1.3.1 利用导数判断函数的单调性
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利用导数判断函数的单调性
日照实验高中2007级数学导学案---导数
利用导数判断函数的单调性
证法一:(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=
1 1 x2 x1 = x1 x2 x1 x2
教师备课 学习笔记
∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0
∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴
x2 x1 >0 x1 x2∴f(x)=
∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 证法二:(用导数方法证) ∵f′(x)=(
1 在(0,+∞)上是减函数. x
1 1 - )′=(-1)·x 2=- 2 ,x>0, x x 1 1 <0. ∴f′(x)<0,∴f(x)= 2 在(0,+∞)上是减函数. 2 x x
∴x2>0,∴-
例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解:y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<x< ∴y=x2(1-x)3 的单调增区间 是(0,
2 . 5
2 2 ) 令 x(1-x)2(2-5x)<0,解得 x<0 或 x> 且 x≠1. 5 5 2 ,+∞) 5
∵ x = 1 为拐点
,∴y=x2(1-x)3 的单调减区间是(-∞,0),(
5.求 例 5. f ( x) = ln
1 + x2 的单调递增区间 1 x22
解:由函数的定义域可知, 1 x > 0
即 1 < x < 1
又
f ( x) = ln
1 + x2 1 = [ln(1 + x 2 ) ln(1 x 2 )] 2 1 x 2
所以 f ′( x ) =
1 2x 2 x x x ( )= + 2 2 2 2 1+ x 1 x 1 + x 1 x2 x < 1 或 0 < x < 1
令 f ′( x ) > 0 ,得
利用导数判断函数的单调性
综上所述, f ( x ) 的单调递增区间为(0,1) 课堂巩固: 课堂巩固:
教师备课 学习笔记
1 的单调递增区间是( ) x 1 B ( ,+∞) C ( ∞, 1) D A (0,+∞) 2 2.已知函数 y = x 3 3 x ,则它的单调递减区间是(1.函数 y = 4 x +2
1 ( ∞, ) 2)
A. ( ∞,0) 3. 函数 4.当 k ∈ 归纳反思: 归纳反思: 反思
B. ( 1,1)
C.
(0,+∞)
D. ( ∞, 1) 及 (1,+∞)
f ( x) = ln( x 2 x 2) 的单调递增区间是__________________.时, f ( x) = x 3 + kx 2 在 [0, 2] 上是减函数.
合作探究: 合作探究: 探究1.求函数 f ( x ) = 2 x ln x 的单调区间2
利用导数判断函数的单调性
2.已知函数 f ( x) = x 3 + bx 2 + cx + d 的图象过点 P (0, 2) ,且在点
M ( 1, f ( 1)) 处的切线方程为 6 x y + 7 = 0 。(1)求函数 y = f ( x) 的解析式; (2)求函数 y = f (x ) 的单调区间。
教师备课 学习笔记
利用导数判断函数的单调性
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