导数的应用--单调性-知识讲解 -

导数的应用一---函数的单调性

要点一、函数的单调性与导数的关系：我们知道，如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说f(x)在这一区间具有单调性，先看下面的例子：

函数y?f(x)?x?4x?3的图象如图所示。考虑到曲线y?f(x)的切线的斜率就是函数f(x)的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即f'(x)?0时，

2f(x)为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即f'(x)?0时，f(x)为减函数。

导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数y?f(x)在某个区间内有导数，则在这个区间上，

①若f?(x)?0，则f(x)在这个区间上为增函数； ②若f?(x)?0，则f(x)在这个区间上为减函数； ③若恒有f?(x)?0，则f(x)在这一区间上为常函数.

反之，若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有f?(x)?0恒成立（但不恒等于0）；若f(x)在某区间上单调递减，则在该区间上有f?(x)?0恒成立（但不恒等于0）．

要点诠释：1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上f?(x)?0，即切线斜率为正时，函数f(x)在这个区间上为增函数；当在某区间上f?(x)?0，即切线斜率为负时，函数f(x)在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。

2.若在某区间上有有限个点使f'(x)?0，在其余点恒有f'(x)?0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）。即在某区间上，f?(x)?0?f(x)在这个区间上为增函数；

f?(x)?0?f(x)在这个区间上为减函数，但反之不成立。

3. f(x)在某区间上为增函数?在该区间f?(x)?0；

f(x)在某区间上为减函数?在该区间f?(x)?0。

在区间(a,b)内，f'(x)?0（或f?(x)?0）是f(x)在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 例如：f(x)?x?f'(x)?3x?0，f'(0)?0,f'(x)?0(x?0)，而f(x)在R上递增. 4.只有在某区间内恒有f?(x)?0，这个函数y?f(x)在这个区间上才为常数函数. 5.注意导函数图象与原函数图象间关系.

要点二、利用导数研究函数的单调性——利用导数判断函数单调性的基本方法

设函数y?f(x)在区间（a，b）内可导，（1）如果恒有f'(x)?0，则函数f(x)在（a，b）内为增函数；

1

32（2）如果恒有f'(x)?0，则函数f(x)在（a，b）内为减函数； （3）如果恒有f'(x)?0，则函数f(x)在（a，b）内为常数函数。 要点诠释：

（1）若函数f(x)在区间（a，b）内单调递增，则f'(x)?0，若函数f(x)在（a，b）内单调递减，则f'(x)?0。 （2）f'(x)?0或f'(x)?0恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：a?g(x)或a?g(x)。 要点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤

（1）确定函数f(x)的定义域； （2）求导数f'(x)；

（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)?0或f'(x)?0； （4）确定f(x)的单调区间。或者：

令f'(x)?0，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内f?(x)的符号。

要点诠释： 1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。 2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。

【典型例题】

类型一：求函数的单调区间 例1、确定函数

f(x)?2x3?6x2?7的单调区间.

2【解析】f'(x)?6x?12x?6x(x?2)。令f'(x)?0，得x＜0或x＞2，

∴当x＜0或x＞2时函数f(x)是增函数。因此，函数f(x)的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞）。 令f'(x)?0，得0＜x＜2。∴函数f(x)在（0，2）上是减函数，其单调递减区间为（0，2）。 【点评】（1）解决此类题目，关键是解不等式f'(x)?0或f'(x)?0。

（2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。

【变式1】求下列函数的单调区间：（1）f(x)?x?2x?x （2）f(x)?3x?2lnx(x?0)；

（3）f(x)?sinx(1?cosx)(0?x?2?)；

2322【答案】（1）f'(x)?3x?4x?1。令3x2―4x+1＞0，解得x＞1或x?1。 31?x?1。 3因此，y=x3－2x2+x的单调递增区间为（1，+∞）和(??,)。再令3x2－4x+x＜0，解得

13 2

因此，y=x3－2x2+x的单调递减区间为?,1?。

?1??3?23x2?13x2?1?0， 结合（2）函数的定义域为（0，+∞），f'(x)?6x??2?。 令f'(x)?0，即2?xxx3x2?133?0， 结合x＞0，可解得0?x?x＞0，可解得x?； 令f'(x)?0，即2?。 x33?3??3?∴f(x)的单调递增区间为??3,????，单调递减区间为??0,3??。

????（3）f'(x)?cosx(1?cosx)?sinx(?sinx)?2cosx?cosx?1?2(cosx?1)(cosx?1)。 ∴0≤x≤2π，∴使f'(x)?0的x1?2?3，x2??，x3?5?，则区间[0，2π]被分成三个子区间。如表： 3π ? x 0 ? ? 30 ? 5? 30 ? 2? f'(x) f(x) + ? － ? 0 － ? + ? ?cosx)所以函数f(x)?sinx(1（0≤x≤π）的单调递增区间为?0,??和?5?,2??，单调递减区间为

?????3???3??5?,??。 ?3?3?例2. 求函数y?x?ax （a∈R）的单调区间。

【解析】 y'?3x?a① 当a≥0时，y＇≥0，函数y?x?ax在（－∞，+∞）上为增函数。

233???3a???3a?3a② 当a＜0时，令3x+a=0得x??，∴y＇＞0的解集为???,???????3,????。 33????2

y＇＜0的解集为??????3a?3a?,。 ??33?????3a???3a?3a?3a?∴函数y?x?ax的单调增区间是???,????和??3,????，减区间是???3,3??。 3??????3综上可知：当a≥0时，函数y?x?ax在（－∞，+∞）上单调递增。当a＜0时，函数y?x?ax在

33????3a???3a?3a?3a???,?,???,和上单调递增，在上单调递减。 ????????????3??333????

3

【点评】（1）解决此类题目，关键是解不等式f'(x)?0或f'(x)?0，若f'(x)中含有参数，往往要分类讨论。（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优先考虑的原则。

【变式】已知函数f(x)＝ex－ax－1，求f(x)的单调增区间。

【答案】 f′(x)＝ex－a，若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a.

∴当a≤0时，即f(x)递增区间是R；当a>0时，f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．

类型二：判断、证明函数的单调性 例3．当x?0时，求证：函数f(x)?x?12x?lnx是单调递减函数. 2213(x?)2?1x?x?1x?x?124 【解析】 f'(x)?1?x??????xxxx213?x?0，(x?)2??0，∴f'(x)?0，故函数f(x)在(0，??)上是单调递减函数.

24【点评】 判断、证明函数的单调性的步骤：1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号,下

结论。

【变式1】当x?0时，求证：函数f(x)?x?12x?ln(1?x)是单调递减函数. 211?x2?1x22???【答案】f'(x)?1?x? ?x?0，∴x?1?0，x?0， x?1x?1x?1??)上是单调递减函数. ∴f'(x)?0，故函数f(x)在(0，【变式2】（2007年浙江卷）设f?(x)是函数f(x)的导函数，将y?f(x)和y?f?(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）【答案】D

y y y

O O O x x

A． B． C． 例4．已知函数f(x)?ax?3x?1?32y x O D．

x 3, 讨论函数f(x)的单调性. a2a2． a2【解析】由题设知a?0,f?(x)?3ax?6x?3ax(x?)．令f?(x)?0得x1?0,x2?（i）当a>0时，若x?(??,0)，则f?(x)?0，所以f(x)在区间(??,0)上是增函数；

若x?(0,)，则f?(x)?0，所以f(x)在区间(0,)上是减函数； 若x?(,??)，则f?(x)?0，所以f(x)在区间(,??)上是增函数；

4

2a2a2a2a（ii）当a＜0时，若x?(??,)，则f?(x)?0，所以f(x)在区间(??,)上是减函数；

若x?(,0)，则f?(x)?0，所以f(x)在区间(,0)上是增函数； 若x?(0,??)，则f?(x)?0，所以f(x)在区间(0,??)上是减函数．

【点评】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0。（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f'(x)的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力。（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了。

【变式】已知函数，f(x)?x?2a2a2a2a2?1?alnx, a＞0 ，讨论f(x)的单调性. xw

【答案】由于f(x)?1?22a1?t?得y?2t2?at?1(t?0)，令2xxxw.w.w.k.s.5.u.c.o.m

① 当??a?8?0,即0?a?22时, f(x)?0恒成立.?f(x)在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.

2② 当??a?8?0,即a?22时w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a?a2?8a?a2?8由2t?at?1?0得t?或t?442w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

a?a2?8a?a2?8或x?0或x? ?0?x?44a?a2?8a?a2?8a?a2?8a?a2?8又由2t?at??0得 ?t???x?44222综上 当0?a?22时, f(x)在(??,0)及(0,??)上都是增函数.

a?a2?8a?a2?8当a?22时, f(x)在(,)上是减函数,

22a?a2?8a?a2?8在(??,0)(0,)及(,??)上都是增函数.

22 w.w.

类型三：已知函数单调性，求参数的取值范围

例5．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围； 【解析】 (1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.由f′(x)≥0，得a≤

31(x?) 2x记t(x)＝

313(x?)，当x≥1时，t(x)是增函数，∴ t(x)min＝(1－1)＝0.∴ a≤0. 2x2【点评】（1）f(x)在某区间上为增函数?在该区间f?(x)?0；f(x)在某区间上为减函数?在该区间

5

（2）a?f(x)恒成立，则a?f(x)max；a?f(x)恒成立，只需a?f(x)min，这是求变量af?(x)?0。的范围的常用方法。

【变式1】已知函数 f(x)?4x?ax?'2223x(x?R)在区间??1,1?上是增函数，求实数a的取值范围． 3'【答案】f(x)?4?2ax?2x，因为f?x?在区间??1,1?上是增函数，所以f(x)?0对x???1,1?恒成立，即x?ax?2?0对x???1,1?恒成立，解之得：?1?a?1，所以实数a的取值范围为??1,1?．

2【变式2】已知向量a=（x，x+1），b=（1―x，t），若函数f(x)?a?b在区间（―1，1）上是增函数，求t的取值范围。

【答案】 解法一：依定义f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t，则 f'(x)??3x?2x?。t

若f(x)在（―1，1）上是增函数，则在区间（―1，1）上有f'(x)?0。 ∴f'(x)?0?t?3x?2x在区间（―1，1）上恒成立。

2考虑函数g(x)?3x?2x，由于g(x)在图象的对称轴为x?2232221，且g(x)在开口向上的抛物线，故要使t3≥x2―2x在区间（―1，1）上恒成立?t?g(?1)，即t≥5。

解法二：依定义f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t，f'(x)??3x?2x?t。

若f(x)在（－1，1）上是增函数，则在区间（－1，1）上有f'(x)?0。∵f'(x)的图象是开口向下的抛

2322'?1)物线，∴当且仅当f'(1)?t?1?0，且f(?t5?0?时，f'(x)在（―1，1）上满足f'(x)?0，即f(x)在（―1，1）上是增函数。故t的取值范围是t≥5。 【变式3】设f(x)?13ax?x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间. 3【答案】f'(x)?ax?1（1）当a?0时，则f'(x)?0恒成立，

此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为(??,??)，不合题意；

2（2）当a?0时，f'(x)?0???1111?x??，f'(x)?0?x???或x?? aaaa1a1)； a∴当a?0时，函数有三个单调区间，增区间为：(??,?减区间为：(??，-?11)，(?,??). aa 6

（2）a?f(x)恒成立，则a?f(x)max；a?f(x)恒成立，只需a?f(x)min，这是求变量af?(x)?0。的范围的常用方法。

【变式1】已知函数 f(x)?4x?ax?'2223x(x?R)在区间??1,1?上是增函数，求实数a的取值范围． 3'【答案】f(x)?4?2ax?2x，因为f?x?在区间??1,1?上是增函数，所以f(x)?0对x???1,1?恒成立，即x?ax?2?0对x???1,1?恒成立，解之得：?1?a?1，所以实数a的取值范围为??1,1?．

2【变式2】已知向量a=（x，x+1），b=（1―x，t），若函数f(x)?a?b在区间（―1，1）上是增函数，求t的取值范围。

【答案】 解法一：依定义f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t，则 f'(x)??3x?2x?。t

若f(x)在（―1，1）上是增函数，则在区间（―1，1）上有f'(x)?0。 ∴f'(x)?0?t?3x?2x在区间（―1，1）上恒成立。

2考虑函数g(x)?3x?2x，由于g(x)在图象的对称轴为x?2232221，且g(x)在开口向上的抛物线，故要使t3≥x2―2x在区间（―1，1）上恒成立?t?g(?1)，即t≥5。

解法二：依定义f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t，f'(x)??3x?2x?t。

若f(x)在（－1，1）上是增函数，则在区间（－1，1）上有f'(x)?0。∵f'(x)的图象是开口向下的抛

2322'?1)物线，∴当且仅当f'(1)?t?1?0，且f(?t5?0?时，f'(x)在（―1，1）上满足f'(x)?0，即f(x)在（―1，1）上是增函数。故t的取值范围是t≥5。 【变式3】设f(x)?13ax?x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间. 3【答案】f'(x)?ax?1（1）当a?0时，则f'(x)?0恒成立，

此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为(??,??)，不合题意；

2（2）当a?0时，f'(x)?0???1111?x??，f'(x)?0?x???或x?? aaaa1a1)； a∴当a?0时，函数有三个单调区间，增区间为：(??,?减区间为：(??，-?11)，(?,??). aa 6

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