函数单调性学案
更新时间:2024-04-17 17:27:01 阅读量: 综合文库 文档下载
2.1.3函数的单调性(学案)
开封二十五中学 唐红星 一、三维目标
(一)、知识与技能
1、理解函数单调性的概念,会根据函数的图像判断函数的单调性; 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 (二)、过程与方法
通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力。 (三)情感态度与价值观
通过问题链的引入,激发学生学习数学的兴趣,锻炼克服困难的意志,激励学习数学的自信心。
二、教学重点
领会函数单调性的实质,明确单调性是一个局部概念。
三、教学难点
利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性。
四、教学过程
(一)创设情景,引入新课
引例1、为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况,数学小组研究了2002年到2007
年每年这一天的天气情况,如图是北京市2007年8月8日一天24小时内气温随时间的变化曲线图:
请回答下列问题:
1.当天的最高(最低)气温出现的时刻 ? 2.在某时刻的温度? 3.什么时段温度持续升高(降低)?
引例2、画出函数 y=x, y=1/x, y= x2 的图像
思考:1、图像1,2的变化趋势是什么?图像3呢?
2、如何用数学语言来描述函数的上升、下降呢 ?如何用表格中对应值描述呢?
1
(二)新课讲解:
打开课本第44页,把增函数、减函数、单调性、单调区间的定义阅读一遍思考下列问题:
1、这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致?如果一致,定义中是怎样描述的?
2、定义中的关键词有哪些?为什么? (1)
判断:1、函数f(x)= x2在(-∞,+∞)上为单调函数。 2、函数f(x)=x在x=5时单调递增。 (2)
判断:1、若f(x)在R上为增函数,则f(10)>f(1)。
2、定义在R上的函数f(x)满足f(10)>f(1),则f(x)在R上为增函数。
(三)、例题讲解:
例1:如图所示的是定义在闭区间[-5,5]上的函数f(x)的图象,根据图象说出f(x)的单调区间,并回答:在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数?
思考:【-5,-2】是单调减区间,则(-4,-3)也是单调减区间吗?
变式练习:如图,已知函数y=f(x)的图像(包括端点),根据图像说出函数的单调区间以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数?
图5
2
例2 : 证明函数f(x)=2x+1在(-∞,+∞)上是增函数.
变式练习:证明:(1)函数y=
1在(-∞,0)上为减函数。 x1(2)函数y= 在(0,+∞)上为减函数。
x Y
1y?x
思考:
11、函数f(x)= 的定义域是什么?
x12、能否说f(x)= 在它的定义域上是减函数,为什么?
x3.根据两个例题的证明,你能否给出证明函数单调性的一般步骤,在这些步骤中你认为最关键的地方是什么?
14.有同学证明f(x)?在(0,??)上是减函数时是这样证的,你是否认可其作法,为什
x么?
x 证明:设0?x1?x2,则
111?,即f(x1)?f(x2),根据定义可得f(x)?在(0,??)上
xx1x2是减函数
(四)随堂练习:
1.在(-∞,0)上是减函数的是( )
14A.y=1-x2 B. y=- C. y=x-1 D. y=
xx3
2.在区间(0,+∞)上是增函数的是( )
2A.y=-2x+1 B. y=-3x2+1 C. y= D. y=2x2+1
x
3. 函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则k的取值范围是
4.已知函数f(x)在R上是增函数,若f(3x+1)<f(x-2),则x的取值范围为
5.(1)函数y=f(x)在区间(1,2]和[2,3)上均为增函数,则该函数在区间(1,3)上是增函数?
(2)函数y=f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则该函数在区间(1,3)上是增函数? 6.(选做题)已知函数y=f(x)的图像,关于y轴对称,且在区间[0,3]上是减函数,比较f(-1),f(3),f(4)的大小。
一. 当堂训练
1. y?f(x)在定义域(?1,1)上是减函数,且f(1?a)?f(3a?1),求a的取值范围
2.(独立完成) 函数f(x)??x2?ax?3在区间(??,?1]上是增函数,求a的取值范围
3.(分组合作完成)求函数f(x)?
x在[2,5]上的最大值和最小值 x?1
4
环节三 课后巩固
1. 下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 ( )
4A.y??3x?1 B. y?3x C.y?x2?4x?3 D.y?
x2.设函数f(x)在(??,??)上为减函数,则 ( )
A.f(a)?f(2a) B.f(a2)?f(a) C.f(a2?a)?f(a) D.f(a2?1)?f(a) 3.函数f(x)?|x|的减区间是____________________.
14.如果函数f(x)?x2?(a?1)x?5在区间(,1)上是增函数,那么f(2)的取值范围是
2__________________.
5.利用函数单调性定义证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
6.完成课后练习A第3,4题,习题2-1A第5题
(五)、课堂小结
五、课后反思
5
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