函数单调性学案

2.1.3函数的单调性（学案）

开封二十五中学 唐红星 一、三维目标

（一）、知识与技能

1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性； 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 （二）、过程与方法

通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 （三）情感态度与价值观

通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，锻炼克服困难的意志，激励学习数学的自信心。

二、教学重点

领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。

三、教学难点

利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性。

四、教学过程

（一）创设情景，引入新课

引例1、为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况,数学小组研究了2002年到2007

年每年这一天的天气情况,如图是北京市2007年8月8日一天24小时内气温随时间的变化曲线图:

请回答下列问题：

1.当天的最高(最低)气温出现的时刻 ？ 2.在某时刻的温度？ 3.什么时段温度持续升高(降低)？

引例2、画出函数 y=x, y=1/x， y= x2 的图像

思考：1、图像1，2的变化趋势是什么？图像3呢？

2、如何用数学语言来描述函数的上升、下降呢 ？如何用表格中对应值描述呢？

1

（二）新课讲解：

打开课本第44页，把增函数、减函数、单调性、单调区间的定义阅读一遍思考下列问题：

1、这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？

2、定义中的关键词有哪些？为什么？ （1）

判断：1、函数f（x）= x2在（-∞，+∞）上为单调函数。 2、函数f（x）=x在x=5时单调递增。 （2）

判断:1、若f（x）在R上为增函数，则f（10）>f（1）。

2、定义在R上的函数f（x）满足f（10）>f（1）,则f（x）在R上为增函数。

（三）、例题讲解：

例1：如图所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？

思考：【-5，-2】是单调减区间，则（-4，-3）也是单调减区间吗？

变式练习：如图，已知函数y=f(x)的图像（包括端点），根据图像说出函数的单调区间以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数？

图5

2

例2 ： 证明函数f（x）=2x+1在（-∞，+∞）上是增函数．

变式练习：证明：（1）函数y=

1在（-∞，0）上为减函数。 x1（2）函数y= 在（0，+∞）上为减函数。

x Y

1y?x

思考：

11、函数f(x)= 的定义域是什么？

x12、能否说f(x)= 在它的定义域上是减函数，为什么？

x3.根据两个例题的证明，你能否给出证明函数单调性的一般步骤，在这些步骤中你认为最关键的地方是什么？

14.有同学证明f(x)?在(0,??)上是减函数时是这样证的，你是否认可其作法，为什

x么？

x 证明：设0?x1?x2，则

111?，即f(x1)?f(x2)，根据定义可得f(x)?在(0,??)上

xx1x2是减函数

（四）随堂练习：

1．在（-∞，0）上是减函数的是（ ）

14A．y=1-x2 B. y=- C. y=x-1 D. y=

xx3

2．在区间（0，+∞）上是增函数的是（ ）

2A．y=-2x+1 B. y=-3x2+1 C. y= D. y=2x2+1

x

3. 函数y=(2k+1)x+b在(-∞，+∞)上是减函数,则k的取值范围是

4．已知函数f(x)在R上是增函数,若f(3x+1)＜f(x-2)，则x的取值范围为

5．(1)函数y=f(x)在区间(1,2]和[2,3)上均为增函数,则该函数在区间(1,3)上是增函数?

(2)函数y=f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则该函数在区间(1,3)上是增函数? 6．（选做题）已知函数y=f(x)的图像，关于y轴对称，且在区间[0，3]上是减函数，比较f(-1),f(3),f(4)的大小。

一． 当堂训练

1. y?f(x)在定义域(?1,1)上是减函数，且f(1?a)?f(3a?1),求a的取值范围

2.(独立完成) 函数f(x)??x2?ax?3在区间(??,?1]上是增函数，求a的取值范围

3.（分组合作完成）求函数f(x)?

x在[2，5]上的最大值和最小值 x?1

4

环节三 课后巩固

1. 下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （ ）

4A.y??3x?1 B. y?3x C.y?x2?4x?3 D.y?

x2.设函数f(x)在(??,??)上为减函数，则 ( )

A.f(a)?f(2a) B.f(a2)?f(a) C.f(a2?a)?f(a) D.f(a2?1)?f(a) 3．函数f(x)?|x|的减区间是____________________.

14．如果函数f(x)?x2?(a?1)x?5在区间(,1)上是增函数，那么f(2)的取值范围是

2__________________.

5．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

6.完成课后练习A第3，4题，习题2-1A第5题

（五）、课堂小结

五、课后反思

5

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