2007(1)工科高数试卷

2007（1）工科高数期末考试试卷

一、填空题（每题3分，共15分）

ln(x2?3x?4)1、函数y?的定义域是________. xe1?x3x)?_______. 2、极限lim(x??xx23、设y?(arccos)，则dy?_______.

24、不定积分?5、反常积分

二、单项选择题（每题3分，共15分）

x4?3x??2dx?_________.

?0exdx?____. 2xe?11?2?xsin,x?0,则f(x)在点x?0处（ ） x1、设f(x)???x?0?0,f(x)不存在 A. limx?0f(x)存在，但f(x)在点x?0处不连续 B. limx?0C. f'(0)存在 D. f(x)在点x?0处连续，但不可导

2y?x?x?2在点M处的切线斜率为3，则点M处2、设曲线

的坐标为（ ）

A. （0，0） B. （1，1） C.（1，0） D.（0，1）

1

3、下列函数中，在区间[-2，2]上满足罗尔定理条件的是（ ）

A. y?1?cosx B. y?ln(x2?1)

C. y?1?x D. y?x3?1

4、设?x0f(t)dt?xsinx，则f(x)?()

A.sinx?xcosx B. sinx?xcosx C.xcosx?sinx D. ?(sinx?xcosx)

5、设f(x)在区间[-a, a]上连续，下列等式中正确的是（aA.

?a?af(x)dx???af(?x)dx B.

?aa?af(x)dx?2?0f(x)dxaC. ?a?af(x)dx????af(?x)dx D.

?a?af(x)dx?0

三、计算题（每题7分，共49分） 1、求极限 lim(1x?0sin2x?1x2). ??1xsinx,x?0?2、设函数 f(x)??k,x?0?，（k??xsin1为常数）。x?1x,?0问k为何值时，f(x)在其定义域内连续？

3、求不定积分?lnxx2dx.

2

）

?x?f'(t)4、设由参数方程?，确定

y?tf'(t)?f(t)?y是

x的函数，

d2y其中f\t)存在且不为零，求 2. dxy22arccos?x?y5、设由方程（x?0）确定的隐含数

xdyy?y(x)，求 .

dxx?(arctanx)2dx. 6、计算定积分??121?x17、计算定积分

?1201?x2dx. 1?x四、解答题（每题7分，共21分）

2(x?1)1、证明不等式：当x?1时，lnx?x?1

?ty?te2、设?dt，求

0xy的单调区间、极值和曲线y的拐点.

3、过原点作曲线

y?lnx的切线，求该切线与曲线y?lnx及

x轴所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所

生成的旋转体的体积.

2007学年第 2 学期 考试科目： 高等数学AⅡ （工科）

一、 1．?1??1x?13x 2. y(xlny?1) 3. 负号 4. e?c1cosx?c2sinx? 5. 223

二、 1. D 2. A或 C 3. B 4. A 5. B

i三、1、解：α?β?3?1?(?1)?2?(?2)?(?1)?3, (1分) α?β?3jk?1?212?1(4

分)

(2分)

?1?23?23?1?i?j?k 2?11?112

?5i?j?7k. (5分)

(α?β)β?(α?β)?3???(5i?j?7k) ?(9i?3j?6k)?(5i?j?7k) ?4i?2j?13k

(7分)

2、设F(x,y,z)?x2?y2?z2?4z?2008，Fx?2x,Fy?2y,Fz?2z?4 (3分)

xy?zx?zydx?dy。 (7?,?. (6分) dz?2?z2?z?x2?z?y2?z分)

3、解：在(?分 )

333,?1,)处登山，最陡方向是z?5?x2?2y2 在(?,?1)的梯度方向．(3242

(7分)

3gradz(?,?1)?(?2xi?4yj)3 =3i?4j

(?,?1)224、解：

?10dx?ex1?y2dy??dx?e001y?y2dy (3分)

( 4分) ???ye?ydy012

1?1??1?? 2?e? (7分)

22225、解:?在xOy面上的投影区域Dxy为圆形闭区域(x,y)|x?y?a?h。 (1分)

????zdS???adxdy

?Dxy

22( 5分) ??aa?h。 (7分)

??t2n?32n?1?nt?3?t2 6、解：令x?2?t，考虑级数?(?1) ?lim2n2nn??t?12n?1n?12n?1?当t2?1即t?1时，亦即1?x?3时所给级数绝对收敛；

(3分)

4

当t?1即x?3或x?1时，原级数发散；当t??1即x?1时，级数(5分)

当t?1即x?3时，级数

( 7分)

?(?1)n?1?n?11收敛； 2n?1?(?1)nn?1?1收敛；?级数的半径为R=1，收敛域为[1，3]。2n?17、解：变量分离为

dy1?y21?lnx?dx??x (3分)通解为

arcsiyn?12ln?C。(7分) ??1x?2四、解：设水箱的长为x米? 宽为y米? 则其高应为

8米? 此水箱所用材料的面积为 xy 3分

S?2(xy?y?8888?x?)?2(xy??) (x?0, y?0)， xyxyxy88)?0? S?2(x?)?0? 得x?2? y?2? y22xy

令Sx?2(y?6分

即当水箱的长为2米、宽为2米、高为

8?2米时? 水箱所用的材料最省。 2?27分

五、解：利用曲线的参数方程计算。L的参数方程为x?acos?,y?asin?，?是从?到0。2分

所以 分。

222?:z?0(x?y?a)，取上侧，得 六、解：添加辅助曲面1? L ydx?xdy?a2?cos2?d??0。 (

? 06分 )备注：其他方法和酌情给

???1???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy??(???1)????x3dydz?y3dzdx?z3dxdy

2分

?(???)其中1表示由?和?1所围成的立体?的取外侧的整个边界曲面，由高斯公式得

?(???1)????3222x3dydz?y3dzdx?zdxdy??3???x?y?zdxdydz

? 4分

由球面坐标得 ?36222x?y?zdxdyd?z?????5?， a5(6分)

所以

65333xdydz?ydzdx?zdxdy???a??5???1。又

5

??xdydz?0,??ydzdx?0,??zdxdy?0,

?1?1?1333所以

6565333xdydz?ydzdx?zdxdy???a?0???a ??55?

6

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