原子轨道能等物理量时，不必一定按上述作法、只需将量子数等参数代人简单计算公式，如：

En 2.18 10M 即可。

18

Z*

2Jn

1

（b）对氢原子，V r，故：

12

E1s T

11 22

2E1s 2 ( 13.6eV)

27.2eV

T

此即氢原子的零点能。

11

( ) ( 27.2eV) 13.6eV22

2p

【2.9

】已知氢原子的(a)原子轨道能E=?

z

r r

exp a0 a0 cos ，试回答下列问题：

(b)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|μ|=? (c)轨道角动量M和z轴的夹角是多少度？

(d)列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。 (e)节面的个数、位置和形状怎么样？ (f)概率密度极大值的位置在何处？ (g)画出径向分布示意图。 解：（a）原子的轨道能：

E 2.18 10 18J

（b）轨道角动量：

1

5.45 10 19J22

M 轨道磁矩：

（c）轨道角动量和z轴的夹角：

e

h

M 0cos z

hM 2 ， 90

0

（d）电子离核的平均距离的表达式为：

*

r 2pzr 2pzd

0，得：

（e）令2p

z

2

22 2r rsin drd d p

z

r=0，r=∞，θ=90

2p的节面只有一个，即xy平面（当然，坐标原点

也包含在

xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分Y 0，求得θ=90。

节面或节点通常不包括r=0和r=∞，故

z

（f）几率密度为：

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